1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 41 炼 指对数比较大小在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指数和对数混在一起，进行排序。这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方法与技巧一、一些技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负” ，容我慢慢道来：判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为 和0,1,（1）如果底数和真数均在 中，或者均在 中，那么对数的值为正数0,1（2）如果底数和真数一个在 中，一个在 中，那么对数的值为负数,例如： 等30.52log.,l3,log02、要善于利用指对数图
2、像观察指对数与特殊常数（如 0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如： ，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同1342,5，从而只需比较底数的大小即可113621 2,5（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破” ，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的
3、数的值进行估计，例如 ，可知2log3，进而可估计 是一个 1 点几的数，从而便于比较2221logl3log42log34、常用的指对数变换公式：（1） nma（2） logllogaaaMNlloglaaaMN（3） 0,1n（4）换底公式： llogcab进而有两个推论： （令 ） 1llabloglogmnaaN高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -二、典型例题：例 1：设 ，则 的大小关系是_323log,l,log2abc,abc思路：可先进行 分堆，可判断出 ，从而 肯定最大，只需比较011,01a即可，观察到 有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，
4、利用对数公式进行,bc,c变换： ，从而可比较出 ，所2233log3l,logl232log1l以 答案： ca例 2：设 ，则 的大小关系是_123log,ln,5bc,abc思路：观察发现 均在 内， 的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：0，在比较和 的大小，由于 是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计 值得ab ,abc大小： ，可考虑以 为中间量，则 ，进而121524c12331log2l2a，所以大小顺序为 abac答案： bc例 3：设 则 的大小关系为（ ）ln2l3ln5,A. B. C. D. aacbbacbca思路：观察到 都是以 为底的对数，所以将其系数“
5、放”进对数之中，再进行真数的,bce比较。 发现真数的底与指数也不相同，所以111352lnlnln,c依然考虑“求同存异” ，让三个真数的指数一致： ，111 15063520330,通过比较底数的大小可得： bac答案：C小炼有话说：（1）本题的核心处理方式就是“求同存异” ，将三个数变形为具备某相同的部分，从而转换比较的对象，将“无法比较”转变为“可以比较”（2）本题在比较指数幂时，底数的次数较高，计算起来比较麻烦。所以也可以考虑将这三个数两两进行比较，从而减少底数的指数便于计算。例如可以先比较 ,:ab，从而 ，同理再比较 或 即可1132266=,ab,acb例 4：设 ， ， ，则
6、（ ）log3a10l514log7cA. B. C. D. bcabc思路：观察可发现：高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -335577log21log,l21log,l21logabc，所以可得：57ab答案：D例 5：设 则 的大小关系为（ ）232555,abc,cA. B. C. D. cabbacbca思路：观察可发现 的底数相同， 的指数相同，进而考虑先进行这两轮的比较。对于,，两者底数在 ，则指数越大，指数幂越小，所以可得 ，再比较 ，两者指,b01 ,数相同，所以底数越大，则指数幂越大，所以 ，综上： acacb答案：B例 6：已知三个数 ，则它们之
7、间的大小关系是（ ）0.53,log2,sabcA. B. C. D. cbcca思路：可先进行 分组， ， ，所以只需比较 大小，两者都介于,10.51,b,b之间且一个是对数，一个是三角函数，无法找到之间的联系。所以考虑寻找中间值作为0,1桥梁。以 作为入手点。利用特殊角的余弦值估计其大小。3cos2，而 ，从而 ，大小顺序为1331log2l2cbba答案：A小炼有话说：在寻找中间量时可以以其中一个为入手点，由于非特殊角的三角函数值可用特殊角三角函数值估计值的大小，所以本题优先选择 作为研究对象。c例 7：（2015 甘肃河西三校第一次联考）设 ，则（ ）1.3.13log7,2,08a
8、bA. B. C. D. baccbcacab思路：首先进行 分组，可得 ，下面比较 的大小，可以考虑以 作为中间0,11, 2量， ，所以 ，从而1. 332log7l92abb答案：D例 8：设 且 ，则 的大小关系0,1ab11,log,logb babxyza ,xyz是（ ）A. B. C. D. yxzzy高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -思路：由 可得： ，先用 将 分堆， ，0,1ab102ba0,1,xyz0x，则 为最大，只需要比较 即可，由于 的底数与真数不同，考虑进行适当,yzx,yz,yz变形并寻找中间量。 ，而 ，11logllogaba
9、baby1loglbbza因为 ，所以 ，所以顺序为 01bll,lzyyx答案：C例 9：下列四个数： 的大小顺序为_2ln,ln,l2,lnabcd思路：观察发现 ，其余均为正。所以只需比较 ，考虑 ，所0b,acln20,1以 ，而 ，所以下一步比较 ：ad1l2lcd,，所以 ，综上所述，lnlnlln2l0eac大小顺序为 bcad答案：例 10：已知 均为正数，且 ，则（ ）, 11222log,log,logbcaA. B. C. D. abccbcabac思路：本题要通过左右相等的条件，以某一侧的值作为突破口，去推断 的范围。首先,观察等式左侧，左侧的数值均大于 0，所以可得： 均大于 0，由对数的122log,log符号特点可得： ，只需比较 大小即可。观察到 ，从而,1,abc,ab1ba，所以顺序为1122loglc答案：A小炼有话说：本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为的形式，而第三个等式也可变形为 ，从而可以考虑视12logyx 2121loglcc分别为两个函数的交点。先作出 图像，再在这个坐标系中作出,abc 12logyx，比较交点的位置即可。12,2xxxyy
