1、1回扣 7 解析几何1.直线方程的五种形式(1)点斜式： y y1 k(x x1)(直线过点 P1(x1， y1)，且斜率为 k，不包括 y轴和平行于 y轴的直线).(2)斜截式： y kx b(b为直线 l在 y轴上的截距，且斜率为 k，不包括 y轴和平行于 y轴的直线).(3)两点式： (直线过点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)，且 x1 x2， y1 y2，不包括y y1y2 y1 x x1x2 x1坐标轴和平行于坐标轴的直线).(4)截距式： 1( a， b分别为直线的横、纵截距，且 a0， b0，不包括坐标轴、平行xa yb于坐标轴和过原点的直线).(5)一般式： Ax
2、 By C0(其中 A， B不同时为 0).2.直线的两种位置关系当不重合的两条直线 l1和 l2的斜率存在时：(1)两直线平行 l1 l2k1 k2.(2)两直线垂直 l1 l2k1k21.提醒 当一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略.3.三种距离公式(1)A(x1， y1)， B(x2， y2)两点间的距离AB .x2 x12 y2 y12(2)点到直线的距离 d (其中点 P(x0， y0)，直线方程为 Ax By C0).|Ax0 By0 C|A2 B2(3)两平行线间的距离 d (其中两平行线方程分别为|C2 C1|A2 B2l1： Ax By
3、 C10， l2： Ax By C20).提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中 x， y的系数应对应相等.4.圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：( x a)2( y b)2 r2.(2)圆的一般方程： x2 y2 Dx Ey F0( D2 E24 F0).5.直线与圆、圆与圆的位置关系2(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法；(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法.6.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断.弦长公式： AB |x1 x2| |y1 y2|.1 k
4、21 1k27.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称 椭圆 双曲线 抛物线定义PF1 PF22 a(2a F1F2)|PF1 PF2|2 a(2a0， b0).xa yb点 P(2,3)在直线 l上， 1，则 ab3 a2 b2 ，2a 3b 6ab故 ab24，当且仅当 3a2 b(即 a4， b6)时取等号.因此 S AOB ab12，12即 S AOB的最小值为 12.54.若椭圆 1( a b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，线段 F1F2被抛物线 y22 bx的焦x2a2 y2b2点分成 53 两段，则此椭圆的离心率为_.答案 255解析 ，c b2c b2 53 c2 b，又
5、 a2 b2 c2，5 c24 a2， e .ca 25 2555.直线 l经过点 A(1,2)，在 x轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率的取值范围是_.答案 (，1) (12， )解析 设直线的斜率为 k，如图，过定点 A的直线经过点 B时，直线 l在 x轴上的截距为3，此时 k1；过定点 A的直线经过点 C时，直线 l在 x轴上的截距为3，此时 k ，所以满足条件的直线 l的斜率的取12值范围是(，1) .(12， )6.设双曲线 y21( a0)的一条渐近线的倾斜角为 30，则该双曲线的离心率为x2a2_.答案 233解析 因为 y21( a0)的渐近线为 y x，又其中一条渐近
6、线的倾斜角为 30，故x2a2 1atan 30 ，故 a ，从而 c 2，故双曲线的离心率为 e .1a 33 3 3 1 ca 23 2337.已知 F1， F2分别是椭圆 C： 1( a b0)的左、右焦点，椭圆 C上存在点 P使x2a2 y2b2 F1PF2为钝角，则椭圆 C的离心率的取值范围是_.6答案 (22， 1)解析 方法一 设 P(x0， y0)，则| x0| a，又 F1( c,0)， F2(c,0)， F1PF2为钝角， PF1PF20 有解，即( c x0， y0)(c x0， y0)( c x0)(c x0) y 0，20即 c2 x y 有解，等价于 c2( x y
7、 )min.20 20 20 20又 y b2 x ，20b2a220 x y b2 x b2， a2)，20 20c2a220即( x y )min b2.20 20故 c2 b2，即 c2 a2 c2， ，即 e ，又 0 e1，c2a2 12 22 e1.22方法二 要使椭圆 C上存在点 P使 F1PF2为钝角，只需 tan tan 451，即cbc2b2， c2a2 c2，2 c2a2，即 ， e .又 0e1， e1.c2a212 22 228.若第一象限内的动点 P(x， y)满足 1， R xy，则以 P为圆心、 R为半径且面1x 12y 32xy积最小的圆的方程为_.答案 (
8、x3) 2 2(y32) 814解析 因为点 P(x， y)在第一象限，所以 x0， y0.又因为 1， R xy，所以1x 12y 32xy1，即 x2 y32 xy，所以 2xy x2 y32 3,2 xy2 30，即x 2y 32xy 2xy 2xy( 1)( 3)0，解得 xy ，当且仅当Error!即 x3， y 时取等号.当 xy最小，2xy 2xy92 32即 R最小时，圆的面积最小.7此时圆心 P ，半径 R ，所求圆的方程为( x3) 2 2 .(3，32) 92 (y 32) 8149.已知函数 y f(x) ax1 2( a0 且 a1)的图象恒过定点 A，设抛物线 E：
9、 y24 x上任意一点 M到准线 l的距离为 d，则 d MA的最小值为_.答案 5解析 当 x10 时， y1，故 A(1，1)，设抛物线的焦点为 F(1,0)，由抛物线的定义可知， d MA的最小值为 AF (当且仅当 A， M， F三点共线时，取最小值).510.在平面直角坐标系 xOy中，设椭圆 T的中心在坐标原点，一条准线方程为 y2，且经过点(1,0).(1)求椭圆 T的方程；(2)设四边形 ABCD是矩形，且四条边都与椭圆 T相切.求证：满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上.(1)解 因为椭圆 T的中心在坐标原点，一条准线方程为 y2，所以椭圆 T的焦点在 y轴上，于是可设椭圆
10、T的方程为 1( a b0).y2a2 x2b2因为椭圆 T经过点(1,0)，所以Error! 解得Error!故椭圆 T的方程为 x21.y22(2)证明 由题意知，矩形 ABCD是椭圆 x2 1 的外切矩形.y22(i)若矩形 ABCD的边与坐标轴不平行，则可设一组对边所在直线的方程为 y kx m(k0)，则由Error! 消去 y，得( k22) x22 kmx m220，于是 4 k2m24( k22)( m22)0，化简得 m .k2 2所以矩形 ABCD的一组对边所在直线的方程为y kx ，即 y kx .k2 2 k2 2同理，另一组对边所在直线的方程为 ky x ，1 2k2于是矩形的顶点坐标( x， y)满足( y kx)2( ky x)2( k22)(12 k2)，即(1 k2)(x2 y2)3(1 k2)，亦即 x2 y23.(ii)若矩形 ABCD的边与坐标轴平行，8则四个顶点(1， )显然满足 x2 y23.2故满足条件的所有矩形的顶点在定圆 x2 y23 上.
