1、A.基础达标1下列命题中，真命题的个数是( )如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行A1 B2C3 D4解析：选 B.这两个角也可能互 补，故 是错误的；是正确的，它是等角定理的推广和延伸空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互 补，故是错误的是公理 4，是正确的所以结论正确的个数为 2.2已知直线 a，b，c，下列说法正确的是( )Aab，bc，则 acBa
2、 与 b 异面，b 与 c 异面，则 a 与 c 异面Ca 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交Da 与 b 所成的角与 b 与 c 所成的角相等，则 ac解析：选 A.A 是公理 4 的内容如图正方体中，AB，A 1B1 都与 CC1 异面，但 AB 与 A1B1 不异面，B 错， AB，A1B1 都与 BB1 相交，但 AB 与 A1B1 不相交，C 错 ；AB，BC 都与 DD1 成 90角，但 AB 与 BC 不平行， D 错3在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F，G ，H 分别为边B1C1，C 1C，A 1A，AD 的中点，则 EF 与 GH( )A平行 B
3、相交C异面 D不能确定解析：选 A.连接 A1D，B1C，由三角形的中位线性质可得GHA1D，EFB1C，又因为在正方体中 A1DB1C，所以 GHEF.4一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条( )A相交 B异面C相交或异面 D平行解析：选 C.如图所示的长方体 ABCDA1B1C1D1 中，直线 AA1 与直线 B1C1 是异面直线，与 B1C1 平行的直线有 A1D1，AD，BC，显然直线 AA1 与 A1D1 相交，与BC 异面5已知空间四边形 ABCD 中，M，N 分别为 AB，CD 的中点，则下列判断正确的是( )AMN (ACBD) BMN (ACBD )12 12
4、CMN (ACBD) DMN (ACBD)12 12解析：选 D.如图，取 BC 的中点 H，连接 MH，HN，MN，据题意有MH AC，MHAC，HN BD，HNBD.在MNH 中，由两边之和大于第12 12三边知，MNMHHN (ACBD) 126如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，BD 和 B1D1 分别是正方形 ABCD 和 A1B1C1D1的对角线，(1)DBC 的两边与_的两边分别平行且方向相同；(2)DBC 的两边与_的两边分别平行且方向相反答案：(1)D 1B1C1 (2) A1D1B17如图所示是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，BM 与 ED 是异面直线；CN
5、 与 BE 是异面直线以上两个结论中，正确的是_( 填序号) 解析：在正方体中，直线间的关系比 较清楚，所以可以把原图还原为正方体，找出相应直线间的关系答案：8如图，在正方体 AC1 中， AA1 与 B1D 所成角的余弦值是_解析：因为 B1BA1A，所以BB 1D 就是异面直线 AA1 与 B1D 所成的角， 连接 BD.在 Rt B1BD 中，设棱长为 1，则 B1D .3cos BB 1D .BB1B1D 13 33所以 AA1 与 B1D 所成的角的余弦值为 .33答案：339如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 AA1，CC 1 的中点求证：(1)D 1E
6、 BF；(2)B 1BFD 1EA1.证明：(1)取 BB1 的中点 M，连接 EM，C1M.在矩形 ABB1A1 中，易得 EMA 1B1，EMA1B1.因为 A1B1C 1D1，且 A1B1C1D1，所以 EMC 1D1，且 EMC 1D1.所以四边形 EMC1D1为平行四 边形所以 D1EC1M.在矩形 BCC1B1 中，易得 MBC 1F，且 MBC 1F.所以四边形 BFC1M 为平行四边形，所以 BFC 1M，所以 D1EBF.(2)由(1)知，ED 1BF，BB1EA1，又 B 1BF 与D 1EA1 的对应边方向相同，所以B 1BF D 1EA1.10如图，ABEDFC 为多面
7、体，点 O 在棱 AD 上，OA1，OD2，在侧面 ACFD 中，OAC 和ODF 为正三角形，在底面 ABED 中，OAB 和ODE 也都是正三角形，求证：直线 BCEF.证明：设 G 是线段 DA 与线段 EB 延长线的交点，由于 OAB 与ODE 都是正三角形，所以 OBDE ，OB DE，所以 OGOD2.同理， 设 G是 线段 DA 与线段 FC 延长线的交12点，有 OGOD 2，又由于 G 与 G都在线段 DA 的延长线上，所以 G 与 G重合，在GED和GFD 中，由 OBDE ，OB DE 和 OCDF，OC DF，可知 B，C 分别是 GE，GF 的12 12中点，所以 B
8、C 是GFE 的中位线，故 BCEF.B.能力提升1已知在四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AC，BD 的中点，若AB 2，CD4，EF AB，则 EF 和 CD 所成的角是( )A90 B45C60 D30解析：选 D.如图，作 FGCD 交 BC 于 G，连接 EG，则 EGAB，故EFG( 或其补角)为 EF 和 CD 所成的角因为 EFAB，所以 EFEG.又因为 AB2，CD4，所以 EG1，FG2.所以 sinEFG .12所以EFG30.2正方体的一条体对角线与正方体的棱可组成 n 对异面直线，则 n 等于( )A2 B3C6 D12解析：选 C.如图所示，在正方体 ABCD
9、A1B1C1D1 中，与 AC1 异面的棱有BC，CD，A1D1，A1B1，BB1 和 DD1.故选 C.3如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别为棱 C1D1，C 1C 的中点，有以下结论：直线 AM 与 CC1 是相交直线；直线 AM 与 BN 是平行直线；直线 BN 与 MB1 是异面直线；直线 AM 与 DD1 是异面直线其中正确的结论为_( 把你认为正确的结论的序号都填上) 解析：直线 AM 与 CC1 是异面直 线，直 线 AM 与 BN 也是异面直 线，直线 BN 与 MB1 是异面直线，直线 AM 与 DD1 是异面直 线，故错误， 正确答案：4下列命题中正确
10、的是_若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；若直线 l 与平面 相交，则 l 与平面 内的任意直线都是异面直线；如果两条异面直线中一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的直线平行或异面；若平面 平面 ，直线 a ，直线 b ，则直线 ab.解析：是公理 1，所以是正确的； 中，直 线 l 和平面 内过 l 与 交点的直线都相交而不是异面，所以是错误 的；中，异面直 线中的另一条和 该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还 可以在该平面内，所以是错误的；中，直 线 l 与平面 没有公共点，所以直线 l 与平面 内的直线平行或
11、异面，所以是正确的；中，分别在两个平行平面内的直线可以平行，也可以异面，所以是错误的答案：5如图所示，设 E，F，G， H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC ，CD，DA 上的点，且 ， ，求证：AEAB AHAD CFCB CGCD(1)当 时，四边形 EFGH 是平行四边形；(2)当 时，四边形 EFGH 是梯形证明：在ABD 中， .AEAB AHAD所以 EHBD ，且 EHBD .在CBD 中， ，CFCB CGCD所以 FGBD ，且 FGBD ，所以 EHFG，所以顶点 E，F，G，H 在由 EH 和 FG 确定的平面内(1)当 时，EH FG，故四边形 EFGH 为
12、平行四边形；(2)当 时，EH FG，故四边形 EFGH 是梯形6(选做题) 如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，BADFAB90，BC 綊 AD，BE 綊 FA，G，H 分别为 FA，FD 的中点12 12(1)求证：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)C，D ，F，E 四点是否共面？为什么？解：(1)证明：因为 G，F 分别为 FA，FD 的中点，所以 GH 綊 AD.12又 BC 綊 AD，所以 GH 綊 BC，12所以四边形 BCHG 为平行四 边形(2)由 BE 綊 AF，G 为 FA 的中点知，BE 綊 FG，12所以四边形 BEFG 为平行四边形，所以 EFBG .由(1)知 BG 綊 CH，所以 EFCH，所以 EF 与 CH 共面又 DFH，所以 C，D，F，E 四点共面
