云南省2019年中考数学总复习 提分专练练习（打包8套）.zip

1提分专练(一) 实数混合运算与代数式的化简求值|类型 1| 实数的混合运算1.[2017·盐城] 计算: + -1-20170.4122.[2017·益阳] 计算: |-4|-2cos60°+( - )0-(-3)2.3 223.[2017·长沙] 计算: |-3|+(π -2017)0-2sin30°+ -1.134.[2017·东营] 计算:6cos45° + -1+( -1.73)0+|5-3 |+42017×(-0.25)2017.13 3 23|类型 2| 整式的化简求值5.已知 x-2y=-3,求( x+2)2-6x+4y(y-x+1)的值 .6.[2018·邵阳] 先化简,再求值:( a-2b)(a+2b)-(a-2b)2+8b2,其中 a=-2,b= .124|类型 3| 分式的化简求值7.[2017·泰安] 先化简,再求值:2 - ÷ ,其中 x=3,y=-4.3𝑥+𝑦𝑥-2𝑦 9𝑥2+6𝑥𝑦+𝑦2𝑥2-4𝑦28.[2018·巴中] 先化简 1- · ,再在 1,2,3中选取一个适当的数代入求值 .2𝑥-1 𝑥2-𝑥𝑥2-6𝑥+959.[2018·烟台] 先化简,再求值: 1+ ÷ ,其中 x满足 x2-2x-5=0.𝑥2+2𝑥-2 𝑥+1𝑥2-4𝑥+4|类型 4| 与二次根式有关的化简求值10.[2017·湖州] 计算:2 ×(1- )+ .2 811.[2017·邵阳] 先化简 · + ,再在 -3,-1,0, ,2中选择一个合适的 x值代入求值 .𝑥2𝑥+3 𝑥2-9𝑥2-2𝑥 𝑥𝑥-2 2612.[2017·西宁] 先化简,再求值: -m-n ÷ ,其中 m-n= .𝑛2𝑛-𝑚 𝑚2 2713.[2017·凉山州] 先化简,再求值:1 - ÷ ,其中 a,b满足( a- )2+ =0.𝑎2+4𝑎𝑏+4𝑏2𝑎2-𝑎𝑏 𝑎+2𝑏𝑎-𝑏 2 𝑏+18参考答案1.[解析] 分别化简 , -1,20170,然后再计算 .412解:原式 =2+2-1=3.2.解:原式 =4-2× +1-9=-5.123.解:原式 =3+1-1+3=6.4.解:原式 =6× +3+1+5-3 +(-1)2017=3 +3+1+5-3 -1=8.22 2 2 25.解:( x+2)2-6x+4y(y-x+1)=x2+4x+4-6x+4y2-4xy+4y=x2+4y2-2x+4-4xy+4y=x2-4xy+4y2-(2x-4y)+4=(x-2y)2-2(x-2y)+4,当 x-2y=-3时,原式 =(-3)2-2×(-3)+4=19.6.解:原式 =a2-4b2-(a2-4ab+4b2)+8b2=a2-4b2-a2+4ab-4b2+8b2=4ab.当 a=-2,b= 时 ,原式 =4ab=4×(-2)× =-4.12 127.解:2 - ÷ =2- · =2- = .3𝑥+𝑦𝑥-2𝑦 9𝑥2+6𝑥𝑦+𝑦2𝑥2-4𝑦2 3𝑥+𝑦𝑥-2𝑦 (𝑥+2𝑦)(𝑥-2𝑦)(3𝑥+𝑦)2 𝑥+2𝑦3𝑥+𝑦 5𝑥3𝑥+𝑦当 x=3,y=-4时,原式 = = =3.5×33×3+(-4)1558.解:原式 = · = ,选 x=2代入得原式 = =-2.𝑥-3𝑥-1 𝑥(𝑥-1)(𝑥-3)2 𝑥𝑥-3 22-399.解: 1+ ÷ = ÷ = · =x(x-2)=x2-2x.𝑥2+2𝑥-2 𝑥+1𝑥2-4𝑥+4𝑥-2+𝑥2+2𝑥-2 𝑥+1(𝑥-2)2𝑥(1+𝑥)𝑥-2 (𝑥-2)2𝑥+1∵ x2-2x-5=0,∴ x2-2x=5,∴原式 =5.10.[解析] 实数的混合运算,先乘除后加减,然后进行二次根式的化简,最后合并同类二次根式 .解:原式 =2-2 +2 =2.2 211.解:原式 = · + = + =x,𝑥2𝑥+3 (𝑥+3)(𝑥-3)𝑥(𝑥-2) 𝑥𝑥-2𝑥(𝑥-3)𝑥-2 𝑥𝑥-2当 x=-1时,原式 =-1.(或当 x= 时,原式 = )2 212.解:原式 = ÷m2[𝑛2𝑛-𝑚-(𝑚+𝑛)(𝑛-𝑚)𝑛-𝑚 ]= - ÷m2𝑛2𝑛-𝑚𝑛2-𝑚2𝑛-𝑚= ×𝑚2𝑛-𝑚 1𝑚2=1𝑛-𝑚=- .1𝑚-𝑛当 m-n= 时,原式 =- =- .212 2213.解:1 - ÷𝑎2+4𝑎𝑏+4𝑏2𝑎2-𝑎𝑏 𝑎+2𝑏𝑎-𝑏=1- ·(𝑎+2𝑏)2𝑎(𝑎-𝑏) 𝑎-𝑏𝑎+2𝑏=1-𝑎+2𝑏𝑎10=𝑎-𝑎-2𝑏𝑎=- .2𝑏𝑎∵ a,b满足( a- )2+ =0,2 𝑏+1∴ a- =0,b+1=0,2∴ a= ,b=-1,2当 a= ,b=-1时,原式 =- = .22×(-1)2 21提分专练(七) 以圆为背景的综合计算与证明题|类型 1| 圆与切线有关的问题1.[2017·南充] 如图 T7-1,在 Rt△ ACB 中,∠ ACB=90°,以 AC 为直径作☉ O 交 AB 于点 D,E 为 BC 的中点,连接 DE 并延长交 AC 的延长线于点 F.(1)求证: DE 是☉ O 的切线;(2)若 CF=2,DF=4,求☉ O 直径的长 .图 T7-122.[2018·沈阳] 如图 T7-2,BE 是☉ O 的直径,点 A 和点 D 是☉ O 上的两点,过点 A 作☉ O 的切线交 BE 延长线于点 C.(1)若∠ ADE=25°,求∠ C 的度数;(2)若 AB=AC,CE=2,求☉ O 半径的长 .图 T7-2|类型 2| 圆与平行四边形结合的问题3.如图 T7-3,AB 是半圆 O 的直径,点 C,D 为半圆 O 的三等分点,过点 C 作 CE⊥ AD,交 AD 的延长线于点 E.(1)求证: CE 为半圆 O 的切线;(2)判断四边形 AOCD 是否为菱形?并说明理由 .图 T7-334.如图 T7-4,在 Rt△ ABC 中,∠ ABC=90°,点 M 是 AC 的中点,以 AB 为直径作☉ O 分别交 AC,BM 于点 D,E.(1)求证: MD=ME;(2)填空:①若 AB=6,当 AD=2DM 时, DE= ; ②连接 OD,OE,当∠ A 的度数为 时,四边形 ODME 是菱形 . 图 T7-44|类型 3| 圆与三角函数结合的问题5.[2017·咸宁] 如图 T7-5,在△ ABC 中, AB=AC,以 AB 为直径的☉ O 与边 BC,AC 分别交于 D,E 两点,过点 D 作 DF⊥ AC,垂足为点 F.(1)求证: DF 是☉ O 的切线;(2)若 AE=4,cosA= ,求 DF 的长 .25图 T7-56.[2018·金华、丽水] 如图 T7-6,在 Rt△ ABC 中,点 O 在斜边 AB 上,以 O 为圆心, OB 为半径作圆,分别与 BC,AB 相交于点 D,E,连接 AD.已知∠ CAD=∠ B.(1)求证: AD 是☉ O 的切线;(2)若 BC=8,tanB= ,求☉ O 的半径 .125图 T7-6|类型 4| 圆与相似三角形结合的问题7.[2017·天门] 如图 T7-7,AB 为☉ O 的直径, C 为☉ O 上一点, AD 与过点 C 的切线互相垂直,垂足为 D,AD 交☉ O 于点 E,连接 CE,CB,AC.(1)求证: CE=CB;(2)若 AC=2 ,CE= ,求 AE 的长 .5 5图 T7-768.如图 T7-8,AB,BC,CD 分别与☉ O 相切于点 E,F,G,且 AB∥ CD,BO=6 cm,CO=8 cm.(1)求证: BO⊥ CO;(2)求 BE 和 CG 的长 .图 T7-87参考答案1.[解析] (1)连接 OD,欲证 DE 是☉ O 的切线,需证 OD⊥ DE,即需证∠ ODE=90°,而∠ ACB=90°,连接 CD,根据“等边对等角”可知∠ EDC=∠ ECD,∠ ODC=∠ OCD,进而得出∠ ODE=90°,从而得证 .(2)在 Rt△ ODF 中,利用勾股定理建立关于半径的方程求解 .解:(1)证明:连接 OD,CD.∵ AC 是☉ O 的直径,∴∠ ADC=90°.∴∠ BDC=90°.又 E 为 BC 的中点,∴ DE= BC=CE.12∴∠ EDC=∠ ECD.∵ OD=OC,∴∠ ODC=∠ OCD.∴∠ EDC+∠ ODC=∠ ECD+∠ OCD=∠ ACB=90°.∴∠ ODE=90°.∴ DE 是☉ O 的切线 .(2)设☉ O 的半径为 x.在 Rt△ ODF 中, OD2+DF2=OF2,即 x2+42=(x+2)2,解得 x=3.∴☉ O 的直径为 6.82.解:(1)如图,连接 OA,∵ AC 为☉ O 的切线, OA 是☉ O 半径,∴ OA⊥ AC.∴∠ OAC=90°.∵∠ ADE=25°,∴∠ AOE=2∠ ADE=50°.∴∠ C=90°-∠ AOE=90°-50°=40°.(2)∵ AB=AC,∴∠ B=∠ C.∵∠ AOC=2∠ B,∴∠ AOC=2∠ C.∵∠ OAC=90°,∴∠ AOC+∠ C=90°,3∠ C=90°,∠ C=30°.∴ OA= OC.12设☉ O 的半径为 r,∵ CE=2,∴ r= (r+2).12∴ r=2.∴☉ O 的半径为 2.3.解:(1)证明:如图,连接 OD,∵点 C,D 为半圆 O 的三等分点,∴∠ AOD=∠ COD=∠ COB=60°.9∵ OA=OD,∴△ AOD 为等边三角形,∴∠ DAO=60°,∴ AE∥ OC.∵ CE⊥ AD,∴ CE⊥ OC,∴ CE 为半圆 O 的切线 .(2)四边形 AOCD 为菱形 .理由:∵ OD=OC,∠ COD=60°,∴△ OCD 为等边三角形,∴ CD=CO.同理: AD=AO.∵ AO=CO,∴ AD=AO=CO=DC,∴四边形 AOCD 为菱形 .4.解:(1)证明:在 Rt△ ABC 中,∵点 M 是 AC 的中点,∴ MA=MB,∴∠ A=∠ MBA.∵四边形 ABED 是圆内接四边形,∴∠ ADE+∠ ABE=180°,又∠ ADE+∠ MDE=180°,∴∠ MDE=∠ MBA.同理可证:∠ MED=∠ A,∴∠ MDE=∠ MED,∴ MD=ME.(2)①2[解析] 由 MD=ME,MA=MB,得 DE∥ AB,∴ = ,又 AD=2DM,𝑀𝐷𝑀𝐴𝐷𝐸𝐴𝐵∴ = ,∴ = ,∴ DE=2.𝑀𝐷𝑀𝐴13 𝐷𝐸6 1310②60°[解析] 当∠ A=60°时,△ AOD 是等边三角形,这时易证∠ DOE=60°,△ ODE 和△ MDE 都是等边三角形,且全等,∴四边形ODME 是菱形 .5.解:(1)证明:连接 OD.∵ OB=OD,∴∠ ODB=∠ B.又∵ AB=AC,∴∠ C=∠ B,∴∠ ODB=∠ C,∴ OD∥ AC.∵ DF⊥ AC,∴∠ DFC=90°,∴∠ ODF=∠ DFC=90°,∴ DF 是☉ O 的切线 .(2)过点 O 作 OG⊥ AC,垂足为 G.∴ AG= AE=2.12∵cos A= ,∴ OA= =5,𝐴𝐺𝑂𝐴 𝐴𝐺𝑐𝑜𝑠𝐴∴ OG= = .𝑂𝐴2-𝐴𝐺2 21∵∠ ODF=∠ DFG=∠ OGF=90°,∴四边形 OGFD 是矩形,∴ DF=OG= .216.解:(1)证明:连接 OD.11∵ OB=OD,∴∠3 =∠ B.∵∠ B=∠1,∴∠3 =∠1 .在 Rt△ ACD 中,∠1 +∠2 =90°,∴∠3 +∠2 =90°,∴∠4 =180°-(∠2 +∠3) =180°-90°=90°.∴ OD⊥ AD.∴ AD 是☉ O 的切线 .(2)设☉ O 的半径为 r.在 Rt△ ABC 中, AC=BC·tanB=8× =4,12∴ AB= = =4 .𝐴𝐶2+𝐵𝐶2 42+82 5∴ OA=4 -r.5在 Rt△ ACD 中,tan∠1 =tanB= ,12∴ CD=AC·tan∠1 =4× =2,12∴ AD2=AC2+CD2=42+22=20.在 Rt△ ADO 中, OA2=OD2+AD2,∴(4 -r)2=r2+20.解得 r= .532 5故☉ O 的半径是 .32 57.解:(1)证明:连接 OC,12∵ CD 为☉ O 的切线,∴ OC⊥ CD.∵ AD⊥ CD,∴ OC∥ AD,∴∠1 =∠3 .又∵ OA=OC,∴∠2 =∠3,∴∠1 =∠2,∴ CE=CB.(2)∵ AB 为☉ O 的直径,∴∠ ACB=90°.∵ AC=2 ,CB=CE= ,5 5∴ AB= = =5.𝐴𝐶2+𝐶𝐵2 (25)2+(5)2∵∠ ADC=∠ ACB=90°,∠1 =∠2,∴△ ADC∽△ ACB.∴ = = ,即 = = ,𝐴𝐷𝐴𝐶𝐴𝐶𝐴𝐵𝐷𝐶𝐶𝐵 𝐴𝐷25255 𝐷𝐶5∴ AD=4,DC=2.在 Rt△ DCE 中, DE= = =1,𝐸𝐶2-𝐷𝐶2 (5)2-22∴ AE=AD-ED=4-1=3.8.解:(1)证明:∵ AB∥ CD,∴∠ ABC+∠ BCD=180°.∵ AB,BC,CD 分别与☉ O 相切于点 E,F,G,∴ BO 平分∠ ABC,CO 平分∠ DCB,13∴∠ OBC= ∠ ABC,∠ OCB= ∠ DCB,12 12∴∠ OBC+∠ OCB= (∠ ABC+∠ DCB)= ×180°=90°,12 12∴∠ BOC=90°,∴ BO⊥ CO.(2)如图,连接 OF,则 OF⊥ BC.∴Rt△ BOF∽Rt△ BCO,∴ = .𝐵𝐹𝐵𝑂𝐵𝑂𝐵𝐶∵在 Rt△ BOC 中, BO=6 cm,CO=8 cm,∴ BC= =10(cm),62+82∴ = ,∴ BF=3.6 cm.𝐵𝐹6 610∵ AB,BC,CD 分别与☉ O 相切,∴ BE=BF=3.6 cm,CG=CF.∵ CF=BC-BF=10-3.6=6.4(cm),∴ CG=CF=6.4 cm.1提分专练(三) 一次函数与反比例函数综合1.[2018·济宁] 如图 T3-1,点 A 是反比例函数 y= (x0)图象上一点,直线 y=kx+b 过点 A 并且与两坐标轴分别交于点4𝑥B,C.过点 A 作 AD⊥ x 轴,垂足为 D,连接 DC,若△ BOC 的面积是 4,则△ DOC 的面积是 . 图 T3-12.[2018·安顺] 如图 T3-2,已知直线 y=k1x+b 与 x 轴、 y 轴相交于 P,Q 两点,与 y= 的图象相交于 A(-2,m),B(1,n)两𝑘2𝑥点,连接 OA,OB,给出下列结论: ①k 1k2 的解集是 x0 的解集 .𝑚𝑥图 T3-657.[2018·菏泽] 如图 T3-7,已知点 D 在反比例函数 y= 的图象上,过点 D 作 DB⊥ y 轴,垂足为 B(0,3),直线 y=kx+b 经𝑎𝑥过点 A(5,0),与 y 轴交于点 C,且 BD=OC,OC∶OA= 2∶ 5.(1)求反比例函数 y= 和一次函数 y=kx+b 的表达式;𝑎𝑥(2)直接写出关于 x 的不等式 kx+b 的解集 .𝑎𝑥图 T3-768.[2017·黄冈] 已知:如图 T3-8,一次函数 y=-2x+1 与反比例函数 y= 的图象有两个交点 A(-1,m)和 B,过点 A 作𝑘𝑥AE⊥ x 轴,垂足为点 E;过点 B 作 BD⊥ y 轴,垂足为点 D,且点 D 的坐标为(0, -2),连接 DE.(1)求 k 的值;(2)求四边形 AEDB 的面积 .7图 T3-88参考答案1.2 -2 [解析] 根据直线 y=kx+b 与两坐标轴分别交于 B,C 两点,则点 B 的坐标为 - ,0 ,点 C 的坐标为(0, b),而△3𝑏𝑘BOC 的面积为 4,则 · ·b=4,即 k= ,则直线的表达式为 y= x+b.设点 A 的坐标为 m, ,则 ·m+b= ,即12 𝑏𝑘 𝑏28 𝑏28 4𝑚 𝑏28 4𝑚b2m2+8bm=32,解得 bm=4 -4(负值舍去),∵ S△ COD= CO·DO= bm=2 -2,因此本题答案为 2 -2.312 12 3 32.②③④ [解析] 由图象知, k10,故①错误 ;把 A(-2,m),B(1,n)代入 y= 中得 k2=-2m=n,∴ m+ n=0,故𝑘2𝑥 12②正确;把 A(-2,m),B(1,n)代入 y=k1x+b 中得 解得 ∵ -2m=n,∴ y=-mx-m.∵直线 y=k1x+b 与{𝑚=-2𝑘1+𝑏,𝑛=𝑘1+𝑏, {𝑘1=𝑛-𝑚3 ,𝑏=2𝑛+𝑚3 .x 轴、 y 轴相交于 P,Q 两点,∴ P(-1,0),Q(0,-m).∴ OP=1,OQ=m.∴ S△ AOP= m,S△ BOQ= m,即 S△ AOP=S△ BOQ,故③正确;由图象12 12知,不等式 k1x+b 的解集是 x0,b0,而当 x=-1 时, y=-a+b0,反比例函数图象应该在第一、三象限,故选项 B 错误;由选项 C,D 中直线的位置,可知 a0,而当 x=-1 时, y=-a+b0,从而 a-b0 的解集为 x0 时,反比例函数 y=- 的图象在一次函数 y= x-2 的图象的下方;6𝑥 25∴不等式 kx+b 的解集是 x0.𝑎𝑥8.解:(1)将点 A(-1,m)代入一次函数 y=-2x+1 得, -2×(-1)+1=m,∴ m=3.∴ A 点的坐标为( -1,3).将 A(-1,3)代入 y= 得, k=(-1)×3=-3.𝑘𝑥(2)如图,设直线 AB 与 y 轴相交于点 M,则点 M(0,1).∵点 D(0,-2),∴ MD=3.又∵ A(-1,3),AE∥ y 轴,∴ E(-1,0),AE=3.12∴ AE∥ MD,AE=MD.∴四边形 AEDM 为平行四边形 .∵ BD∥ x 轴,且 D(0,-2),∴把 y=-2 代入 y=-2x+1,得 x= ,32∴ B ,-2 .32∴ S 四边形 AEDB=S△ MDB+S 平行四边形 AEDM= × ×3+3×1= .12 32 2141提分专练(二) 解方程(组)与解不等式(组)|类型 1| 解二元一次方程组1.解方程组: {𝑥+2𝑦=5,①3𝑥-2𝑦=-1.② 2.已知关于 x,y 的方程组 的解满足 x0,y0,求实数 a 的取值范围 .{5𝑥+2𝑦=11𝑎+18,2𝑥-3𝑦=12𝑎-8 2|类型 2| 解一元二次方程3.[2018·兰州] 解方程:3 x2-2x-2=0.34.先化简,再求值:( x-1)÷ -1 ,其中 x 为方程 x2+3x+2=0 的根 .2𝑥+15.当 x 满足条件 时,求出方程 x2-2x-4=0 的根 .{𝑥+15𝑥-7,𝑥+103 2𝑥. 12.[2018·黄冈] 求满足不等式组 的所有整数解 .{𝑥-3(𝑥-2)≤8,12𝑥-10,y0,∴ {3𝑎+20,⑤-2𝑎+40,⑥ 由⑤得 a- ,23由⑥得 a5𝑥-7① ,𝑥+103 2𝑥② . 由①得: x3,由②得: x2,∴不等式组的解集为 x2.12.解:解 x-3(x-2)≤8,得 x≥ -1;解 x-13- x,得 x2.所以不等式组的解集为 -1≤ x2,其中所有的整数解为 -1,0,1.12 32111提分专练(五) 与全等三角形有关的中档计算题与证明题|类型 1| 全等三角形与等腰三角形的结合问题 1.如图 T5-1,在△ ABC 中, AB=AC,AD⊥ BC,CE⊥ AB,AE=CE.求证:(1)△ AEF≌△ CEB;(2)AF=2CD.图 T5-122.[2017·苏州] 如图 T5-2,∠ A=∠ B,AE=BE,点 D 在 AC 边上,∠1 =∠2, AE 和 BD 相交于点 O.(1)求证:△ AEC≌△ BED;(2)若∠1 =42°,求∠ BDE 的度数 .图 T5-23.[2017·呼和浩特] 如图 T5-3,等腰三角形 ABC 中, BD,CE 分别是两腰上的中线 .(1)求证: BD=CE;(2)设 BD 与 CE 相交于点 O,点 M,N 分别为线段 BO 和 CO 的中点 .当△ ABC 的重心到顶点 A 的距离与底边长相等时,判断四边形 DEMN 的形状,无需说明理由 .图 T5-334.如图 T5-4,△ ACB 和△ DCE 均为等腰三角形,点 A,D,E 在同一直线上,连接 BE.若∠ CAB=∠ CBA=∠ CDE=∠ CED=50°.(1)求证: AD=BE;(2)求∠ AEB 的度数 .图 T5-44|类型 2| 全等三角形与直角三角形的结合问题5.如图 T5-5,在△ ABC 中, AD⊥ BC,CE⊥ AB,垂足分别为 D,E,AD,CE 交于点 H,请你添加一个适当条件 ,使△AEH≌△ CEB. 图 T5-56.如图 T5-6,在△ ABC 中,∠ C=90°,AD 平分∠ CAB,交 CB 于点 D,过点 D 作 DE⊥ AB 于点 E.(1)求证:△ ACD≌△ AED;(2)若∠ B=30°,CD=1,求 BD 的长 .图 T5-65|类型 3| 全等三角形与等腰直角三角形的结合问题7.已知:如图 T5-7,△ ACB 和△ ECD 都是等腰直角三角形,∠ ACB=∠ ECD=90°,D 为 AB 边上一点 .(1)求证:△ ACE≌△ BCD;(2)求证:2 CD2=AD2+DB2.图 T5-768.如图 T5-8,在△ ABC 和△ BCD 中,∠ BAC=∠ BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延长 CA 至点 E,使 AE=AC;延长 CB 至点 F,使 BF=BC.连接 AD,AF,DF,EF,延长 DB 交 EF 于点 N.(1)求证: AD=AF;(2)求证: BD=EF.图 T5-87参考答案1.证明:(1)∵ AD⊥ BC,CE⊥ AB,∴∠ BCE+∠ B=90°,∠ FAE+∠ B=90°,∴∠ FAE=∠ BCE.在△ AEF 和△ CEB 中,{∠𝐹𝐴𝐸=∠𝐵𝐶𝐸,𝐴𝐸=𝐶𝐸,∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐶𝐸𝐵,∴△ AEF≌△ CEB(ASA).(2)∵ AB=AC,AD⊥ BC,∴ BC=2CD.∵△ AEF≌△ CEB,∴ AF=BC,∴ AF=2CD.2.[解析] (1)用 ASA 证明两三角形全等;(2)利用全等三角形的性质得出 EC=ED,∠ C=∠ BDE,再利用等腰三角形的性质:等边对等角,即可求出∠ C 的度数,进而得到∠ BDE 的度数 .解:(1)证明:∵ AE 和 BD 相交于点 O,∴∠ AOD=∠ BOE.在△ AOD 和△ BOE 中,∠ A=∠ B,∴∠ BEO=∠2 .又∵∠1 =∠2,∴∠1 =∠ BEO,∴∠ AEC=∠ BED.8在△ AEC 和△ BED 中, {∠𝐴=∠𝐵,𝐴𝐸=𝐵𝐸,∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐵𝐸𝐷,∴△ AEC≌△ BED(ASA).(2)∵△ AEC≌△ BED,∴ EC=ED,∠ C=∠ BDE.在△ EDC 中,∵ EC=ED,∠1 =42°,∴∠ C=∠ EDC=69°,∴∠ BDE=∠ C=69°.3.解:(1)证明:∵ AB,AC 为等腰三角形的两腰,∴ AB=AC.∵ BD,CE 分别是两腰上的中线,∴ AE=AD.在△ AEC 与△ ADB 中,{𝐴𝐸=𝐴𝐷,∠𝐴=∠𝐴,𝐴𝐶=𝐴𝐵,∴△ AEC≌△ ADB,∴ BD=CE.(2)四边形 DEMN 为正方形 .4.解:(1)证明:∵∠ CAB=∠ CBA=∠ CDE=∠ CED=50°,∴ AC=BC,DC=EC,∠ ACB=∠ DCE=180°-2×50°=80°.9∵∠ ACB=∠ ACD+∠ DCB,∠ DCE=∠ DCB+∠ BCE,∴∠ ACD=∠ BCE.在△ ACD 和△ BCE 中,{𝐴𝐶=𝐵𝐶,∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐸,𝐷𝐶=𝐸𝐶, ∴△ ACD≌△ BCE(SAS),∴ AD=BE.(2)∵△ ACD≌△ BCE,∴∠ ADC=∠ BEC.∵点 A,D,E 在同一直线上,且∠ CDE=50°,∴∠ ADC=180°-∠ CDE=130°,∴∠ BEC=130°.∵∠ BEC=∠ CED+∠ AEB,且∠ CED=50°,∴∠ AEB=∠ BEC-∠ CED=130°-50°=80°.5.AE=EC(答案不唯一) [解析] 根据垂直关系,可以判断△ AEH 与△ CEB 有两对对应角相等,所以只需要找它们的一对对应边相等就可以了 .∵ AD⊥ BC,CE⊥ AB,垂足分别为 D,E,∴∠ BEC=∠ AEC=∠ HDC=90°,在 Rt△ AEH 中,∠ EAH=90°-∠ AHE,在 Rt△ CDH 中,∠ DCH=90°-∠ DHC,又∠ AHE=∠ DHC,∴∠ EAH=∠ BCE.10所以根据 AAS 可添加 AH=CB 或 EH=EB;根据 ASA 可添加 AE=CE.故答案为 AH=CB 或 EH=EB 或 AE=CE 等 .6.解:(1)证明:∵ AD 平分∠ CAB,∴∠ CAD=∠ EAD.∵ DE⊥ AB,∠ C=90°,∴∠ ACD=∠ AED=90°.又∵ AD=AD,∴△ ACD≌△ AED.(2)∵△ ACD≌△ AED,∴ DE=CD=1.∵∠ B=30°,∠ DEB=90°,∴ BD=2DE=2.7.证明:(1)∵△ ABC 和△ ECD 都是等腰直角三角形,∴ AC=BC,CD=CE,∵∠ ACB=∠ DCE=90°,∴∠ ACE+∠ ACD=∠ BCD+∠ ACD,∴∠ ACE=∠ BCD,在△ ACE 和△ BCD 中,{𝐴𝐶=𝐵𝐶,∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵𝐶𝐷,𝐶𝐸=𝐶𝐷, 11∴△ ACE≌△ BCD(SAS).(2)∵△ ACB 是等腰直角三角形,∴∠ B=∠ BAC=45°.∵△ ACE≌△ BCD,∴∠ B=∠ CAE=45°.∴∠ DAE=∠ CAE+∠ BAC=45°+45°=90°,∴ AD2+AE2=DE2.由(1)知 AE=DB,∴ AD2+DB2=DE2,又 DE2=2CD2,∴2 CD2=AD2+DB2.8.证明:(1)∵ AB=AC,∠ BAC=90°,∴∠ ABC=∠ ACB=45°,∴∠ ABF=135°.∵∠ BCD=90°,∴∠ ACD=135°.∴∠ ABF=∠ ACD,∵ CB=CD,CB=BF,∴ BF=CD.在△ ABF 和△ ACD 中,{𝐴𝐵=𝐴𝐶,∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐴𝐶𝐷,𝐵𝐹=𝐶𝐷, ∴△ ABF≌△ ACD(SAS),∴ AD=AF.(2)由(1)知, AF=AD,△ ABF≌△ ACD,12∴∠ FAB=∠ DAC.∵∠ BAC=90°,∴∠ EAB=∠ BAC=90°,∴∠ EAF=∠ BAD.在△ AEF 和△ ABD 中,{𝐴𝐸=𝐴𝐵,∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐷,𝐴𝐹=𝐴𝐷, ∴△ AEF≌△ ABD(SAS),∴ BD=EF.1提分专练(八) 统计与概率|类型 1| 统计图与概率的相关计算1.[2018·达州] 为调查达州市民上班时最常用的交通工具的情况,随机抽取了部分市民进行调查,要求被调查者从“A:自行车,B:电动车,C:公交车,D:家庭汽车,E:其他”五个选项中选择最常用的一项,将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图,请结合统计图回答下列问题 .(1)本次调查中,一共调查了 名市民,扇形统计图中,B 项对应的扇形圆心角是 度,补全条形统计图; (2)若甲、乙两人上班时从 A,B,C,D四种交通工具中随机选择一种,请用列表法或画树状图的方法,求出甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率 .图 T8-122.[2018·泸州] 为了解某中学学生课余生活情况,对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计 .现从该校随机抽取 n名学生作为样本,采用问卷调查的方法收集数据(参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项) .并根据调查得到的数据绘制成了如图 T8-2所示的两幅不完整的统计图 .由图中提供的信息,解答下列问题:(1)求 n的值;(2)若该校学生共有 1200人,试估计该校喜爱看电视的学生人数;(3)若调查到喜爱体育活动的 4名学生中有 3名男生和 1名女生,现从这 4名学生中任意抽取 2名学生,求恰好抽到 2名男生的概率 .3图 T8-24|类型 2| 统计表与概率的相关计算3.[2018·枣庄] 现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱,某兴趣小组随机调查了我市 50名教师某日“微信运动”中的步数情况,将数据进行统计整理,绘制了如下的统计图表(不完整):步数 频数 频率0≤ x4000 8 a4000≤ x8000 15 0.38000≤ x12000 12 b12000≤ x16000 c 0.216000≤ x20000 3 0.0620000≤ x24000 d 0.04图 T8-3根据以上信息,解答下列问题:(1)写出 a,b,c,d的值,并补全频数分布直方图 .(2)本市约有 37800名教师,用调查的样本数据估计日行走步数超过 12000步(包含 12000步)的教师有多少名?(3)若在 50名被调查的教师中,选取日行走步数超过 16000步(包含 16000步)的两名教师与大家分享心得,求被选取的两名教师恰好都在 20000步以上(包含 20000步)的概率 .54.[2017·苏州] 初一(1)班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查(每名学生分别选一个活动项目),并根据调查结果列出统计表,绘制成扇形统计图 .男、女生所选项目人数统计表项目 男生(人数) 女生(人数)机器人 7 93D打印 m 4航模 2 2其他 5 n图 T8-46根据以上信息解决下列问题:(1)m= ,n= ; (2)扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为 °; (3)从选航模项目的 4名学生中随机选取 2名学生参加学校航模兴趣小组训练,请用列举法(画树状图或列表)求所选取的 2名学生中恰好有 1名男生、1 名女生的概率 .7参考答案1.解:(1)2000;54,补全条形统计图如图:(2)列表法:乙甲 A B C DA (A,A) (A,B) (A,C) (A,D)B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D)C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D)D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D)画树状图的方法:从上面的表格(或树状图)可以看出,所有可能的结果共有 16种,且每种结果出现的可能性相同,其中甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的有 4种,即(A,A),(B,B),(C,C),(D,D),∴ P(甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班) = = .416142.解:(1) n=5÷10%=50(人) .(2)喜爱看电视的百分比:(50 -15-20-5)÷50×100%=20%,该校喜爱看电视的人数为 1200×20%=240(人) .8(3)设三名男生为男 A,男 B,男 C,从这 4名学生中任意抽取 2名学生,所有可能的情况如下表:男 A 男 B 男 C 女男 A(男 A,男B)(男 A,男C)(男 A,女)男 B(男 B,男A)(男 B,男C)(男 B,女)男 C(男 C,男A)(男 C,男B)(男 C,女)女 (女,男 A) (女,男 B) (女,男 C)由表可知,总共有 12种可能的结果,每种结果的可能性都相同,其中,抽到两名男生的结果有 6种,所以 P(抽到两名男生)= = .612123.解:(1) a=0.16,b=0.24,c=10,d=2.补全频数分布直方图如下图:(2) ×100%=30%,37800×30%=11340(人),即估计日行走步数超过 12000步(包含 12000步)的教师有 11340名 .10+3+250(3)设 16000≤ x20000的三名教师分别为 A,B,C,20000≤ x24000的两名教师分别为 X,Y,列表如下:A B C X YA BA CA XA YAB AB CB XB YB9C AC BC XC YCX AX BX CX YXY AY BY CY XY从表中可知,选取日行走步数超过 16000步(包括 16000步)的两名教师与大家分享心得,共有 20种情况,其中被选取的两名教师恰好都在 20000步以上(包含 20000步)的有 2种情况,所以 = ,即被选取的两名教师恰好都在 20000步以220110上(包含 20000步)的概率是 .1104.解:(1) m=8,n=3;(2)144;(3)将选航模项目的 2名男生编上号码 1,2,将 2名女生编上号码 3,4.用表格列出所有可能出现的结果:1 2 3 41 (1,2) (1,3) (1,4)2 (2,1) (2,3) (2,4)3 (3,1) (3,2) (3,4)4 (4,1) (4,2) (4,3)由表格可知,共有 12种可能出现的结果,并且它们都是等可能的,其中“1 名男生、1 名女生”有 8种可能的结果 .∴ P(所选取 2名学生中恰有 1名男生、1 名女生) = = .812231提分专练(六) 以矩形、菱形、正方形为背景的中档计算题与证明题|类型 1| 以矩形为背景的问题1.[2018·连云港] 如图 T6-1,矩形 ABCD中, E是 AD的中点,延长 CE,BA交于点 F,连接 AC,DF.(1)求证:四边形 ACDF是平行四边形;(2)当 CF平分∠ BCD时,写出 BC与 CD的数量关系,并说明理由 .图 T6-122.[2017·日照] 如图 T6-2,已知 BA=AE=DC,AD=EC,CE⊥ AE,垂足为 E.(1)求证:△ DCA≌△ EAC;(2)只需添加一个条件,即 ,可使四边形 ABCD为矩形 .请加以证明 . 图 T6-23.已知:如图 T6-3,在△ ABC中, AB=AC,AD是 BC边上的中线, AE∥ BC,CE⊥ AE,垂足为 E.(1)求证:△ ABD≌△ CAE.(2)连接 DE,线段 DE与 AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论 .图 T6-33|类型 2| 以菱形为背景的问题4.[2017·北京] 如图 T6-4,在四边形 ABCD中, BD为一条对角线, AD∥ BC,AD=2BC,∠ ABD=90°,E为 AD的中点,连接 BE.(1)求证:四边形 BCDE为菱形;(2)连接 AC,若 AC平分∠ BAD,BC=1,求 AC的长 .图 T6-445.已知:如图 T6-5,在▱ ABCD中, E,F分别是边 AD,BC上的点,且 AE=CF,直线 EF分别交 BA的延长线、 DC的延长线于点G,H,交 BD于点 O.(1)求证:△ ABE≌△ CDF.(2)连接 DG,若 DG=BG,则四边形 BEDF是什么特殊四边形?请说明理由 .图 T6-5|类型 3| 以正方形为背景的问题6.[2018·盐城] 在正方形 ABCD中,对角线 BD所在的直线上有两点 E,F,满足 BE=DF,连接 AE,AF,CE,CF,如图 T6-6所示 .(1)求证:△ ABE≌△ ADF;(2)试判断四边形 AECF的形状,并说明理由 .5图 T6-67.如图 T6-7,已知正方形 ABCD中, BC=3,点 E,F分别是 CB,CD延长线上的点, DF=BE,连接 AE,AF,过点 A作 AH⊥ ED于点 H.(1)求证:△ ADF≌△ ABE;(2)若 BE=1,求 tan∠ AED的值 .图 T6-768.[2018·聊城] 如图 T6-8,正方形 ABCD中, E是 BC上的一点,连接 AE,过点 B作 BH⊥ AE,垂足为点 H,延长 BH交 CD于点 F,连接 AF.(1)求证: AE=BF;(2)若正方形边长是 5,BE=2,求 AF的长 .图 T6-87参考答案1.解:(1)证明:∵四边形 ABCD是矩形,∴ AB∥ CD,∴∠ FAE=∠ CDE,∵ E是 AD的中点,∴ AE=DE,又∵∠ FEA=∠ CED,∴△ FAE≌△ CDE,∴ CD=FA,又∵ CD∥ AF,∴四边形 ACDF是平行四边形 .(2)BC=2CD.理由:∵ CF平分∠ BCD,∴∠ DCE=45°,∵∠ CDE=90°,∴△ CDE是等腰直角三角形,∴ CD=DE,∵ E是 AD的中点,∴ AD=2CD,∵ AD=BC,∴ BC=2CD.2.解:(1)证明:在△ DCA和△ EAC中, {𝐷𝐶=𝐸𝐴,𝐴𝐷=𝐶𝐸,𝐴𝐶=𝐶𝐴,∴△ DCA≌△ EAC(SSS).(2)添加 AD=BC,可使四边形 ABCD为矩形(添加的条件不唯一) .证明如下:∵ AB=DC,AD=BC,∴四边形 ABCD是平行四边形,∵ CE⊥ AE,8∴∠ E=90°,由(1)得:△ DCA≌△ EAC,∴∠ D=∠ E=90°,∴四边形 ABCD为矩形 .3.解:(1)证明:∵ AB=AC,AD是 BC边上的中线,∴ AD⊥ BC,BD=CD.∵ AE∥ BC,CE⊥ AE,∴∠ DCE=90°,∴四边形 ADCE是矩形,∴ AD=CE.在 Rt△ ABD与 Rt△ CAE中,{𝐴𝐷=𝐶𝐸,𝐴𝐵=𝐶𝐴,∴Rt△ ABD≌Rt△ CAE.(2)DE∥ AB,DE=AB.证明如下:如图所示,由(1)知四边形 ADCE是矩形,∴ AE=CD=BD,又 AE∥ BD,∴四边形 ABDE是平行四边形,9∴ DE∥ AB,DE=AB.4.解:(1)证明:∵ E为 AD的中点, AD=2BC,∴ BC=ED,∵ AD∥ BC,∴四边形 BCDE是平行四边形,∵∠ ABD=90°,AE=DE,∴ BE=ED,∴四边形 BCDE是菱形 .(2)∵ AD∥ BC,AC平分∠ BAD,∴∠ BAC=∠ DAC=∠ BCA,∴ BA=BC=1,∵ AD=2BC=2,∴sin∠ ADB= ,12∴∠ ADB=30°,∴∠ DAC=30°,∠ ADC=60°.∴∠ ACD=90°.在 Rt△ ACD中, AD=2,CD=1,∴ AC= .35.解:(1)证明:∵四边形 ABCD是平行四边形,∴ AB=CD,∠ BAE=∠ DCF,在△ ABE和△ CDF中, {𝐴𝐵=𝐶𝐷,∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐶𝐹,𝐴𝐸=𝐶𝐹, ∴△ ABE≌△ CDF(SAS).(2)四边形 BEDF是菱形 .理由如下:∵四边形 ABCD是平行四边形,∴ AD∥ BC,AD=BC,10∵ AE=CF,∴ DE=BF,∴四边形 BEDF是平行四边形,∴ OB=OD,∵ DG=BG,∴ EF⊥ BD,∴四边形 BEDF是菱形 .6.解:(1)证明:∵四边形 ABCD是正方形,∴∠ ABD=45°,∠ ADB=45°,AB=AD.∴∠ ABE=∠ ADF=135°.又∵ BE=DF,∴△ ABE≌△ ADF(SAS).(2)四边形 AECF是菱形 .理由:连接 AC交 BD于点 O,图略 .则 AC⊥ BD,OA=OC,OB=OD.又∵ BE=DF,∴ OE=OF,∴四边形 AECF是菱形 .7.解:(1)证明:正方形 ABCD中,AD=AB,∠ ADC=∠ ABC=90°,∴∠ ADF=∠ ABE=90°.在△ ADF与△ ABE中,∵ AD=AB,∠ ADF=∠ ABE,DF=BE,∴△ ADF≌△ ABE.(2)在 Rt△ ABE中,∵ AB=BC=3,BE=1,∴ AE= ,ED= =5,10 𝐶𝐷2+𝐶𝐸211∵ S△ AED= AD×BA= ED×AH,12 12∴ AH= = =1.8.𝐴𝐷·𝐵𝐴𝐸𝐷3×35∴在 Rt△ AHE中, EH= =2.6,𝐴𝐸2-𝐴𝐻2∴tan∠ AED= = = .𝐴𝐻𝐸𝐻1.82.6 9138.解:(1)证明:∵四边形 ABCD是正方形,∴ AB=BC,∠ ABC=∠ C=90°,∵ BH⊥ AE,垂足为点 H,∴∠ BAE+∠ ABH=90°,∵∠ CBF+∠ ABH=90°,∴∠ BAE=∠ CBF.在△ ABE和△ BCF中, {∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶=90°,𝐴𝐵=𝐵𝐶,∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐵𝐹, ∴△ ABE≌△ BCF(ASA),∴ AE=BF.(2)∵△ ABE≌△ BCF,∴ CF=BE=2,∵正方形的边长为 5,∴ AD=CD=5,∴ DF=CD-CF=5-2=3.在 Rt△ ADF中,AF= = = .𝐴𝐷2+𝐷𝐹2 52+32 341