1、热点五 数列与三角形的解答题【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【2017 课标 1，文 17】记 Sn 为等比数列 的前 n 项和，已知 S2=2，S 3=-6a（1）求 的通项公式；na（2）求 Sn，并判断 Sn+1，S n，S n+2 是否成等差数列 2.【2017 课标 II，文 17】已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，nanSnbnT12,aba(1)若 ，求 的通项公式；35nb（2）若 ，求 .T3S3.【2017 课标 3，文 17】设数列 满足 .来源:学科网 ZXXKna123(1)2naa（1）求 的通项公 式；学=科网na（2）求数列 的前 项
2、和.21n4.【2017 课标 1，理 17】ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c，已知 ABC 的面积为 23sinaA（1）求 sinBsinC;（2）若 6cosBcosC=1，a=3，求 ABC 的周长.5.【2017 课标 II，理 17】 的内角 所对的边分别为 ，已知 ，AB、 、 ,abc2sin8sinBC（1）求 ；cos（2）若 ， 的面积为 ，求 。6aB2b6.【2017 课标 3，理 17】ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 ，a=2sin3cos0A,b=2.7（1）求 c；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC
3、,求ABD 的面积 .7.【2016 全国卷 1 理】 ABC 的内角 , , 的对边分别为 a, b, c,已知 2os(cos).CaB+bAc（1）求 C；（2）若 7c, AB 的面积为 32,求 ABC 的周长8.【2016 全国卷 2 理】 为等差数列 的前 项和,且 , 记 ,其中 表示不超过nSna1a728Slgnbax的最大整数,如 , 0.9lg1（1）求 , , ；1b1（2）求数列 的前 项和n09.【2016 全国卷 3 理】已知数列 的前 项和 , .其中 .na1nSann0（1）证明 是等比数列, 并求其通项公式；na（2）若 ,求 .5132S【热点深度剖析
4、】1.新课标高考对数列的考查重点是考查等差数列、等比数列的概念、性质、通项公式、前 n项和公式,简单递推数列问题、分组求和、拆项相消、错位相减、倒序求和等常见数列求和方法通过三年的高考试题也可以发现,试题的位置均为第一大题,试题难度中下,主要以等差数列等比数列为背景考查数列的通项公式和数列求和问题,不在考查递推数列问题 2016 年文理 6 份试卷 5 份均为数列，2017 年文科 3 套试题均为数列，从近几年的高考试题来看,等差数列,等比数列作为最基本的数列模型,一直是高考重点考查的对象难度属中低档的题目,小题突出“小、巧、活”,主要以通项公式、前 n 项和公式为载体,结合等差数列的性质考查
5、 分类讨论、化归与方程等思想,要注重通性、通法；解答题“大而全”,注重题目的综合与新颖,突出对逻辑思维能力的考查预测 2018 年高考解答题考查数列重点是等差等比数列的通项、求和及错位相减法求和、裂项求和.重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力理科可能与不等式恒成立巧妙结合出一大题2. 三角函数解答题主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题,常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式,甚至三角函数的图象和性质等交汇命题,多以解答题的形式出现,属解答题中的低档题预测 2018 年高考仍将以正弦定理、余弦定理 ,尤其是两个定理的综合应用为主要考点,可能与三角函数的图象和性质等交
6、汇命题,重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力【重点知识整合】1.等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：定义法 或 .1(nad为 常 数 ） 11(2)nnaa（2）等差数列的通项： 或 .1()nad()nmad（3）等差数 列的前 和： , .2S12S（4）等差中项：若 成等差数列,则 A 叫做 与 的等差中项,且 .Abb2abA2.等差数列的性质：（1）当公差 时,等差数列的通项公式 是关于 的一次函数,且斜率为公差0d11()nadnn；前 和 是关于 的二次函数且常数项为 0.n21()ndSa（2）若公差 ,则为递增等差数列,若公差 ,则为递减等差数列,
7、若公差 ,则为常数列.00d（3）当 时,则有 ,特别地,当 时,则有 .mpqqpnma2mnp2mnpa(4) 若 、 是等差数列,则 、 ( 、 是非零常数)、 、nabknbk *(,)pqN,也成等差数列,而 成等比数列；若 是等比数列,且 ,则 是等232,nSSan0nlgna差数列. （5）在等差数列 中,当项数为偶数 时, ；项数为奇数 时, ,na2nSd偶 奇 21S奇 偶 中（这里 即 ） ； .21()nS中 中 a:(1):奇 偶 k（6）若等差数列 、 的前 和分别为 、 ,且 ,则nabnnAB()nf.21()()nnaAfbB(7)“首正”的递减等差数列中
8、,前 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中,前 项和的最n n小值是所有非正项之和.法一：由不等式组 确定出前多少项为非负（或非正） ；法二：0011nna或因等差数列前 项是关于 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性 .上述n *nN两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想）,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？3.等比数列的有关概念：（1）等比数列的判断方法：定义法 ,其中 或1(naq为 常 数 ） 0,nqa1na.(2)n（2）等比数列的通项： 或 . 1naqnma（3）等比数列的前 和：当 时, ；当 时, 1nSq1()nnaqS1n
9、a特别提醒：等比数列前 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 项和时,首先要判断公比 是否为 1,再n q由 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比 是否为 1 时,要对 分 和 两种情形讨论求解.q q1（4）等比中项：若 成等比数列,那么 A 叫做 与 的等比中项.提醒：不是任何两数都有等比中项,aAbab只有同号两数才存在等比中项,且有两个 .4.等比数列的性质：（1）当 时,则有 ,特别地,当 时,则有 .mnpqmnpqaA2mnp2mnpaA(2) 若 是等比数列,则 、 、 成等比数列；若 成等比数列,则a|*()Nkab、 成等比数列； 若 是等比数列,且公比 ,则数列 ,
10、也是等比nbnna1q232,nnnSS数列.当 ,且 为偶数时,数列 ,是常数数列 0,它不是等比数列.1q232,nnnSS(3)若 ,则 为递增数列；若 , 则 为递减数列；若 ,则 为0ana10aqa10,aqna递减数列；若 , 则 为递增数列；若 ,则 为摆动数列；若 ,则 为常数1qn n列.(4) 当 时, ,这里 ,但 ,这是等比数列前 项和公式qbaqqaSnnn 100abn的一个特征,据此很容易根据 ,判断数列 是否为等比数列.nn(5)如果数列 既成等差数列又成等比数列,那么数列 是非零常数数列,故常数数列 仅是此数列既nanana成等差数列又成等比数列的必要非充分
11、条件.5.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式.已知 （即 ）求 ,用作差法： .nS12()naf na1,()2nnSa已知 求 ,用作商法： .12()nafA na(1),2)nfan若 求 用累加法：1nfn 1 21()()nnaa.学科网a(2)已知 求 ,用累乘法： .已知递推关系求 ,用构造法1(nfna121naa ()nna（构造等差、等比数列）.特别地,（1）形如 、 （ 为常数）的递推数列都1nkb1nnkb,k可以用待定系数法转化为公比为 的等比数列后,再求 .如(21) 已知 ,求 ；（2）形ka13nana如 的递推数列都可以用倒数法求通
12、项.1nakb注意：（1）用 求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了吗？（ ,当 时,1nnS 2n1） ；（2）一般地当已知条件中含有 与 的混合关系时,常需运用关系式 ,先将已知SanaS Sa条件转化为只含 或 的关系式,然后再求解.na6.数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式,特别声明：运用等比数列求和公式,务必检查其公比与 1 的关系,必要时需分类讨论.（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和.（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可
13、考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 和n公式的推导方法）. （4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 和公式的推导方法）. （5）裂项相消法：如果数列n的通项可“分裂成两项差” 的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ； ；1()1nn1()()kk , ；（6）通项转换法：2(kk 211()()kk先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和.7.求角问题（1）内角和定理：三角形三角和为 .任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的
14、半角总互余.（2） 正弦定理： (R 为三角形外接圆的半径).sinisinabcABC2正弦定理的变式： , ；absiAa,sinB2bR,siCc（3）余弦定理： , , ；cos22co22co2a（4）利用面积公式： , , .inCSabsiBsinSb8.求边问题（1）边与边关系：a + b c,b + c a,c + a b,ab b；（2）正弦定理的变式 ；:2sinRA2sinB2sinRC（3）余弦定理: .变形式：2aco；sinsinbcABCisnbia（4）利用面积公式： ;aSh、 2C（5）射影定理： .cosbB9.求三角形的面积问题三角形的面积公式：学科+
15、网（1） aha bhb （h a、h b、h c 分别表示 a、b、c 上的高） ；S212c（2） ；sinCsiA1sinB（3） （其中 为三角形内切圆半径）, ； S1()rabcr 2,Srabc内 切 圆 r直 角 内 切 圆 2abc斜 边（4） .(与向量的数量积联系)22|(2OABO10.求三角形的综合问题来源:Zxxk.Com（1） 求解三 角形中的问题时,一定要注意 这个特殊性：ABC；sin()Csi,n2cos；cos()ABco,；tantaABct.tnCtanC（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化,达到角的统一或边
16、的统一.（3）在ABC 中,熟记并会证明：A,B,C 成等差数列的充分必要条件是 B=60；ABC 是正三角形的充分必要条件是A、B、C 成等差数列且 成等比数列.abc、 、（4）锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方；钝角角三角形 三内角一个为钝角 一个角的余弦值为负值 两锐角的和仍为锐角 两个锐角对应的两边的平方和小于第三边的平方.（5）三角形内常见的不等关系 ;abABsinB锐角 中, , ;C2iAcos,sinB钝角 中,设 为钝角,则 , .2ico,Asin【应试技巧点拨】1.等差数列的判断与证明的方法(1)利用定
17、义： 或 ,其中 为常数；1nad1(2,*)nadnNd(2)利用等差中项： ；12,(3)利用通项公式： ；()nadc、 为 常 数(4)利用前 项公式： .2SABn、 为 常 数注意证明等差数列的方法必须用定义法或等差中项的方法去证明；在选择题和填空题中,可根据题设条件恰当的选择任意一种方法.有时还可以利用“归纳-猜想- 证明 ”的方法去打开解题思路.如果证明数列不是等差数列,可采用举反例的方法,如证明 .213a2.等差数列前 项和的最值问题n对于等差数列前 项和的最值问题,取决于首项和公差的正负即： , 时, 有最大值； ,10adnS10a时, 有最小值 .常用下面两个方法去解
18、决：0dnS(1)若已知 ,可用二次函数最值的求法（ ） ；nN(2)若已知 ,则 最值时 的值（ ）可如下确定 或 .naSnN10na1n3. 如何判断和证明数列是等比数列判断和证明 是等比数列常用以下几个方法：n（1）利用定义： 或 （ 为非零常数） ；1naq1n(,2)Nnq（2）利用等比中项： ；212n（3）利用通项公式： （ ） ；acq0,（4）利用求和公式： （ , , ）.nSk1a0k1q注意证明数列为等比数列只能用定义和等比中项去证明,但是在选择题或填空题中可以用任何一种方法.4.利用等比数列求和公式注意 的问题在利用等比数列前 n 项和公式求和时,如果公比 未知,且
19、需要利用 求和公式列方程时,一定要对公比 分q q两种情况进行讨论. 1q和5.如何选择恰当的方法求数列的和在数列求和问题中,由于题目的千变万化,使得不少同学一筹莫展,方法老师也介绍过,就不清楚什么特征用什么方法.为此提供一个通法 “特征联想法”：就是抓住数列的通项公式的特征,再去联想常用数列的求和方法.通项公式作为数列的灵魂,只有抓住它的特征,才能对号入座,得到求和方法.特征一： ,数列 的通项公式能够分解成几部分,一般用“分组求和法”nnbaCnC特征二： ,数列 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积,一般用“错位相减法”.特征三： ,数列 的通项公式是一个分式结构,一般采用“裂项
20、相消法”.1nnabn特征四： ,数列 的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成,一般采用“倒序相加法”.nCnC6. 利用转化,解决递推公式为 与 的关系式.Sa数列 的前 项和 与通项 的关系： .通过纽带： ,根据题nann1()2nnS 12)nnaS（目求解特点,消掉一个 .然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解.如需消掉 ,利用已知递推式,naS或 n把 n 换成（n+1）得到递推式,两式相减即可.若消掉 ,只需把 带入递推式即可.不论哪种形式,需na1nnS要注意公式 成立的条件 来源:学科网1nnaS2.n7.由递推关系求数列的通项公式（1）利用“累加法” 和“ 累乘法
21、”求通项公式此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法,递推关系为 用累加法；递推关系为1()naf用累乘法 .解题时需要分析给定的递推式,使之变形为 结构,然后求解.要特别注意1()naf 1n、 1na累加或累乘时,应该为 个式子,不要误认为 个.)1(nn(2)利用待定系数法,构造等差、等比数列求通项公式求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换,转化 成特殊数列（等差或等比数列）来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知 的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为 （其中qpann
22、1p,q 均为常数, ）.把原递推公式转化为： ,其中 ,再利用换元法)01(pq )(1taptnn转化为等比数列求解.余弦定理的重要应用三角形的余弦定理作为解决三角形问题的利剑,必须熟练掌握应用.为此,就其常见的几种变形形式,介绍如下.联系完全平方式巧过渡:由 则 .22()bcbc222cos()(1cos)abAcbA联系重要不等式求范围：由 ,则 当且仅当 等号成立.222ss(s)bc联系数量积的定义式妙转化：在 中,由 .ABC222cossabcaACBabC.如何恰当选择正弦定理与余弦定理解题利用正弦定理解三角形时,可将正弦定理视为方程或方程组,利用方程思想处理已知量与未知量
23、的关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间的关系等结论,对于相关问题是十分有益的.利用正弦定理可解决以下两类问题：一是已知两角和一角的对边,求其他边角；二是已知两边和一边对应的角,求其他边角,由于此时的三角形不能确定,应对它进行分类讨论.利用正弦定理解题一般适应的特点（1）如果所给的等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式,可以利用正弦定理进行边角互换,这是高考中常见的形式；（2）根据所给条件构造（1）的形式,便于利用正弦定理进行边角互换,体现的是转化思想的灵活应用.余弦定理与平面几何知识、向量、三角函数有着密切的联系,常解决一下两类问题：一是已知两边和它们的夹角,求其他边角
24、；二是已知三边求三角.由于这两种情形下三角形是唯一确定的,所以其解也是唯一.【考场经验分享】1数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列因此,在研究函数问题 时既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性2由 求 时 ,注意验证 a1 是否包含在后面 an 的公式中,若不符合要单独列出,一nSa1,()2nnS般已知条件含 an 与 Sn 的关系的数列题均可考虑上述公式3如果 ,则 ,一般地, ,必须是两项相加,当然可以是mpqqpnmapqp12p4等差数列的通项公式通常是 的一次函数,除非公差 .0d5
25、公差不为 0 的等差数列的前 项和公式是 的二次函数,且常数项为 0.若某数列的前 项和公式是 的n n常数项不为 0 的二次函数,则该数列不是等差数列, 它从第二项起成等差数列6特别注意 时, 这一特殊情况1q1nSa7由 , ,并不能立即断言 为等比数列,还要验证 .nan 10a8.因试题难度与位置的调整,数列问题已经变为学生得全分的题目,故需要学生值得花费时间和精力去攻克,在考试过程中,计算出错极易出现,故不论求通项公式还是数列求和问题均可以利用 进行验证,此法123n切记！9对三角形中的不等式,要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”10在解实际问题时,需注意的两个问题(1)要注
26、意仰角、俯角、方位角等名词,并能准确地找出这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来,发现题目中的隐含条件,才能顺利解决11.利用正弦定理与余弦定理解题时,经常 用到转化思想一个是把边转化为角,另一个是把角转化为边,具体情况应根据题目给定的表达式进行确定,不管哪个途径,最终转化为角的统一或边的统一,也是我们利用正弦定理与余弦定理化简式子的最终目标,对于两个定理都能用的题目,应优先考虑利用正弦定理,会给计算带来相对的简便,根据已知条件中边的大小来确定角的大小,此时利用正弦定理去计算较小边所对的角,可避免分类讨论,利用余弦定理的推论,可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是有
27、锐角还是钝角,但计算麻烦.【名题精选练兵篇】1.【湖南省永州市 2018 届高三下学期第三次模拟】在锐角 中，内角 的对边分别为 ，ABC, ,abc且 .3cosin20ABC（1）求 的值；（2）若 ， 的面积为 ，求 的值.5b3a2.【贵州省 201 8 年普高等学校招生适应性考试】在 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ABCCab，已知 .cos2cosaCA（1）求角 的大小；A（2）若 ， 为 的中点， ，求 的面积.DB2D3 【2018 届东莞市高三毕业班第二次综合考试】已知等比数列 与等差数列an成等差数列， 成等比数列 .bn,a1=b1=1,a1a2,a1,a2
28、,b3()求 ， 的通项公式；an bn,()设 分别是数列 ， 的前 项和，若 ,求 的最小值.Sn,Tn an bn, n Sn+Tn1004 【内蒙古鄂伦春自治旗 2018 届高三下学期二模】设 为数列 的前 项和，已知 ，a3=7.（1）证明： 为等比数列；（2）求 的通项公式，并判断 ， ， 是否成等差数列？an n an5 【天津市红桥区重点中学八校 2017 届高三 4 月联考】已知数列 na的前 项和为 nS,且满足2nnS, （ *N）（1）证明：数列 1a为等比数列 .（2）若 2lognnb,数列 nb的前项和为 nT ,求 6 【河北省唐山市 2016-2017 学年度
29、高三年级第二次模拟】数列 na的前 项和为 nS, 21na,且 1a（）求数列 n的通项公式；（）若 b,求数列 nb的前 项和 nT来源:Zxxk.Com7 【2017 届湖南省长沙市高三下学期统一模拟】已知数列 na为等差 数列,其中 23528,aa（）求数列 na的通项公式；（）记 12nb,设 nb的前 项和为 nS求最小的正整数 n,使得 01627nS8 【福建省 2017 届高三 4 月单科质量检测】某公司生产一种产品,第一年投入资金 1000 万元,出售产品收入 40 万元,预计以后每年的投入资金是上一年的一半,出售产品所得收入比上一年多 80 万元,同时,当预计投入的资金
30、低于 20 万元时,就按 20 万元投入,且当年出售产品收入与上一年相等.（1）求第 n年的预计投入资金与出售产品的收入；（2）预计从哪一年起该公司开始盈利？（注：盈利是指总收入大于总投入）9 【江西省 2017 届高三下学期调研考试（四） 】已知数列 na为公差不为 0 的等差数列,满足1231a,且 621,a成等比数列.（1）求 n的通项公式；学科*网（2）若数列 nb满足 *1nnaNb,且 13b,求数列 nb的前 项和 nT.10 【湖南省娄底市 2017 届高考仿真模拟（二模） 】已知 ABC中, 2, 10A, cos3inBC.（）求边 AB的长；（）设 D是 C边上一点,且
31、 ACD的面积为 34,求 D的正弦值.11 【陕西省汉中市 2017 届高三下学期第二次教学质量检测（4 月模拟） 】在ABC 中,内角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c ,且 3sinacosB （1）求角 B 的大小（2）若 b3,sinC=2sinA,求 a、c 的值及 ABC 的面积12 【江西省 2017 届高三 4 月新课程教学质量监测】已知函数 4sin3fxx,在 ABC中,角A, B, C的对边分别为 a, b, c.（1）当 0,2x时,求函数 fx的取值范围；（2）若对任意的 R都有 ffA, 2b, 4c,点 D是边 BC的中点,求 AD的值13 【河北省五个一
32、联盟（石家庄一中、保定一中等）2017 届第一次模拟】已知向量 sin,com, cos,inB, sin2mC,且 , B , 分别为 的三边 ,abc所对的角 （）求角 的大小；（）若 siA, , si成等比数列,且 18AC, 求边 c 的值14 【福建省 2017 届高三 4 月单科质量检测】如图,有一码头 P和三个岛屿 ,ABC, 30,90mi,30PCnilePBnlenile, 02B, 09.（1）求 ,两个岛屿间的距离；（2）某游船拟载游客从码头 前往这三个岛屿游玩,然后返回码头 P.问该游船应按何路线航行,才能使得总航程最短？求出最短航程. 15. 【四川省资阳市 20
33、15 届高三第二次诊断】等差数列 的前 n 项和为 ,数列 是等比数列,满足nanSnb, , , 13ab210S523ab()求数列 和 的通项公式；na()令 设数列 的前 n 项和 ,求 n 为奇数,n 为偶数,nScb ncnT2【名师原创测试篇】1已知等比数列 na的公比 1q,且 320a, 8（）求数列 的通项公式；（）设 nba, nS是数列 nb的前 n 项和,对任意正整数 n不等式 12nnSa恒成立,求实数 的取值范围.2.已知数列 n的前 项和 21na.n是公差不为 0 的等差数列,其前三项和为 3,且 3b是25,b的等比中项.（1）求 ,na；（2）若 122n
34、bat ,求实数 t的取值范围.3. 设各项均为正数的数列 的前 项和为 ,满足nS214,na且 构成等比数列.,nN2514,a（）求数列 的通项公式；n（）证明：对一切正整数 ,有 .12312naa4. 在 中,内角 、 、 所对的边分别为 , , , ,且 ABCCbc6cosabC2insinAB（）求角 的值；学科网（）若点 是 中角 的外角内的一点,且 ,过点 , ,垂足分别为 ,M2CMFBMEF求 的最大值E+F2BAMCFE5.已知数列 满足 , , .na0n13a1122,nnaN（1）求证： 是等差数列；1na（2）证明： .来源:学&科&网 Z&X&X&K22114n6 ABC中,角 ,的对边分别为 ,abc, 2os2Cca.（1）求 的大小；来源:学科网 ZXXK（2）若 3a,且 边上的中线长为 192,求 c的值.
