第34炼 向量的模长问题几何法.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 34 炼 向量的模长问题几何法一、基础知识：1、向量和差的几何意义：已知向量 ，则有：,ab（1）若 共起点，则利用平行四边形法则求 ，可得 是以 为邻边的平行四边,ab ab,形的对角线（2）若 首尾相接，则利用三角形法则求出 ，可得 ， 围成一个三角形, ,2、向量数乘的几何意义：对于 a（1）共线（平行）特点： 与 为共线向量，其中 时， 与 同向； 时，0a0与 反向a（2）模长关系： a3、与向量模长问题相关的定理：（1）三角形中的相关定理：设 三个内角 所对的边为ABC,abc 正弦定理： sinisinabc 余弦

2、定理： 22o（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线特别的，对于底角 的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。60（3）矩形：若四边形 的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件ABCD4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长二、典型例题：例 1：（2015 届北京市重点中学高三 8 月开学测试数学试卷）已知向量 的夹角为 ，,ab45且 ，则 （ ）,210abbA. B. C. D. 2232高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -思

3、路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知，只需利用余弦定理求出 即可。2,104ABCBC解：如图可得： ，在 中，有： bBA22cosAABC即： 210cos4解得 或260BC32C（舍）所以 ，32b答案：选 D例 2：若平面向量 两两所成的角相等，且 ，则 等于（ ,abc 1,3abcabc）A. B. C. 或 D. 或52525思路：首先由 两两所成的角相等可判断出存在两种情况：一是 同向（如图 1，此,abc ,abc时夹角均为 0） ，则 为 ，另一种情况为两两夹角 （如图 2） ，以 3为突破口，由平行四边形法则作图得到 与 夹角相等，1 ab,（底

4、角为 的菱形性质） ，且与 反向，进而由图得到 ，选 Cab60 cabc答案：C例 3：已知向量 ，且 ，则 的取值范围是（ ）,ab1,2baA. B. C. D. 1, 43,54,6思路：先作出 ，即有向线段 ，考虑 ，将 的起点与 重合，终点 绕 旋转aABbaACA高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -且 ，则 即为 的长度，通过观察可得 与 共线时 达24ACbaBCC,AB2ba到最值。所以 ，且 连续变化，所以 的取值范围maxmin5,23b2ba是 3,5答案：C例 4：设 是两个非零向量，且 ，则 _,ab 2abab思路：可知 为平行四边形的一

5、组邻边和一条对角线，由 可知 2ab满足条件的只能是底角为 ，边长 的菱形，从602a而可求出另一条对角线的长度为 3答案： 23例 5：已知 为平面向量，若 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，则 （ ,abab3ab4ab）A. B. C. D. 3645363思路：可知 为平行四边形的一组邻边及对角线，通,ab过作图和平行四边形性质得：在 中，ABD，由正弦定理,34ABD可得： ，即sinsi64AB63ab答案：D例 6：已知 是单位向量，且 的夹角为 ，若向量 满足 ，则 的,ab,ac|2|ab|c高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -最大值为（ ）A. B

6、. C. D.23237272思路：本题已知 模长且夹角特殊，通过作图可得 为模长为 ，设,ab ba3，则可得 且 ，而 可视为以 共起点，终点mcmcmba在以起点为圆心，2 为半径的圆上。通过数形结合可得 的最大值为 （此时 的终c2m点位于 点）A答案：A例 7：在 中， ，设 是 的中点， 是 所在BC,3,66ABCDABOABC平面内的一点，且 ，则 的值是320OO（ ）A. B. C. D. 12132思路：本题的关键在于确定 点的位置，从而将 与已D知线段找到联系，将 考虑变形为320OABC，即 ，设32OABCOB 13AOCB，则 三点共线，且 ，所以由平行四边形性质

7、可得：E,DEE1126D答案：B例 8：已知向量 ，对任意的 ，恒有 ，则 的值为,aetRateea_思路：本题以 作为突破口，通过作图设 ， 为直线 上一t ,ABCDl点，则有 。从而可得 ，即 ，所以 点为ADe,aeBCate直线 上到 距离最短的线段，由平面几何知识可得最短的线段为 到 的垂线段。所以lB l，即 ，所以有C0答案：0高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -小炼有话说：本题若用图形解决，找到 在图上的位置和两个向量的联系是关键,ate例 9：已知平面向量 满足 ，且 ，若向量 的夹角为,abc1,2b1a,acb，则 的最大值是 _60c思路

8、：由 条件可得 夹角 的余弦值,，若用代数方法处理夹角1cos20ab的条件，则运算量较大。所以考虑利用图形，设60，则 ，即 ，从而,ABaDbCc,DbcCBa60DCB，可判定 四点共圆，则 的最大值为四边形 外接圆180,AAAD的直径，即 的直径。在 中，由余弦定理可得：，所以 ，由正弦定理可得：222cos7BAB7B，即1sin3DdRmax213答案： 213小炼有话说：若条件中向量的夹角为特殊角且很难用数量积，模长进行计算时，可考虑寻找几何图形进行求解。例 10：（2010 年，浙江，16）已知平面向量 满足 ，且 与,0,=1的夹角为 ，则 的取值范围是_120思路：本题很

9、难找到与数量积相关的条件，那么考虑利用图形辅助求解。从图中可观察到构成 ， ，从而可利用正,BCDA60余弦定理求出 即 的取值范围解：在 中，由正弦定理可得：CDBA高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -sinisiniBDCDBC12iisin332而 0,DBCsin0,1DBC23si0,DBC答案： 的取值范围是23,小炼有话说：例题中的部分问题也可采用模长平方的方式，从而转化成为数量积求解。具体解法如下：例 1：解：22 244cos,10ababba，解得260b3例 2：解：222ccc夹角相同,ac当 同向时，可得 ，所以b25abc 5abc当 两两夹角 时，可得,c2313,2，所以4ac综上所述： 或2bc5例 3：解： 2174cos,178cos,ababab因为 即cos,1,a9,535例 4：解： 可得2b224代入 得 21abab3a高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 -例 8：解：以 为原点， 为 轴建立直角坐标系。所以 ，设BCx936,0,2CA，则 ，由,Oxy 93,2AyOBxyxy可得： ，所以30BC 13604932y13,4O因为 为 中点 DA,41O例 9：解：22ateate221对 恒成立0tettR即24ae24840ae，所以41e120