1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 55 炼 数列中的不等关系一、基础知识：1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点2、如何判断数列的单调性：（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于 的函数，然后通过函数的单调性来判断数n列的单调性。由于 ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，nN但定义域为 的函数，得到函数的单调性后再结合 得到数列的单调性0,N（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手
2、段就是作差（与 0 比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与 1 比较，但要求是正项数列）3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知,nab识来进行处理。比如：含 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前 项和n n也可看做数列 等等。nS12:,nSS4、对于某数列的前 项和 ，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，12:,n用函数的观点解决。也可以考虑相邻项比较。在相邻项比较的过程中可发现：，所以 的增减由所加项 的符号确定。进而把问题转化成为判断 的符1nnaSnSna
3、na号问题二、典型例题例 1：已知数列 ，前 项和 满足 1,nannS130nnS（1）求 的通项公式 （2）设 ，若数列 是单调递减数列，求实数 的取值范围 ncanc解：（1） 11 330nnnSS高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -122114nnSSn 136nS1a21nnS时， 2n1 11662nn nn当 时， 符合上式1a2n（2）思路：由（1）可得： ，由已知 为单调递减数列可得21ncnc对 均成立，所以代入 通项公式得到关于 的不等式1ncNnc,，即只需 ，构造函数或者数列求出42max421的最大值即可21n解： 2211nnnca是递
4、减数列 ，nN1nc即 +122n44211nn只需max2n高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 - 构造函数：设 421fxx则 222 22441 1xfx 22x所以 在 单调递增，在 单调递减fx1, ,+时， 23nNmax123fnff即 max413n1 构造数列：设数列 的通项公式nt421nt142261nt n61421nn时， ，即2n10nt1nt当 时， 所以 的最大项为nt213t13例 2：已知等差数列 中， ，记数列 的前 项和为 ，若na359,17a1nanS，对任意的 恒成立，则整数 的最小值是（ ）210nmSZnNmA. B.
5、C. D. 5432思路：若 恒成立， ，要找 ，则需先确定 的通项公21nS21max0nSnSna式得到 ： ，所以 ，发现 无法直na534ad343nd143n接求和， 很难变为简单的表达式，所以考虑将 视为一个数列，通过相21nS 21nS高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -邻项比较寻找其单调性： 231212311nnnnSSSS，进而23211 048708954895nnaa 单调递减， ，所以 ，1S213132maxnSSa14289m从而 4m答案：B例 3：已知数列 满足 ，若 为等比数列，且,nab12nbnaN na12,6ab（1）求 n
6、（2）设 ，记数列 的前 项和为1nncNabncnS 求 nS 求正整数 ，使得对于 ，均有kknS解：（1） 32632bb或 （舍）61212a38a23142aqq1nq122nb nna12n（2） 1122nnnncab213nnS n 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -12112n n 思路：实质是求 取到最大值的项，考虑分析 的单调性，从解析式上很难通过函数的nSnS单调性判断，从而考虑相邻项比较。对于 而言， 的增减受 符号的影响，所以将问nnc题转化为判断 的符号。 可估计出当 取得值较大时， 会由正项变nc12n n为负项。所以只要寻找到正负的
7、分界点即可解： 1122n ncn当 时，可验证 ，从而可得410n0nc设 ，则2nnd11 1212nnnnd 当 时， 递减51n5602nd时， nc4maxnS时，均有4k4例 4：已知数列 的前 项和为 且 ，数列 满na1,n121nnSSnb足： ， ，其前 项和为210nb35b963（1）求 ,（2）令 ，记 的前 项和为 ，对 ，均有 ，求nacbncnTN2,nTab的最小值ba解：（1） 1122nnnSSS高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -为公差是 的等差数列nS121nn时，2nS2112nnnaS符合上式 1an为等差数列2210nn
8、nbbnb设 前 项和为 P95635735531d2nb（2）思路：依题意可得： ，可求出212nbanc n，从而 ，若 最小，则132nTn31nTnba应最接近 的最大最小值（或是临界值） ，所以问题转化成为求,ab的范围，可分析其单调性。 单调递增。所1322n1322fnn以最小值为 ，而当 时， ，所以 无限接近 ，故 的43fnff3nT取值范围为 中的离散点，从而求出 的最小值,ba解： 221122n nc n34nT112232nnn高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 -1232nTn设 ，可知 递增f fn，当 时，413fnfn3ff,ab若
9、最小，则 ba4,3min53例 5（2014，黄州区校级模拟）数列 的前 项和 ，数列 满足na24nSnb132,nbnN（1）求数列 的通项公式a（2）求证：当 时，数列 为等比数列14nba（3）在（2）的条件下，设数列 的前 项和为 ，若数列 中只有 最小，求 的nTn3T1b取值范围解：（1） 2211244nnaS符合上式1421na（2） nb考虑 1 1133223044nnnbb 即 10nnba1nnaa数列 为等比数列（3）思路：由（2）可求得 通项公式 ，但不知其单调nb11243nnb高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 -性，但可以先考虑必要
10、条件以缩小 的取值范围。若要 最小，则最起码要比 小，从1b3T24,T而先求出 满足的必要条件 （也许最后结果是其子集） ，在这个范围内可判1b47定 为递增数列，从而能保证 最小n 3T由（2）可得： 是公比为 的等比数列214nb1143nnb124nn若要 最小，则必然要 即 3T323240TT34b231 134150774bb7b则 ，所以 为递增数列112043nnnb，符合 最小的条件123140,nbb 3T所以 147小炼有话说：在求参数范围时如果不能一次准确列出参数所满足的条件，可先写出其必要条件适当缩小其取值范围，往往会给解题带来新的突破口例 6：（2014，文登市二
11、模）各项均为正数的数列 ，其前 项和为 ，满足nannS，且 12nnaN562S（1）求数列 的通项公式n（2）若 ，令 ，设数列 的前 项和为 ，试比较 与 的大2nbanbnT124nT61高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 -小解：（1） 221110nnnnaaa110nn（舍）或a12nna是公比为 2 的等比数列n，解得： 51556 12Saa1212n（2）思路：由（1）可得 ，进而可求出 ，比较大小只需两式作差，再4nb413nnT进行化简通分可得 。利用函数或构造数列判断出1726nnT的符号即可1374n解： 2nnba4143nnT111283
12、44 1nnn nT 67 11 43724373711441nn n nnT 设 ，可得 37xfx lxf0fx为减函数 130ff13740n126nT高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 10 -例 7：（2014，湖南模拟）已知各项都为正数的数列 的前 项和为 ，且对任意的nanS，都有 （其中 ，且 为常数） ，记数列 的前 项和为nN2nnpSa0p1nnH（1） 求数列 的通项公式及nanH（2）当 时，将数列 的前 项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比p1n4数列 的前 项，记 的前 项和为 ，若存在 ，使得对任意 ，总有nb3bmTmNnN恒成立
13、，求实数 的取值范围mTH解：（1） 2nnpSa112 可得：211nnnpapa2101nn即0aap1nap为公差是 的等差数列n在 令 得： 解得： 2npS1211S1a1nap22n pSn11np1221123nnHSSpn 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 11 -2121npnp（2）思路：本小问实质是在数列背景下的多元恒成立问题，先求 的表达式。由已知,mnTH可得： 时， ，要解决 ，首先要解出等比数列 的通项公式。 时，1nHnTb2p，进而 显然抽去的应为 ，所以2na12341,68aa31a，得到 ， ，所以要处理的恒成立不等式为：123,4
14、8bbq2mmT。 再利用最值逐步消元即可1mn解： 时， ，进而2pna12341,68aa成公比为 的等比数列，即 的公比为 ，且 124,nb212ba2nnb1212mmmT而由（1） ，当 时， ，所以恒成立的不等式为：p1nH，所以21mn min2设 可得 为递增函数ffmmin12ff所以 对任意的 均成立nN即 max12n设 为减函数12gng高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 12 -max10gn0小炼有话说：本题在处理恒成立问题时，两个阶段对变量量词的不同导致取最大还是最小值要明确区分。第一阶段是存在 ，也就是说只要有 满足不等式即可，所以只要最小
15、值比右mm边小，就意味着已经存在这样的 ；第二阶段是对任意的 ，不等式均要成立，所以只要n最大值满足不等式，剩下的函数值也必然能满足不等式。gn例 8：已知数列 的前 项和 ，数列 满足 na12nnSaNnb2na（1）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式 nbn2na（2）设数列 满足 （ 为非零整数， ） ，问是否存在整c13na 数 ，使得对任意 ，都有 N1nc解：（1） 2nSa211nnn111122nnnnnaa即12nn1nb是公差为 1 的等差数列 在 令 得：nb12nnSa112Sa12bnbdnna（2）思路：由（1）可得：，所以1 1133232n nnn
16、n nn nnaccc 等同于 ，化简可得： ，1n1112nn11n高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 13 -而 的奇偶将决定 的符号，所以要进行分类讨论n1n解：由（1）可得： 2na1 113323nnn n nn nnaccc 则 等价于：11122nnnn33111n nnn 12n当 为奇数时，恒成立不等式为：132n所以只需1min32当 为偶数时，恒成立不等式为：n 132n所以只需1max32n,0Z1例 9：已知数列 前 项和为 ，且 nanS11,2nnaa（1）求 的通项公式 （2）设 ，若集合 恰有 个元素，则实数2,nnbN|,nMbN4的取值
17、范围 解：（1） 1122nnaa高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 14 -112 21nnaa 11 nnnna（2）思路：由（1）所得通项公式可利用错位相减法求 ，进而得到 ，nS12nnb要读懂集合 恰有 4 个元素的含义，根据 描述的特点可知： 集合中的元素应该为MM从大到小排前 4 项的序数，所以只需判断出 的单调性，并结合单调性选出较大的前nb nb4 项，便可确定 的取值。解： 211nnS两式相减可得：23 12nnn 21 11112222nnn nnnnS 2nn1nnb下面考虑 的单调性n1112 212nnnnb n2n时， ，即22021b时，
18、，所以 nn34nb高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 15 -而 1234513,82bbb从大到小排的前 4 项为： n3415,32例 10：（2015，天元区校级模拟）已知数列 满足 na143na（1）当 时，求数列 的前 项和 12anaS（2）若对任意 ，都有 成立，求 的取值范围N214n1a解：（1） 143nan 可得： 1n中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为 4na125当 时， k214kakna当 为奇数时， 133212nnnn21,na为 偶 数为 奇 数所以当 为偶数时13124nnnSaa 2 15214na n2高考资源网（）
19、 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 16 -为奇数时n2213311nSann（2）思路：考虑将不等式转化为 的不等式，由（1）可得 的奇数项，偶数项各为等差ana数列，所以只要通过分类讨论确定 的奇偶，即可把 均用 表示，再求出 范围即1,n1a可解：由（1）可得： 的奇数项，偶数项各为等差数列，且公差为 4na当 为奇数时， n11422nan1 1143435nnaaa2221 11+4n n 221 1+543ana22111543nan化简后可得： 2287所以只需 1 max44an设 2213878fn解得： 或max1ff214a172a172a当 为偶数时，同理： ，
20、n11nn11433n22213+44naaa化简可得： 即22168n221 max6843n设 可得：3gxmaxg221110aaR高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 17 -综上所述： 或172a172a三、历年好题精选1、已知数列 的前 项和为 ，且nanS10,4nnaSN（1）若 ，求数列 的前 项和2lognnbnbnT（2）若 ，求证：数列 是等比数列，并求其通项公式0,ta（3）记 ，若对任意的 恒成立，求实数1212n nca ,nNcm的最大值m2、已知数列 是首项 的等比数列，其前 项和 中 成等差数列na14nnS342,（1）求数列 的通项公式
21、（2）设 ，若 ，求证： 12lognnba1231nnTbb 162nT3、已知数列 满足： ，且n12,2cossi,2nnaaN（1）证明：数列 为等比数列2kaN（2）求数列 的通项公式n（3）设 （ 为非零整数） ，试确定 的值，使得对任意 ，212kkakb kN都有 成立14、已知数列 中， （ 为非零常数） ，其前 项和 满足na2annS1nSN（1）求数列 的通项公式na（2）若 ，且 ，求 的值214mnS,n高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 18 -（3）是否存在实数 ，使得对任意正整数 ，数列 中满足 的最大项恰为,abpnanbp第 项？若存在
22、，分别求出 的取值范围；若不存在，请说明理由2p,5、 （2016，无锡联考）数列 的前 项和为 ，且对一切正整数 都有 nanSn21nnSa（1）求证： 142na（2）求数列 的通项公式（3）是否存在实数 ，使得不等式 对一切正整数a212131naa都成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由n6、已知函数 ，数列 满足23xfn11,nnfNa（1）求 的通项公式na（2）令 ， ，若 对一切12nnb1123,nnbSb 204mS成立，求最小正整数Nm7、 （2016，贵阳一中四月考）已知数列 的前 项和为 ， ，且nanS1a，数列 满足 ，对任意 ，都有12nnaS
23、nb12,4bN212nnb（1）求数列 的通项公式,n（2）令 ，若对任意的 ，不等式12nnTba n恒成立，试求实数 的取值范围3S8、设数列 为数列 的前 项和，且nn 12,2,3nnSa（1）求 的通项公式a（2）设 ，数列 的前 项和 ，若存在整数 ，使得对任意的1log2nnbnbnBm都有 成立，求 的最大值,N30mB高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 19 -习题答案：1、解析：（1）2211loglog4nnnbaS22nT（2）由 可知 ，代入 可得：tantan214nnS1tnnS时，2112tantannnaS代入 可得：tnn1tt2tnn
24、211tata2nnn12tttn nn，即 是公比为 的等比数列1n1高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 20 -在 中，令 可得：10,4nnaSN1n12a11t21nnn1ta2nn（3）可知 为递减数列1ta2nn1na0n12 1222n n nncaaaaS 1110nnnnS为递增数列nc即 的最大值为1min02cam02、解析：（1） 成等差数列34,S43234Sa1aq1142nnn（2）由（1）可得： 1lognnba122nb112342nTnn高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 21 -为递增数列12nTn136综上所述：
25、n3、解：（1） 2 21cossink kaa23k是公比为 的等比数列2ka（2）当 时， ，即n123kka23na当 时，1k1 21cossik k 21ka是公差为 的等差数列21ka即k2n23,1nak（3）由（2）可得：恒成立不等式为：12kkb1132kk123kk1k当 为奇数时，1min32k当 为偶数时，k1ax32k高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 22 -3,1214、解析：（1）由已知令 ，则 ，所以n1102Sa2naS112naS111nnnaa当 时，na213213nn 2naa验证 可知符合通项公式10na（2）可得 21n 1n
26、S214mS2 22143143nmn43234121mnn（3）由 可得nabpabp若 ，则 ，不符题意，舍去0若 ，则1a的最大项恰为第 项nabp32p高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 23 -3213231pbabpaba因为该不等式对任意 均成立N03解得：213b21b5、解析：（1） 2nnSa211nnSa2211nnnS即 11nnnaa142n（2）由（1）可知 142na，两式相减可得：1na24na中奇数项，偶数项分别成公差是 4 的等差数列中令2nnS12a令 可得： 2 21444Sa2112kakk4综上所述可得： n（3）恒成立的不等式为
27、：212131naa2122nna高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 24 -212max31nana 设 ，由 可知12n nb 2n0nb121 12 1nnaab 224n为递减数列nb1max 332n2 3002aa解得： 3,0,2a6、解析：（1）由已知可得： 1232nnna为首项是 1，公差是 的等差数列na231dn（2）当 时，n1 912233nbann 可验证当 时， 满足上式112911913522nnSb nn 所以 对一切904m 均成立N高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 25 -max204912mn120492013
28、最小正整数 为m7、解析：（1） 1nnaSN121nnnna 2na可得：13231nan 2na21aS，验证 时， 符合上式2nn1a由 可知 为等比数列212nnbnb1q12nnn（2）nnT2 1112nnn 23 1 1211222nnn nnT 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 26 -2nnT故恒成立不等式为： 23nnnTbSb121n化简可得： 。所以只需262min6设 22112460nf nnmin413ff,8、解析：（1） 12nnSa11122nnna1是公差为 1 的等差数列2n在 令 得： nnSa14a12nn（2）由（1）可得： 12lognnb313nB设 nc高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 27 -131331nnnnncBBB 12+321323nnn950312n为递增数列 nc331min23150 6nBBb即 的最大值为503m17
