1、228附 录 一 计 算 机 数 的 运 算 基 础第一节 进位计数制及相互转换一、进位计数制按进位的原则进行计数的方法称之为进位计数制，简称进位制。人们日常生活中习惯上使用十进制，而二进制使于实现、存储、传输，所以计算机中采用二进制。但二进制不易书写和阅读，因此又引入了八进制和十六进制。1十进制（后缀或下标 D 表示）十进制计数原则：逢十进一十进制的基数为：10十进制的数码为：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9十进制数第 K 位的权为：10 k（第 K 位的权为基数的 K 次方，第 K 位的数码与第 K 位权的乘积表示第K 位数的值） 。例如：8846.78=810 3+8102+410
2、1+6106+7101+8102该数中共出现三次数码 8，但各自的权不一样，故其代表的值也不一样。2二进制（后缀或下标 B 表示）二进制计数原则：逢二进一二进制的基数为：2二进制的数码为：0 1二进制数第 K 位的权为：2 K例如：11010101.01B=127+126+025+124+023+122+021+120+021+122=213.25N 位二进制数可以表示 2N 个数。例如 3 位二进制数可以表示 8 个数，如附表 1 所示：附表 1二 进 制 数 000 001 010 011 100 101 110 111相应的十进制数 0 1 2 3 4 5 6 73八进制（后缀或下标 O
3、 表示）229八进制计计数原则：逢八进一八进制的基数为：8八进制的数码为：0 1 2 3 4 5 6 7八进制数第 K 位的权为：8 K例如：127O=18 2+281+780=87D4十六进制（后缀或下标 H 表示）十六进制计数原则：逢十六进一十六进制的基数为：16十六进制的数码为：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F十六进制第 K 位的权为： 16k例如：64.4H=616 1+4160+4161=100.25D十六进制数、二进制和十进制数的对应关系如附表 2 所示：附表 2二 进 制 数 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 01
4、11十 进 制 数 0 1 2 3 4 5 6 7十六进制数 0 1 2 3 4 5 6 7二 进 制 数 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111十 进 制 数 8 9 10 11 12 13 14 15十六进制数 8 9 A B C D E F二、不同进位制之间的转换。1二进制数转换为十制数。转换原则：按权展开求和。例如：10001101.11B=127+026+025+024+123+122+021+120+121+122=141.75D 八进制十六进制转换为十进制数也同样遵循该原则，不再单独介绍了。2十进制数转换为二进制数十进制数转换为二进制数的原
5、则：整数部分：除基取余，逆序排列小数部分：乘基取整，顺序排列230例附1 将十进数 186 和 0.8125 转换成二进制数。因此 ： 186D = 10111010B 0.8125D = 0.11011B注意：当十进制小数不能用有限位二进制小数精确表示时，根据精度要求，采用“0 舍 1 入”法，取有限位二进制小数近似表示。十进制数转换为八进制，十六进制数同样遵循该原则。3二进制转换为十六进制由于十六进制的基数是 2 的幂，所以二进制与十六进制之间的转换是十分方便的，二进制转换为十六进制的原则：整数部分从低位到高位四位一组不足补零，直接用十六进制数来表示；小数部分从高位到低位四位一组不足补零，
6、直接用十六进制数表示。例附2 将二进制数 10011110.00111 转换成十六进制数。1001 1110 . 0011 10009 E 3 8所以 10011110.00111B9E.38H。4十六进制数转换为二进制数十六进制数转换为二进制数的原则：十六进制数中的每一位用 4 位二进制数来表示。例如：将十六进制数 A87.B8 转换为二进制数。A 8 7 . B 8 1010 1000 0111 1011 1000所以 A87.B8H=101010000111.10111000B。八进制的基数同样是 2 的幂，因此二进制与十六进制之间的转换也遵循以高位低位低位高位231上的原则，只是将原则
7、中的四位改成三位。例如：将二进制数 11010110.110101B 转换成八进制数。将八进制数 746.42O 转换成二进制数。011 010 110 . 110 101 7 4 6 . 4 23 2 6 6 5 111 100 110 100 01所以，11010110.110101B=326.65O， 746.42O=111100110.100010B三、八进制数和十六进制数运算1二进制数的运算加法法则 乘法法则000 0 X 0=0011 0 X 1=0101 1 X 0=0110（进位 1） 1 X 1=1注意：二进制数加法运算中 110（进位 1）和逻辑运算中 111 的不同含义。
8、2十六进制数的运算十六进制数的运算遵循“逢十六进一”的原则。 十六进制加法：十六进制数相加，当某一位上的数码之和 S 小于 16 时与十进制数同样处理，如果数码之各 S16 时，则应该用 S 减 16 及进位 1 来取代 S。例如： 0 8 A 3 H+ 4 B 8 9 H5 4 2 CH 十六进制减法十六进制减法也与十进制数类似，够减时直接相减，不够减时服从向高位借 1 为 16 的原则。例如： 0 5 C 3 H3 D 2 5 HC 8 9 E H232十六进制数的乘除运算同样根据逢十六进一的原则处理，这里不再繁述。第二节 计算机中数和字符的表示一、计算机中有符号数的表示。计算机中的数是用
9、二进制来表示的，有符号数中的符号也是用二进制数值来表示，0 表示“”号，1 表示“”号，这种符号数值化之后表示的数称之为机器数，它表示的数值称之为机器数的真值。为将减法变为加法，以方便运算简化 CPU 的硬件结构，机器数有三种表示方法：即原码、反码和补码。1原码最高位为符号位，符号位后表示该数的绝对值。例如：+112原=01110000B112原=11110000B其中最高位为符号位，后面的 7 位是数值（字长为 8 位，若字长为 16 位，则后面 15 位为数值） 。原码表示时112 和112 的数值位相同，符号位不同。说明： 0 的原码有两种表示法：+0 原=00000000B0原=100
10、00000B N 位原码的表示范围为：12 N1 2N11。例如 8 位原码表示的范围为：127+1272反码最高位为符号位，正数的反码与原码相同，负数的反码为其正数原码按位求反。+112 反=01110000B112反=10001111B说明： 0 的反码有两种表示法：+0 反=00000000B2330反=11111111B N 位反码表示的范围为： 12 n12 n11；例如 8 位反码表示的范围为 127+127。 符号位为 1 时，其后不是该数的绝对值。例如反码 11100101B 的真值为 27，而不是101。3补码最高位为符号位，正数的补码与原码相同；负数的补码为其正数原码按位求
11、反再加 1。例如： +112补 =01110000B112补 =10010000B说明： 0 的补码只有一种表示法：+0= 0=00000000B； n 位补码所能表示的范围为2 n12 n11；例如 8 位补码表示的范围为128+127。 八位机器数中：128补=10000000B，128原，128反不存在。 符号位为 1 时，其后不是该数的绝对值。例如：补码 11110010B 的真值为 14，而不是114。有符号数采用补码表示时，就可以将减法运算转换为加法运算。因此计算机中有符号数均以补码表示。例如：X8416（84）（ 16）X补=+84补+16补（+84）补 =01010100B（1
12、6）补=11110000B0 1 0 1 0 1 0 0B+ 1 1 1 1 0 0 0 0B0 1 0 0 0 1 0 0B1所以 X补 =01000100B，即 X=68。在字长为 8 位的机器中，第 7 位的进位自动丢失，但这不会影响运算结果。234机器中这一位并不是真正丢失，而是保存在程序状态字 PSW 中的进位标志 Cy中。又如：X4888（48）（ 88）X 补=+48补+88补+48补 =00110000B88补=10101000B0 0 1 1 0 0 0 0B+ 1 0 1 0 1 0 0 0B1 1 0 1 1 0 0 0B所以 X补 =11011000B，即 X=40。为
13、进一步说明补码如何将减法运算转换为加法运算，我们举一日常的例子：对于钟表，它所能表示的最大数为 12 点，我们把它称之为模，即一个系统的量程或所能表示的最大的数。若当前标准时间为 6 点，现有一只表为 9 点，可以有两种调时方法： 936（倒拨） 996（顺拨）即有 9993612693因此对某一确定的模，某数减去小于模的一数，总可以用加上该数的负数与其模之各（即补码）来代替。故引入补码后，减法就可以转换为加法。补码表示的数还具有以下特性：XY 补 X补Y补XY 补 X补Y补附表 3 为 n8 和 n16 时 n 位补码表示的数的范围。235附表 3 n 位二进制补码数的表示范围十进制数 二进
14、制数 十六进制数 十进制数 十六进制数N=8 n=16+127+126.+2+10-1-2.-126-127-1280111111101111110.0000001000000001000000001111111111111110.1000001010000001100000007F7E.020100FFEE.828180+32767+32766.+2+10-1-2.-32766-32767-327687FFF7FFE.000200010000FFFFFFFE.800280018000二、无符号整数在某些情况下，处理的全是正数时，就不必须再保留符号位。我们把最高有效位也作为数值处理，这样的数称
15、之为无符号整数。8 位无符号数表示的范围为：0255。计算机中最常用的无符号整数是表示存储单元地址的数。三、字符表示字母、数字、符号等各种字符（例如键盘输出的信息或打印输出的信都是按字符方式输出输出）按特定的规则，用二进制编码在计算中表示。字符的编码方式很多，最普遍采用的是美国标准信息交换码 ASC码。ASC码是 7 位二进制编码。计算机中用一个字节表示一个 ASC码字符，最高位默认为 0，可用作校验位，见附录二。 236附录二 美国标准信息交换码（ASCII）字符表低 位高 位00000100012001030011401005010160110701118100091001A1010B1011C1100D1101E1110F11110000010001200103001140100501016011070111NULDLESP0P、PSONDCI！1AQaqSTXDC2”2BRbrETXDC3#3CScsEOTDC4$4DTdtENQSYN%5EUeuACKETB6FVfvBELSYN，7GWgwBSCAN（8HXhxHTEM）9IYIyLFSUB*：JZjzVTESC+：KkFFFS，LllCRGS-=MmSORS。NnSIUS/?OoDEL237
