1、1压轴小题组合练(B)1.已知椭圆 C： 1( ab0)与直线 y x3 只有一个公共点，且椭圆的离心率为 ，x2a2 y2b2 55则椭圆 C 的方程为( )A. 1 B. 1x216 y29 x25 y24C. 1 D. 1x29 y25 x225 y220答案 B解析 把 y x3 代入椭圆方程，得( a2 b2)x26 a2x9 a2 a2b20，由于只有一个公共点，所以 0，得 a2 b29，又 ，所以 ，解得 a25， b24.所以椭圆的方程为ca 55 b2a2 45 1.x25 y242.如图，在 ABC 中，点 D， E 是线段 BC 上两个动点，且 x y ，则 的最小AD
2、 AE AB AC 1x 4y值为( )A. B.2C. D.32 52 92答案 D解析 设 m n ， ，AD AB AC AE AB AC B， D， E， C 共线， m n1， 1， x y ，AD AE AB AC (m )AB (n )AC 则 x y m n 2， ，当且仅当 x ， y 时，等号成1x 4y 12(1x 4y)(x y) 12(5 yx 4xy) 12(5 2yx4xy) 92 23 43立.则 的最小值为 ，故选 D.1x 4y 923.在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 为棱 AB 上一点，且 AE1， BE3，以 E 为球心，线段 EC的长为半
3、径的球与棱 A1D1， DD1分别交于 F， G 两点，则 AFG 的面积为( )2A.4 2B.3 C.2 2D.42 2 2答案 D解析 正方体的棱长为 4，则 DE ， EC5.17作 EH A1B1于 H，则 EF EG EC5， A1F2 ， DG2 ，2 2则 FH 3，(22)2 12所以 S AFG 1AD四 边 形 1AFS 1DG S ADG164 24212(4 22) 2164 128 4 4.2 2 24.设双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2， O 为坐标原点.以 F1F2为直径x2a2 y2b2的圆与双曲线的右支交于 P 点，且以 OF2为
4、直径的圆与直线 PF1相切，若| PF1|8，则双曲线的焦距等于( )A.6 B.6C.3 D.32 2答案 A解析 如图，不妨设点 P 在第一象限，连接 PF2，依题意知 PF1 PF2，设以 OF2为直径的圆与直线 PF1相切于点 N，圆心为 M，连接 NM，则 NM PF1，因此 RtPF1F2Rt NF1M，所以 ，则 ，解得| PF2| ，由勾股定理可得|NM|PF2| |F1M|F1F2| c2|PF2| 3c22c 2c3|PF1| ，所以 8，得 c3 ，故双曲线的焦|F1F2|2 |PF2|22c2 (2c3)2 42c3 42c3 2距为 6 .25.已知抛物线 T 的焦点
5、为 F，准线为 l，过 F 的直线 m 与 T 交于 A， B 两点， C， D 分别为A， B 在 l 上的射影， M 为 AB 的中点，若 m 与 l 不平行，则 CMD 是( )3A.等腰三角形且为锐角三角形B.等腰三角形且为钝角三角形C.等腰直角三角形D.非等腰的直角三角形答案 A解析 不妨设抛物线 T 的方程为 y22 px(p0).点 A 在抛物线 y22 px 上， F 为抛物线的焦点， C， D 分别为 A， B 在 l 上的射影， M 为 AB的中点， NM 是 M 到抛物线准线的垂线，垂足为 N，准线与 x 轴的交点为 E，如图：在 CMD 中，| CN| ND|， CMD
6、 是等腰三角形，又根据抛物线定义，| AC| AF|，| BD| BF|， CFD CFE DFE ACF BDF AFC BFD.可得 CFD90，又| MN|EF|，可得 CMDb0)上关于长轴对称的两点， A， B 分x2a2 y2b2别为椭圆的左、右顶点，设 k1， k2分别为直线 MA， NB 的斜率，则| k14 k2|的最小值为( )A. B.2ba 3baC. D.4ba 5ba答案 C解析 设 M(x0， y0)， N(x0， y0)， k1 ， k2 ，y0x0 a y0x0 a ，|k1 4k2| |y0x0 a 4y0x0 a| | y0x0 a 4y0 x0 a| k
7、14 k2| |y0x0 a 4y0 x0 a|2 4 ，y0x0 a4y0 x0 a y20a2 x204由题意得 y (a2 x )，20b2a2 20所以| k14 k2|4 4 .y20a2 x20 b2a2a2 x20a2 x20 4ba7.已知棱长为 的正四面体 A BCD(四个面都是正三角形)，在侧棱 AB 上任取一点 P(与6A， B 都不重合)，若点 P 到平面 BCD 及平面 ACD 的距离分别为 a， b，则 的最小值为( )4a 1bA. B.472C. D.592答案 C解析 由题意得 aS BCD bS ACD hS BCD，其中 S BCD S ACD， h 为以
8、 BCD 为底面的正13 13 13四面体 A BCD 的高.h 2， a b2.62 (2332 6)2 (a b) ，当且仅当 a ， b 时取等号.4a 1b 12 (4a 1b) 12(5 4ba ab) 12(5 24baab) 92 43 238.已知 F 为双曲线 1( a0， b0)的右焦点，定点 A 为双曲线虚轴的一个顶点，过x2a2 y2b2F， A 的直线与双曲线的一条渐近线在 y 轴左侧的交点为 B，若 ( 1) ，则此双曲线FA 2 AB 的离心率是( )A. B.2 3C.2 D.2 5答案 A解析 设 F(c,0)， A(0， b)，渐近线方程为 y x，则直线
9、AF 的方程为 1，与ba xc yby x 联立可得 B ， ( 1) ，ba (aca c， bca c) FA 2 AB ( c， b)( 1) ，2 (aca c， bca c b) c( 1) ， e .2aca c ca 29.(2018河北省衡水金卷调研)已知抛物线 x24 y 的焦点为 F，双曲线 1( a0， b0)的右焦点为 F1 ，过点 F， F1的直线与抛物线在第一象限的交点为x2a2 y2b2 (c， 0)5M，且抛物线在点 M 处的切线与直线 y x 垂直，则 ab 的最大值为( )3A. B.32 32C. D.23答案 B解析 由题意可知，直线 FF1的方程为
10、y x1，1c由Error!得 xM ， 2 21 c2c又由 x24 y，即 y x，12因此 1， 1 1 c2c ( 3)即 c ，所以 a2 b23，3又 a2 b22 ab，即 32 ab，当且仅当 a b 时取等号，即( ab)max .62 3210.点 M(3,2)到抛物线 C： y ax2(a0)准线的距离为 4， F 为抛物线的焦点，点 N(1,1)，当点 P 在直线 l： x y2 上运动时， 的最小值为( )|PN| 1|PF|A. B.3 228 2 24C. D.5 228 5 224答案 B解析 点 M(3,2)到抛物线 C： y ax2(a0)准线的距离为 4，
11、2 4， a ，抛物线 C： x28 y，14a 18直线 l： x y2 与 x 轴交于 A(2,0)，则 FA l，且点 N， A， F 三点共线，设| AP| t，则| AN| ，| AF|2 ，| PN| ，| PF| ，2 2 t2 2 t2 8设 1 m(m 1)，则 ，t2 2 2|PN| 1|PF| t2 2 1t2 8 mm 12 6 17(1m 17)2 67 m 1，即 t0 时， 的最小值为 .2|PN| 1|PF| 2 2411.如图，在 ABC 中， AB BC ， ABC90，点 D 为 AC 的中点，将 ABD 沿 BD 折起6到 PBD 的位置，使 PC PD
12、，连接 PC，得到三棱锥 P BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同6一球面上，则该球的表面积是( )A.7 B.5C.3 D.答案 A解析 依题意可得该三棱锥的面 PCD 是边长为 的正三角形，且 BD平面 PCD，设三棱锥3P BDC 外接球的球心为 O， PCD 外接圆的圆心为 O1，则 OO1平面 PCD，所以四边形 OO1DB为直角梯形，由 BD ， O1D1 及 OB OD，可得 OB ，则外接球的半径 R .所以该372 72球的表面积 S 球 4 R27.12.已知在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 B1C1的中点，若正方体ABCD A1B
13、1C1D1的内切球与直线 EF 交于点 G， H，且 GH3，若点 Q 是棱 BB1上一个动点，则AQ D1Q 的最小值为( )A.6 B.3 10C.6 D.62 2 1 2答案 C解析 设正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 a，内切球球心为 O，由题意可得内切球半径 r .a2OE OF a， EF a，22 EB2 BB21 B1F2 62取 EF 中点 P，则 OP a，OE2 EP224所以 cos POG ，OPOG24aa2 22所以 GOH ， OG ， a3 ， 2 a2 32 2把平面 DD1B1B 与平面 AA1B1B 展成一个平面，则 A， Q， D1共线时 A
14、Q D1Q 最小，最小值为D1A (2a a)2 a2 6 .(6 32)2 (32)2 2 2713.(2018天津滨海新区联考)已知正实数 a， b 满足 2ab，且 ab ，则 的最小12 4a2 b2 12a b值为_.答案 2 3解析 由题意得 2a b0， (2 a b) 2 ，4a2 b2 12a b 4a2 b2 4ab 32a b 2a b2 32a b 32a b 3当且仅当 2a b ，32a b即 b 时等号成立 .7 3214.如图，在 ABC 中，已知 ， P 为 AD 上一点，且满足 m ，若 ABC 的面BD 12DC CP CA 49CB 积为 ， ACB ，
15、则 的最小值为_.3 3 |CP |答案 43解析 设 ，则 (1 ) .AP AD CP CA AD CA (CD CA ) CA 23 CB 由平面向量基本定理可得Error!解得 m ，13 ，令 x， y，CP 13CA 49CB |CA | |CB |则 S ABC sin ACB xy ，12|CA | |CB | 34 3 xy4，且 x0， y0. 2 x2 y2 xy x2 y2|CP | 19 1681 427 19 1681 16272 ，19x21681y2 1627 169当且仅当 x2 y2，即 3x4 y，即 3 4 时等号成立.19 1681 |CA | |CB
16、 |8即 min .|CP | 4315.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC, AA12, AB BC1, ABC90，三棱柱外接球的球心为 O，点 E 是侧棱 BB1上的一个动点.有下列判断：直线 AC 与直线 C1E 是异面直线； A1E 一定不垂直于 AC1；三棱锥 E AA1O 的体积为定值； AE EC1的最小值为 2 .2其中正确命题的序号是_.答案 解析 因为点 A平面 BB1C1C，点 CC1E，所以直线 AC 与直线 C1E 是异面直线； A1E AB1时，直线 A1E平面 AB1C1.所以 A1E AC1，错误；球心 O 是直线 AC1， A1
17、C 的交点，底面 OAA1面积不变，直线 BB1平面 AA1O，所以点 E 到底面距离不变，体积为定值；将矩形 AA1B1B 和矩形 BB1C1C 展开到一个面内，当点 E 为 AC1与 BB1交点时， AE EC1取得最小值 2 .2所以正确命题的序号是.16.(2018四川省成都市石室中学模拟)已知四面体 A BCD 的所有棱长都为 ， O 是该四面6体内一点，且点 O 到平面 ABC，平面 ACD，平面 ABD，平面 BCD 的距离分别为 ， x， 和 y，13 16则 的最小值是_.1x 1y答案 83解析 该几何体为正四面体，体积为 2 .各个面的面积为13 12 6 6 32 3 2 ，所以四面体的体积又可以表示为 ，化简得34 (6) 332 13 332 (13 x 16 y) 3x y ，故 .32 1x 1y 23 (1x 1y) (x y) 23(2 yx xy) 23(2 2) 83(当 且 仅 当 x y 34时 ， 等 号 成 立 )
