1、基础过关1.已知椭圆 E: + =1(ab0)的离心率为 ,以椭圆的短轴为直径的圆与直线 x-y+ =0 相切 .2222 12 6(1)求椭圆 E 的方程;(2)设椭圆中过右焦点 F 的弦为 AB、过原点的弦为 CD,若 CD AB,求证: 为定值 .|2|2.已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为 ,经过椭圆 C 的右焦点的弦中最短弦的长为 2.2222 22(1)求椭圆 C 的方程 .(2)已知椭圆 C 的左顶点为 A,O 为坐标原点,以 AO 为直径的圆上是否存在一条切线 l 交椭圆C 于不同的两点 M,N,且直线 OM 与 ON 的斜率的乘积为 ?若存在,求出切线 l 的方程;
2、 若不存在,716请说明理由 .3.已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 y 轴上,且抛物线上有一点 P(m,5)到焦点的距离为 6.(1)求该抛物线 C 的方程 .(2)已知抛物线上一点 M(4,t),过点 M 作抛物线的两条弦 MD 和 ME,且 MD ME,判断直线 DE 是否过定点?并说明理由 .4.已知抛物线 C:x2=8y 与直线 l:y=kx+1 交于 A,B 两个不同的点 ,分别过点 A,B 作抛物线 C 的切线,所得的两条切线相交于点 P.(1)求证: 为定值( O 为坐标原点 );(2)求 ABP 的面积的最小值及此时直线 l 的方程 . 能力提升5.设抛物线 C:y2=2
3、px(p0)的焦点为 F,准线为 l.已知点 A 在抛物线 C 上, 点 B 在 l 上, ABF 是边长为 4 的等边三角形 .(1)求 p 的值 .(2)在 x 轴上是否存在一点 N,当过点 N 的直线 l与抛物线 C 交于 Q,R 两点时, + 为定值?若1|2 1|2存在,求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由 .6.已知椭圆 C: + =1(ab0)经过点 A 1, ,且两个焦点 F1,F2 的坐标依次为( -1,0),(1,0).2222 32(1)求椭圆 C 的标准方程 .(2)设 E,F 是椭圆 C 上的两个动点 ,O 为坐标原点,直线 OE 的斜率为 k1,直线 OF 的斜
4、率为 k2,求当 k1k2 为何值时,直线 EF 与以原点为圆心的定圆相切?并写出此定圆的标准方程 .限时集训(十七)基础过关1.解:(1)依题意,原点到直线 x-y+ =0 的距离为 b,则有 b= = .6612+(1)2 3由 = ,得 a2= b2=4. 椭圆 E 的方程为 + =1.22 12 43 2423(2)证明: 当直线 AB 的斜率不存在时 ,易求得 |AB|=3,|CD|=2 ,则 =4.3|2| 当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的斜率为 k,依题意 k0,则直线 AB 的方程为 y=k(x-1),直线 CD 的方程为 y=kx.设 A(x1,y1),B(x2,
5、y2),C(x3,y3),D(x4,y4).由 得(3 +4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,24+23=1,=(1)则 x1+x2= ,x1x2= ,823+42 42123+42|AB|= |x1-x2|= = .1+2 1+2 (823+42)24(42123+42)12(1+2)3+42由 得 x2= ,则 |x3-x4|= ,|CD|= |x3-x4|=4 .24+23=1,= 123+42 433+42 1+2 3(1+2)3+42 = =4.|2| 48(1+2)3+42 3+4212(1+2)综合 得, =4,为定值 .|2|2.解:(1)由题意有 又 a2-b2=c2,
6、得 a2=4,b2=2,所以椭圆 C 的方程为 + =1.=22,22=2, 2422(2)由题意可设切线 l 的方程为 y=kx+b,以 AO 为直径的圆的圆心为( -1,0),半径为 1,则有 d=1,得 k= b- .|+|2+1 12 1由 得( 2k2+1)x2+4kbx+2b2-4=0.=+,24+22=1,设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1x2= ,41+22 2241+22又 kOMkON= = = ,得 b2-32k2+14=0,11 22212+(1+2)+212 716将 k= b- 代入上式,有 b2-32 b2-2+ +14=0,即(
7、b2-4)(7b2-2)=0,12 1 14 12所以 b=2 或 b= .147所以 b=2 时, k= ;b=-2 时, k=- ;34 34b= 时, k=- ;b=- 时, k= .147 51428 147 51428所以切线 l 的方程为 y= x+2 或 y=- x-2 或 y=- x+ 或 y= x- .34 34 51428 147 51428 1473.解:(1)由题意设抛物线方程为 x2=2py(p0),其准线方程为 y=- .2由于 P(m,5)到焦点的距离等于 P 到准线的距离,所以 5+ =6,所以 p=2.2所以抛物线方程为 x2=4y.(2)由(1)可得点 M(
8、4,4),设直线 MD 的方程为 y=k(x-4)+4,且 k0,由 得 x2-4kx+16k-16=0.=(4)+4,2=4, 设 D(x1,y1),E(x2,y2),则 xMx1=16k-16,x 1= =4k-4,y1= =4(k-1)2.16164 (44)24同理可得 x2=- -4,y2=4 +1 2,4 1所以直线 DE 的方程为 y-4(k-1)2= (x-4k+4),即 y-4(k-1)2= (x-4k+4)=4(1)24(1+1) 244+4+4(+1)(12)+1k- -2 (x-4k+4),1化简得 y= k- -2 x+4k- = k- -2 (x+4)+8,1 4
9、1 直线 DE 过定点( -4,8).4.解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去 y 得 x2-8kx-8=0,方程的两个根为 x1,x2,2=8,=+1,则 = 64k2+320 恒成立, x1+x2=8k,x1x2=-8.A ,B 在抛物线 C 上, y 1= ,y2= ,y 1y2= = =1.218 228 218 228(12)264(1)证明: =(x1,y1), =(x2,y2), =x1x2+y1y2=-8+1=-7,为定值 . (2)由 x2=8y,得 y= x2,则 y= x,kAP= x1,kBP= x2,18 14 14 14 切线 AP:y- = x1(
10、x-x1),即 y= x1x- .21814 14 1821同理得切线 BP:y= x2x- .14 1822由 得 2x(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2),而 x1 x2,=1411821,=1421822,故有 x= =4k,y= =-1,即点 P(4k,-1).1+22 128|AB|= = =4 ,(1+2)(12)2 (1+2)(642+32)2 (1+2)(22+1)点 P(4k,-1)到直线 l:y=kx+1 的距离 d= ,|42+2|1+2S ABP= |AB|d= 4 =4 (2k2+1 .12 12 2 (1+2)(22+1)|42+2|1+2 2 )32k 2
11、0, 当 k2=0,即 k=0 时, S ABP 有最小值 4 ,此时直线 l 的方程为 y=1.2能力提升5.解:(1)由题知, |AF|=|AB|,则 AB l.设准线 l 与 x 轴交于点 D,则 AB DF.又 ABF 是边长为 4 的等边三角形, ABF=60,所以 BFD=60,|DF|=|BF|cos BFD=4 =2,即 p=2.12(2)设点 N(t,0),由题意知,直线 l的斜率不为零 .设直线 l的方程为 x=my+t,点 Q(x1,y1),R(x2,y2).由 得 y2-4my-4t=0,则 = 16m2+16t0,y1+y2=4m,y1y2=-4t.=+,2=4 又
12、|NQ|2=(x1-t)2+ =(my1+t-t)2+ =(1+m2) .同理可得 |NR|2=(1+m2) .则有21 21 21 22+ = + = = = = .1|2 1|2 1(1+2)21 1(1+2)22 21+22(1+2)2122(1+2)2212(1+2)2122 162+816(1+2)2 22+(22+2)2若 + 为定值 ,则 t=2,此时点 N(2,0)为定点 .1|2 1|2又当 t=2,mR 时, 0,满足题意,所以,存在点 N(2,0),当过点 N 的直线 l与抛物线 C 交于 Q,R 两点时, + 为定值 .1|2 1|2 146.解:(1)由椭圆的定义得
13、2a= + =4,(1+1)2+(320) 2 (11)2+(320) 2即 a=2,又 c=1,所以 b2=3,得椭圆 C 的标准方程为 + =1.2423(2)当直线 EF 的斜率存在时,设直线 EF 的方程为 y=kx+n,E(x1,y1),F(x2,y2).将直线 EF 的方程与椭圆方程联立,消去 y 得(3 +4k2)x2+8knx+4n2-12=0,则判别式 = 48(3+4k2-n2)0,x1+x2=- ,x1x2= .83+42 42123+42设 k1k2=m,由点 E,F 在直线 y=kx+n 上,得( kx1+n)(kx2+n)=mx1x2,整理得( k2-m)x1x2+nk(x1+x2)+n2=0,即( k2-m) +nk - +n2=0,化简得 n2= .42123+42 83+42 1221234原点 O 到直线 EF 的距离 d= ,则 d2= = ,|1+2 21+2 12212(34)2+34由已知得, d 是定值,所以有 = ,解得 m=-1,13434即当 k1k2=-1 时,直线 EF 与以原点为圆心的定圆相切 .验证知当直线 EF 的斜率不存在时也成立,此时 d= .故定圆的标准方程为 x2+y2= .127 127
