1、姜 堰 二 中 2018-2019 学 年 度 第 一 学 期 期 中 考 试高 二 数 学 试 题(文) 2018.11.12命题人：凌舜明（考试时间：120 分钟 满分：160 分） 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置1 设复数 （ 为虚数单位） ，则 的共轭复数为 2(i)zz2在某频率分布直方图中，从左往右有 10 个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余 9个小矩形的面积和的 ，且第一组数据的频数为 25，则样本容量为 153某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150，150，400，300 名学生为了解学生的就业倾向，用分层抽样
2、的方法从该校这四个专业中抽取 60 名学生进行调查，则应从丁专业抽取的学生人数为 4 某地区连续 5 天的最低气温（单位：C）依次为 8，-4，-1 ，0，2，则该组数据的方差为 5已知物体运动的方程为 ，则 t=2 时的瞬时速度为 tS3216袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为_.7某圆锥的侧面展开图是面积为 3且圆心角为 3的扇形，此圆锥的体积为 8在 4,上随机地取一个数 m，则事件“直线 20xym与20xy有公共点” 发生的概率为 9 在平面直角坐标系 中，双曲线 的一条渐近线与准线
3、的交点到另一条渐xOy214yx近线的距离为 10 如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1 的各条棱长均为 2， D 为棱 B1C1 上任意一点，则三棱锥 DA 1BC 的体积是 11已知 是抛物线 ： 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于F28yxMFy点 若 是 的中点，则 的长度为 NMFN12若函数 在 x=1 处取得极小值，则实数 a 的取值范围是axf ln)1(2)( 13圆 ，直线 ，若直线上存在点 ，过点 作圆 的两条切:yO3:yl PO线，切点是 ，使得 ，则实数 的取值范围是 BA, 06Pa14已知 F1、F 2 分别是椭圆 的左、右焦点，点 P 是椭圆上的任意一点
4、，则1482x的取值范围是 |1P二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤15 （本小题满分 14 分）如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中求证：（1）A 1CBD；（2）平面 AB1D1平面 BC1D16 （本小题满分 14 分）已知函数 ).()(23Raxf（1）当 a=1 时，求曲线 在点（1, f(1)）处的切线方程；y（2）若函数 只有一个零点，求 a 的取值范围. )(xf17 （本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 中，已知圆 及点 ， xOy2:40Cxy(1,)A(,2)B（1）若直线
5、 平行于 ，与圆 相交于 ， 两点， ，求直线 的方程；lABMNl（2）在圆 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求点 的个数；若不CP21ABP存在，说明理由18 （本小题满分 16 分）已知函数 ， ， .xfegmR（1）若曲线 与直线 相切且相切于点 ，求切点 P 坐标yfyx0,Pxy及实数 的值；m（2）记 ，求 在 上的最大值；hxfh01，19 （本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率为 ，xOyC210xyab()32且过点 设 为椭圆 在第一象限上的点， ， 分别为椭圆 的左顶点和下312， PABC顶点，且 交 轴于点 ， 交 轴于点 AyEBx
6、F（1）求 的值；ab，（2）若 为椭圆 的右焦点，求点 的坐标；FC（3）求证：四边形 的面积为定值20 （本小题满分 16 分）设椭圆 C： 的离心率 ，直线 与以原点为圆)0(12bayx 23e2xy心、椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 O 相切（1）求椭圆 C 的方程；O xyABPEF（第 18 题）（2）设直线 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，以线段 MN 为直径作圆 D，若圆21xD 与 y 轴相交于不同的两点 A，B ，求ABD 的面积；（3）如图，A 1，A 2，B 1，B 2 是椭圆 C 的顶点，P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点，直线 B2P 交 x 轴于点 F，直线
7、 A1B2 交 A2P 于点 E，设 A2P 的斜率为 k，EF 的斜率为 m，求证：2mk 为定值高二数学期中考试参考答案1 【解析】由于 ，所以 的共轭复数为 34i2(i)34izz34i2150【解析】设第一个小矩形面积为 ，由 ，得 ，从而样本容量为x616x5603 解析：由题意可得：甲、乙、丙、丁四个专业人数之比为 ，所以 100 名学生3:8中丁专业抽取人数为 人.6018241656.7 238 49 【解析】一条渐近线 与右准线 的交点为 ，其到另一条渐近线52yx5x52(,)的距离为 2yx451011如图，过点 作准线的垂线，垂足为 ，交 轴于点 ，所以 ，MTyP1
8、2MOF，所以 3FT26FN12a113 或25a1415 （1）证明：在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，则有 DBAC ，DBAA 1，且 AA1AC=A，DB 面 AA1C1C，A 1C 面 AA1C1C，A 1CBD ；7 分（2） 四边形 ABC1D1 是平行四边形，AD 1BC 1，又DBB 1D1，AD 1 面 AD1B1，B 1D1 面 AD1B1，BD 面 DBC1，BC 1 面 DBC1，且 AD1 D1B1=D1平面 AB1D1平面 BC1D7 分17 （1）圆 的标准方程为 ，所以圆心 ，半径为 C2()4xy(2,0)C2因为 ， ， ，所以直线 的斜率为 ，l
9、AB 1,0,l1设直线 的方程为 ， 2 分xym则圆心 到直线 的距离为 4 分Cl202md因为 ，2MNAB而 ，所以 ， 6 分2()d2()4解得 或 ，0m故直线 的方程为 或 8 分l0xy0xy（2）假设圆 上存在点 ，设 ，则 ，CP(,)2()4y，222(1)011PABxyx即 ，即 ， 10 分3y2因为 ，12 分2|()()所以圆 与圆 相交，4x22(1)4xy所以点 的个数为 14P分18解：（1）由 ，知 ，xfe0=1x解得 ， 又可求得点 为 ，3 分0x，所以代入 ，得 .6 分gm（2）因为 ，所以 .xhe(1),0xxxhemee当 ，即 时，
10、 ，此时 在 上单调递增，1010h0，所以 ； 8 分max当 即 时，当 时， ， 单调递减，01m201xm， 0hx当 时， ， 单调递增， ， .,xh1me(i)当 ，即 时， ；10 分1e21max0h(ii) 当 ，即 时， 12 分meae当 ，即 时， ，此时 在 上单调递减，0xx1，所以 . 14 分in0hx综上，当 时， ；1emax1he当 时， . 16 分ma19(本小题满分 16 分)解：（1）依题意， ， ，其中 ， 2134ab32ca22(0)cabc解得 ，因为 ，所以 4 分01，（2）由（1）知，椭圆 的右焦点为 ，椭圆 的方程为 ，C30F，
11、 C214xy所以 从而直线 的方程为： AB， ， ， B3由得， 从而直线 的方程为： 8317P， AP7(2)yx令 ，得 ，所以点 的坐标为 0x4yE04，9 分（3）设 （ ） ，且 ，即 0Pxy， 00y，2014xy204xy则直线 的方程为： ，令 ，得 11 分A0()x0直线 的方程为： ，令 ，得 B01y0y01xy13 分所以四边形 的面积AFES00221xy0022xyxy 162000441xyx 004xy分20 【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由于直线 y=x+ 与以原点为圆心、椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 O 相切，可得=b，解得 b又离心率
12、e= = ，b 2=a2c2，联立解得即可得出（2）把 x= 代入椭圆方程可得： ，可得D 的方程为：令 x=0，解得 y，可得|AB|，利用 SABD= 即可得出（3）由（1）知：A 1（2，0） ，A 2（2，0） ，B 2（0，1） ，可得直线 A1B2AD 的方程，设直线 A2P 的方程为 y=k（x 2） ，k0，且 k ，联立解得 E设 P（x 1，y 1） ，与椭圆方程联立可得（4k 2+1）x 216k2x+16k24=0解得 P设 F（x 2，0） ，则由P，B 2， F 三点共线得， 可得 F即可证明 2mk 为定值【解答】（1）解：直线 y=x+ 与以原点为圆心、椭圆 C
13、 的短半轴长为半径的圆 O 相切， =b，化为 b=1离心率 e= = ，b 2=a2c2=1，联立解得 a=2，c= 椭圆 C 的方程为 =1；4 分（2）解：把 x= 代入椭圆方程可得： ，解得 y= D 的方程为： 令 x=0，解得 y= ，|AB|= ，SABD= = = 9 分（3）证明：由（1）知：A 1（ 2，0） ，A 2（2，0） ，B 2（0，1） ，直线 A1B2 的方程为 ，11 分由题意，直线 A2P 的方程为 y=k（x2） ，k0，且 k ，由 ，解得 设 P（x 1，y 1） ，则由 ，得（4k 2+1）x 216k2x+16k24=02x1= ，x 1= ，y 1=k（x 12）= 13 分设 F（x 2，0） ，则由 P，B 2，F 三点共线得， 即 = ， x2= ，F EF 的斜率 m= = 15 分2mk= k= 为定值16 分
