1、河南省实验中学 2019 届高三质量预测模拟三科目：理科数学 满分 150 时间：120 分钟一、选择题（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1的 取 值 范 围 是则 实 数若集 合 a,12,1. ABaxBxAA .a1 Ba0,b0)，若这样的直线有且仅有两条，则离心率 e 的取值范围是( )|AB|=4b,5,21.BA5,2.C,52,1.D第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）.的 值 为 ：， 则 实 数的 最 小 值 为且满 足、实 数 byxzbxy32,02
2、x.13_的 展 开 式 中 常 数 项 为 ：则若 60 a,cosin2.14 xdxa15已知椭圆 C： + =1（ab0）的上顶点为 A，右焦点为 F，椭圆 C 上存在点 P 使x2a2y2b2线段 OP 被直线 AF 平分，则椭圆 C 的离心率的取值范围是_ _ 16若 x=-2 是函数 的极值点，则 f(x)的极小值是 .12xexf三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （本小题满分 10 分）已知a n是等差数列，满足 a1=3，a 4=12，数列 bn满足b1=4，b 4=20，且b n-an为等比数列（1）求数列a n和
3、b n的通项公式； （2）求数列b n的前 n 项和18 （本小题满分 12 分）如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，AA 1平面 ABCD，且AB=AD=2， .10,31BAD(1)求异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值； (2)求二面角 B-A1D-A 的正弦值19 （本小题满分 12 分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了 55 人，从美国某城市的高中生中随机抽取了 45 人进行答题中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占 、个人空间占 美国高中生答题情况是：朋
4、友聚集的地方占 、52103103 53家占 、个人空间占 15（）请根据以上调查结果将下面 22 列联表补充完整；并判断能否有 95%的把握认为“恋家（在家里感到最幸福）”与国别有关；在家里最幸福 在其它场所幸福 合计中国高中生美国高中生合计（）从被调查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出 4 人接受进一步调查，再从 4 人中随机抽取 2 人到中国交流学习，求 2 人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率附： ，其中 n=a+b+c+dk2= n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（k 2k0） 0.050 0.025 0.010 0.001k0 3.841
5、5.024 6.635 10.82820 （本小题满分 12 分）已知点 F 是抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点，若点 P（x 0，4）在抛物线 C 上，且| PF|= p25（1）求抛物线 C 的方程；（2）动直线 l：x =my+1（mR）与抛物线 C 相交于 A，B 两点，问：在 x 轴上是否存在定点 D（t，0）（其中 t0），使得向量 与向量 共线（其中 O 为坐标原点）D？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由21 （本小题满分 12 分）已知函数 f（x ）=e x-x-1（e 是自然对数的底数）（1）求证：e xx+1；（2）若不等式 f（x ）ax-1 在
6、x ，2上恒成立，求正数 a 的取值范围1222.选修 4-4:坐标系与参数方程选讲已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为ymx2极轴建立极坐标系，椭圆 C 的极坐标方程为 2cos23 2sin248，其左焦点 F 在直线 l上（1）若直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求|FA| |FB|的值；（2）求椭圆 C 的内接矩形面积的最大值23选修 4-5:不等式选讲已知函数 .axf(I)当 a=-2 时，解不等式 ；126xf()若关于 x 的不等式 的解集为0,2，求证: .x2xf河南省实验中学 2019 届高三质量预测模拟三理科数学参考答
7、案一、选择题：1-12 ABBB ACBC DCDD 1.6;3,0.15;24.;9.13二 、 填 空 题 ：三、解答题：17.解：（1）设等差数列a n的公差为 d，由题意得:d= =334aan=a1+（n-1）d=3n（n=1 ， 2，）数列 an的通项公式为：a n=3n；设等比数列b n-an的公比为 q，由题意得：q 3= =8，解得 q=214abbn-an=（b 1-a1）q n-1=2n-1从而 bn=3n+2n-1（n=1，2，）数列 bn的通项公式为：b n=3n+2n-1；（2）由（1）知 bn=3n+2n-1（n=1，2，）数列3n的前 n 项和为 ,数列2 n-
8、1的前 n 项和为 .1312n数列 bn的前 n 项和为 +2n-1218.解：在平面 ABCD 内，过 A 作 AxAD，AA1平面 ABCD，AD、Ax平面 ABCD，AA1Ax，AA 1AD，以 A 为坐标原点，分别以 Ax、AD、AA 1 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系AB=AD=2，AA 1= ， BAD=120，3A（ 0，0，0），B（ ），C（ ，1，0），D（0，2，0），A 1（0，0， ），3， 1， 0 3 3C1（ ） =（ ）， =（ ）， ，3， 1， 3A1B 3， 1， 3 AC1 3， 1， 3 DB=( 3， 3， 0)DA1 =(0， 2
9、， 3)（1）cos = = A1B， AC1A1B AC1|A1B|AC1|17 7=17异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值为 ；（2）设平面 BA1D 的一个法向量为 ， n=(x， y， z)由 ，得 ，取 x= ，得 ；nDB=0nDA1 =0 3x3y=02y+ 3z=0 3 n=( 3， 1， 233)取平面 A1AD 的一个法向量为 m=(1， 0， 0)cos = = m， nmn|m|n|31 3+1+43=34二面角 B-A1D-A 的余弦值为 ，则二面角 B-A1D-A 的正弦值为 4731219.解：（）由已知得，在家里最幸福 在其它场所幸福 合计中国高中生
10、22 33 55美国高中生 9 36 45合计 31 69 100 = ，K2=100(2236933)231695545 1001133123 4.628 3.841有 95%的把握认为“恋家” 与否与国别有关；（）用分层抽样的方法抽出 4 人，其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有 3 人，在“个人空间”感到幸福的有 1 人，分别设为 a1，a 2，a 3，b；=（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，b），（a 2，a 3），（a 2，b），（a 3，b）， n=6；设“含有在“个人空间”感到幸福的学生”为事件 A，A=（a 1，b），（a 2，b），（a 3，b）， m=3；则
11、所求的概率为 1nAP20.解：（1）抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点为（ ，0），2p准线方程为 x=- ，即有|PF|=x 0+ = ，即 x0=2p，p5则 16=4p2，解得 p=2，则抛物线的方程为 y2=4x；（2）在 x 轴上假设存在定点 D（t，0）（其中 t0），使得 与向量 共线，DA|DA|+DB|DB| OD由 ， 均为单位向量，且它们的和向量与 共线，可得 x 轴平分 ADB，DA|DA|DB|DB| OD设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），联立 x=my+1 和 y2=4x，得 y2-4my-4=0，=16（m 2+1）0 恒成立y 1+y2=4
12、m，y 1y2=-4设直线 DA、DB 的斜率分别为 k1，k 2，则由 ODA=ODB 得，k1+k2= + = = = ，y1x1ty2x2ty1(x2t)+y2(x1t)(x1t)(x2t)y1(my2+1t)+y2(my1+1t)(x1t)(x2t)2my1y2+(1t)(y1+y2)(x1t)(x2t)2my1y2+（1- t）（ y1+y2）=0，联立，得-4m（t+1）=0 ，故存在 t=-1 满足题意，综上，在 x 轴上存在一点 D（-1 ，0），使得 x 轴平分 ADB，即 与向量 共线DA|DA|+DB|DB| OD21.10.【 答案】证明：（1）由题意知，要证 exx+
13、1，只需证 f（x）=e x-x-10，求导得 f（x） =ex-1，当 x（0，+）时，f（x）=e x-10，当 x（-，0）时，f（x）=e x-10，f（x）在 x（ 0，+ ）是增函数，在 x（- ，0）时是减函数，即 f（x）在 x=0 时取最小值 f（0）=0，f（x）f（0）=0，即 f（x ）= ex-x-10，exx+1（2）不等式 f（x ）ax-1 在 x ，2上恒成立，即 ex-x-1ax -1 在 x ，2上恒成立，2121亦即 a 在 x ，2上恒成立，令 g（x）= ，x ，2，e以下求 g（x）= 在 x ，2上的最小值，x21,当 x ，1时，g（x）0，2
14、/1ex当 x ，1时，g（x ）0，当 x ，1时，g（x）单调递减，当 x ，1时，g（ x）单调递增，2121g（ x）在 x=1 处取得最小值为 g（1）=e-1，正数 a 的取值范围是（0，e-1）22.解： （1）将 代入 2cos23 2sin248，sincoy得 x23y 248，即 ，16482x因为 c2481632，所以 F 的坐标为（ ，0），24又因为 F 在直线 l 上，所以 m=-42把直线 l 的参数方程 代入 x23y 248，x=-42+ 22ty= 22t 化简得 t24t80，所以 t1t 24，t 1t28，所以 |FA|+|FB|=|t1-t2|=
15、 (t1+t2)2-4t1t2= 16+48=43（2）由椭圆 C 的方程 ，可设椭圆 C 上在第一象限内的任意一点 M 的坐标为（16482yx，4sin）（ ），cos30所以内接矩形的面积 ，2sin3sico3s当 时，面积 S 取得最大值 4223.解：(I) 当 时，不等式为 ，a=-2 |x+2|+|2x-1|16当 时，原不等式可化为 ，解之得 ，x-2 -x-2-2x+116x-173当 时，原等式可化为 ，解之得 ，不满足，舍去；-212 x+2+2x-116 x5不等式的解集为 或x|x-173 x5()证明 即 ，解得 ，而 解集是 ，f(x)1 |x-a|1 a-1xa+1 f(x)1 0,2所以 ，a-1=0a+1=2 解得 ，从而 .a=1 f(x)=|x-1|于是只需证明 ，f(x)+f(x+2)2即证 ，|x-1|+|x+1|2因为 |x-1|+|x+1|=|1-x|+|x+1|1-x+x+1|=2所以 ，证毕.|x-1|+|x+1|2
