1、共 89 页,平面向量的概念及线性运算,平面向量（必修）,共 89 页,走进高考第一关 基础关,共 89 页,教 材 回 归,1.向量的概念 (1)把既有_又有_的量叫做向量. (2)把只有大小,没有方向的量(如年龄身高长度面积 体积质量等),称为_. (3)向量的大小叫做向量的_(或模)._的 向量叫零向量,记作_,零向量的方向_, 规定零向量与任意向量_.,大小,方向,数量,长度,长度为零,0,任意,平行(共线),共 89 页,(4)相等向量是指_ 的向量;相反向量是指_ 的向量,规定零向量的相_ 零向量的相反向量是_. (5)方向相同或相反的向量叫_,也叫_.长度为1的向量叫做_.,长度
2、相等,方向相同,大小相等,方向相反,平行向量,共线向量,单位向量,共 89 页,2. 向量的线性运算 (1)向量加法的定义 已知向量ab,如图,平面内任取一点A,作 =a, =b,再作 ,则_叫做a与b的和,记作a+b. 即a+b=_+_=_. 求两个向量和的运算叫做向量的加法.,共 89 页,(2)向量求和的三角形法则 利用向量加法的定义求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的_法则.在运用此法则时,要注意“首尾相接”,即两个向量的和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量_的向量.,三角形,终点,共 89 页,(3)向量求和的平行四边形法则 已知两个不共线向量ab,作 =a, =b,对ABD三
3、点不共线,以ABAD为邻边作_,则对角线上的向量是 =_,这个法则叫做两向量求和的_法则.,平行四边形ABCD,a+b,平行四边形,共 89 页,(4)向量的减法 向量a加上向量b的_叫做a与b的差,记作a-b,若 =a, =b,则a-b=_.,相反向量,共 89 页,(5)实数与向量积的定义: 实数与向量a的积是一个_,记a,|a|=_,当0时,a与a方向_;0时,a与a方向_;=0时,a=_.,向量,|,|a|,相同,相反,共 89 页,(6)向量的加法减法和向量的数乘的综合运算通常叫做向量的_运算.向量加法的交换律表达式为_;向量加法的结合律表达式为_. 若,为实数,则 (+)a=_ (
4、a)=_ (a+b)=_.,线性,a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a+a,a,a+b,共 89 页,3. 向量共线的条件 平行向量基本定理:如a=b,则_,如果ab(ba),则存在_使_.,ab,惟一实数,a=b,共 89 页,考 点 陪 练 1. (基础题,易)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,共 89 页,答案:B,共 89 页,共 89 页,答案:A,共 89 页,3.(2010新创题,易)平面上有三点ABC,设m= + , n= - ,若向量m,n的长度恰好相等,则有( ) A. ABC三点必在同一直线上 B.
5、ABC必为等腰三角形且B为顶点 C. ABC必为直角三角形且B为直角 D. ABC必为等腰直角三角形,共 89 页,答案:C,共 89 页,共 89 页,答案:D,共 89 页,已知ABC的三个顶点ABC及平面内一点P满足 ,则P点是ABC的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析:以PAPB为邻边作平行四边形APBD.如右图所示,则,即 ,CPD三点共线且. 又ABPD互相平分, ,即P为重心. 答案:C,共 89 页,解读高考 第二关 热点关,共 89 页,类型一:向量的有关概念,解题准备: 准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键.共线向量即为平行向量,非零向量平行具有传递
6、性,两个向量方向相同或相反就是共线向量,与向量长度无关,两个向量方向相同且长度相等,才是相等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关.,共 89 页,典例1 判断下列命题是否正确 (1)若|a|=|b|,则a=b; (2)若ABCD是不共线的四点,则 = 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件; (3)若a=b,b=c,则a=c; (4)a=b的充要条件是,共 89 页,(5)|a|=|b|是a=b的必要不充分条件; (6)平行向量就是共线向量; (7)相反向量一定是平行向量; (8)平面内4个不同点ABCD共线的充要条件是存在非零实数k,使得 =k ; (9)已知a是任一个非零向量,则 是一
7、个单位向量.,共 89 页,解(1)不正确,两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同,因此,由|a|=|b|不能推出a=b. (2)正确, = ,| |=| |,且 又 ABCD是不共线的四点, 四边形ABCD是平行四边形. 反之,若四边形ABCD是平行四边形,则 ,且 与 方向相同,因此 = . (3)正确,a=b,ab的长度相等且方向相同. 又b=c,bc的长度相等且方向相同. ac的长度相等且方向相同,故a=c.,共 89 页,(4)不正确,当ab且方向相反时,即使|a|=|b|也不能得到a=b.故 不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件. (5)正确,|a|=|b|a=b,但a=b
8、|a|=|b|. |a|=|b|是a=b的必要不充分条件. (6)正确.不同于平面几何中的平行与共线的概念,向量的平行与共线是同一概念.,共 89 页,(7)正确.由相反向量的定义可知(7)正确. (8)不正确.点的共线与向量的共线是不同的概念. (9)正确.由单位向量的定义可知模长为1的向量即为单位向量,而,答案(1)(4)(8)不正确. (2)(3)(5)(6)(7)(9)正确.,【评析】熟练掌握有关基本概念是解决此类小题的关键.,共 89 页,类型二:平面向量的线性运算及应用,共 89 页,解题准备: 1. 向量的加法:(1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法;(2)法则:三角形法
9、则,平行四边形法则; (3)运算律:a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c). 2. 向量的减法:(1)定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法;(2)法则:三角形法则. (3) - = 常用于向量式的化简.,共 89 页,3 . 实数与向量的积:(1)定义:实数与向量a的积是一个向量,记作a,规定:|a|=|a|.当0时,的方向与a的方向相同;当0时,a的方向与a的方向相反;当=0时,a=0.由此可见,总有a与a平行;(2)运算律:(ua)=(u)a,(+u)a=a+ua,(a+b)=a+b.,4. 线段中点的向量表示:若M是线段AB的中点,O是平面内任一点,则 = ( + ).,共
10、89 页,典例2 如图,在ABC中,在AC上取点N,使得AN= AC,在AB上取点M,使得AM= AB,在BN的延长线上取点P,使得NP= BN,在CM的延长线上取一点Q,使得MQ=CM时, ,试确定的值.,共 89 页,共 89 页,共 89 页,【评析】本例解法1利用了向量的加减法运算,结合共线向量定理,将未知向量 、 转化到 上,使问题得以解决;解法2是利用了平面几何的知识,简单明了,两种方法都有独到之处,可相互渗透.,共 89 页,类型三:向量共线问题 解题准备:已知三点共线,则由这三点构成的向量也共线.反过来,要证A,B,C三点共线,只需证明 与 共线,即 = (R).,共 89 页
11、,典例3设两个非零向量a与b不共线, (1)若 =a+b, =2a+8b, =3(a-b). 求证:ABD三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线. 分析：解决点共线或向量共线问题,要根据向量共线定理进行.,共 89 页,共 89 页,（）解 与共线， 存在实数，使（）， 即 （）（） 、是不共线的两个非零向量， ， ,共 89 页,评析：(1)向量共线是指存在实数使两向量互相表示. (2)向量共线的充要条件中,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想. (3)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两
12、向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.,共 89 页,【探究】如图,点O是梯形ABCD对角线的交点, |AD|=4,|BC|=6,|AB|=2.设与 同向的单位向量为a0,与同向的单位向量为b0. (1)用a0和b0表示 ; (2)若点P在梯形ABCD所在的平面上运动,且 ,求 的最大值和最小值.,共 89 页,共 89 页,共 89 页,笑对高考第三关 成熟关,共 89 页,名 师 纠 错 误区一:忽视零向量性质致误 典例1下列叙述错误的是_. 若ab,bc,则ac; 若非零向量a与b方向相同或相反,则a+b与a,b之一的方向相同; |a|+|b|=|a+b|a与b方向相同; 向量b与向量
13、a共线的充要条件是有且只有一个实数,使得b=a; + =0; 若a=b,则a=b.,共 89 页,剖析忽视零向量的特殊性是本题出错的主要原因,本题前四个结论都与此有关;另外两个相反向量的和是一个零向量,不是实数零;最后一个结论可能忽视了=0的情况.,共 89 页,正确这六个命题都是错误的,因为对于,当b=0,a不一定与c平行; 对于,当a+b=0时,其方向任意,它与a,b的方向都不相同; 对于,当a,b之一为零向量时结论不成立; 对于,当a=0,且b=0,有无数个值;当a=0但b0,不存在; 对于,由于两个向量之和得到的仍是一个向量,所以 + =0;对于 ,当=0时,不管a与b的大小与方向如何
14、,都有a=b,此时不一定有a=b.,共 89 页,评析零向量的特殊性零向量是向量中最特殊的向量,规定零向量的长度为0,其方向是任意的,零向量与任意向量都共线.它在向量中的位置正如实数中0的位置一样,但有了它容易引起一些混淆,稍微考虑不到就会出错,考生应给予足够的重视.,共 89 页,误区二：向量加减法的几何意义不明致误,共 89 页,共 89 页,共 89 页,评析根据向量减法的三角形法则，两个向量相减，所得向量是减向量的终点指向被减向量的终点所得的向量，也就是说对于平面上任意一点，,共 89 页,解 题 策 略 怎样应用向量的加减法解题 由于向量“数”与“形”的双重性,向量的加法与减法是用几
15、何作图来定义的,一般用三角形法则和平行四边形法则. 两个法则是研究整个向量问题的重要工具,在后面的章节知识的学习将会有更深的体会,下面就其应用进行举例分析. 1. 用已知向量表示图形中的其他向量 运用向量的加法法则减法法则共线向量的定义,注意利用相等向量及相反向量转换.,共 89 页,典例1 如图所示,O为ABC的外心,H为垂心,试用向量 表示向量,共 89 页,共 89 页,2.化简向量式 根据加法法则,在化简过程中,利用相反向量可将减法运算转化为加法运算,注意“首尾相接”的合并运算.,共 89 页,典例2 已知O是ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2 + + =0,那么( ) A.
16、= B. =2 C. =3 D.2 =,答案A,评析本题利用平行四边形法则化简向量式.,共 89 页,3. 求向量的长度 追本溯源,线段AB的长度就是向量 的长度,因此,求向量的长度的问题可转至求线段AB或BA的长度问题.,共 89 页,典例3已知在同一平面内的向量a与b垂直,向量c与向量a的夹角为60,且|a|=1,|b|= ,|c|=2,则向量r=a+b+c的模等于_.,4或2,共 89 页,解析根据题意在平面内作出向量a,b,c有两种情况,如图所示.在图1中,a+b与c同向且模相等,r=a+b+c=2c,|r|=2|c|=22=4. 在图2中,a+b与c模相等,以它们为邻边的平行四边形为
17、菱形, r=a+b+c=2a,|r|=2|a|=21=2.,共 89 页,典例4 在ABC中,已知D是AB边上一点,若 =2 , = + ,则=( ) A. B. C. - D. ,共 89 页,答案A,评析本题考查向量的加减运算.,共 89 页,快速解题,共 89 页,共 89 页,共 89 页,快解题目的形式暗示结果为一定值,则过重心G的任意直线都符合题意,不防设EFBC,则= ,故 + = + =3.,共 89 页,方法与技巧填空不需要推证步骤,只要得到正确结果就能得分.能找到符合题意的特殊情况,就可以使做题效率大大提高.详解用到了共线向量的概念及向量的加法运算和减法运算,若此题为解答题
18、,则需要掌握详解的思路和方法.,得分主要部分 、 由 、 表出, 再由E、G、F共线得到EG=kFG,求出、的关系,从而可求出 + 的值.,易丢分原因 、 是否能由 、 表示出至关重要,之后能不能利用二者共线,也严重影响下面的步骤.另外,得到、k的两个等式后不知消去k,而求、,同求不出结果,这样丢分最为遗憾.,共 89 页,教 师 备 选,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 用向量方法研究平面几何问题的步骤: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系; (3)把运算结果“翻译”成几何关系.,共
19、 89 页,向量集数与形于一身,既有代数的抽象性又有几何的直观性,因而向量方法是几何研究的一个有力工具.而“三步曲”给出了利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想.在解决平面几何问题时,将几何问题转化为向量问题是关键.对具体问题是选用向量几何法还是用向量的坐标法是难点,利用向量的坐标法有时会给解决问题带来方便.在用向量法证明时,一定要把向量结论还原为几何问题.下面举例说明.,共 89 页,共 89 页,共 89 页,评析利用向量方法求轨迹,关键是由图形中的一些线段,得到向量之间的关系,并运用向量的知识进行解决,如向量的数量积向量的模的运算等.,共 89 页,课时作业二十四 平面向量的概念及线性
20、运算,共 89 页,一选择题 1. (基础题,易)已知R,则下列命题正确的是( ) A. |a|=|a| B. |a|=|a C. |a|=|a| D.|a|0,解析:当0时,|a|=|a|不成立;|a|应该是一个非负实数,而非向量,所以B不正确;当=0或a=0时,|a|=0,D错误.故选C.,答案:C,共 89 页,答案:C,共 89 页,3. (基础题,易)已知平面内有一点P及一个ABC, A. 点P在ABC外部 B. 点P在线段AB上 C. 点P在线段BC上 D. 点P在线段AC上,答案:D,共 89 页,4. (基础题,易)O是平面上一定点,ABC是平面上不共线的三个点,动点P满足 =
21、 +( + ),0， 则点P的轨迹一定通过ABC的（ ） A.外心 B.垂心 C内心 D.重心,答案.D,共 89 页,5.（2010.苏州模拟）(能力题,中)已知点I为ABC内任意一点,若( + -2 )( - )=0,则下列结论一定成立的是( ) A. AB=BC=CA B. AB=BC C. AB=CA D. BC=CA,答案:D,解析:设AB中点为D,( + -2 )( - )=( + ) =2 =0,所以 ,又因为D为中点,所以有BC=CA,选D.,共 89 页,解析:由向量的减法知 = - ,选B.,6. (基础题,易)若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 ( )
22、A. = + B. = - C. =- + D. = - -,答案:B,共 89 页,二填空题 7. (能力题,中)如图平面内有三个向量 ,其中 与 的夹角为120, 与 的夹角为30,且| |=| |=1,| |=23,若 = + (,R),则+的值为_.,6,共 89 页,共 89 页,8.(能力题,中)如图,在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N, 若 =m , =n ,则m+n的值为_.,2,解析:由于MN的任意性可用特殊位置法:当MN与BC重合时知m=1,n=1,故m+n=2,填2.,共 89 页,9. (基础题,易)已知向量a,b是两个非零
23、向量,则在下列四个条件中,能使a,b共线的条件是 2a-3b=4e,且a+2b=-3e 存在相异实数,使a+b=0 xa+yb=0(实数x,y满足x+y=0) 已知梯形ABCD中, =a, =b,将正确的序号填在横线上_.,共 89 页,解析:由得:10a-b=0,故对. 正确,对于当x=y=0时a与b不共线, 若ABCD则 与 共线,若ADBC,则 与 不共线,故不对,因此正确.,共 89 页,共 89 页,评析：本题是已知三点共线的一个重要结论,共 89 页,11. (能力题,中)如图所示,ABC中,点M是BC的中点,点N在AC边上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP:PM的值.,共 89 页,解:设 =e1, =e2,则 = + =-3e2-e1, =2e1+e2, APM和BPN分别共线,存在R,使 = =-e1-3e2, = =2e1+e2. 故 = - =(+2)e1+(3+)e2, 而 = + =2e1+3e2,共 89 页,12. (2010新创题,中)设不在同一直线上的三点ABC的位置向量分别为a,b,c,线段ABAC的长分别为p,q,问以a+t ( + )(t0)为位置向量的点形成什么图形.,共 89 页,
