1、学案1 平面向量的基本概念及线性运算,返回目录,1.向量的有关概念(1)向量:既有 ,又有 的量叫做向量,向量的大小叫做向量的 (或模).(2)零向量: 的向量叫做零向量,其方向是 的.(3)单位向量:给定一个非零向量a,与a 且长度等于 的向量,叫做向量a的单位向量.,大小,方向,长度,长度为0,任意,同方向,1,考点分析,返回目录,(4)平行向量:方向 或 的 向量.平行向量又叫 ,任一组平行向量都可以移到同一条直线上.规定:0与任一向量 .(5)相等向量:长度 且方向 的向量.(6)相反向量:长度 且方向 的向量.2.向量的加法和减法(1)加法法则:服从三角形法则、平行四边形法则.运算性
2、质:,相同,相反,非零,共线向量,平行,相等,相同,相等,相反,返回目录,a+b= (交换律); (a+b)+c= (结合律); a+0= = . (2)减法 减法与加法互为逆运算; 法则:服从三角形法则. 3.实数与向量的积 (1)长度与方向规定如下: |a|= ;,b+a,a+(b+c),0+a,a,|a|,当 时,a与a的方向相同;当 时, a与a的方向相反;当=0时,a= .(2)运算律:设,R,则(a)= ;(+)a= ;(a+b)= .4.平行向量基本定理向量a与b(b0)平行的充要条件是.,返回目录,有且只有一个实,0,0,0,()a,a+a,a+b,数, 使得a=b,返回目录,
3、判断下列各命题是否正确. （1）若|a|=|b|，则a=b; （2）若A，B，C，D是不共线的四点，则AB=DC是 四边形ABCD是平行四边形的充要条件； （3）若a=b,b=c，则a=c; （4）两向量a,b相等的充要条件是：|a|=|b|且ab；,考点一 向量的有关概念,题型分析,返回目录,【分析】从向量的模、相等向量的概念入手，逐个判 断其真假.,（5）|a|=|b|是向量a=b的必要不充分条件； （6）AB=CD的充要条件是A与C重合，B与D重合.,【解析】（1）不正确.两个向量的长度相等，但它们 的方向不一定相同.（2）正确.AB=DC,|AB|=|DC|且ABDC.又A，B，C，D
4、是不共线的四点，,四边形ABCD是平行四边形 ，反之 ，若四边形 AB CD是平行四边形，则ABDC，且AB与DC方向相同，因此，AB=DC.（3）正确.a=b,a,b的长度相等且方向相同；又b=c,b,c的长度相等且方向相同.a,c的长度相等且方向相同，故a=c.（4）不正确.当ab，但方向相反，即使|a|=|b|，也不能得到a=b.（5）正确.这是因为|a|=|b|/ a=b，但a=b|a|=|b|，所以|a|=|b|是a=b的必要不充分条件.,返回目录,返回目录,【评析】向量中的概念比较多，易混淆，基础性题目的判定应从概念的本质上加以理解和应用.,（6）不正确.这是因为AB=CD时，应有
5、：|AB|=|CD|,即由A到B与由C到D的方向相同，但不一定要有A与C重合，B与D重合.,对应演练,给出下列命题: 向量AB的长度与向量BA的长度相等; 向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反; 两个有共同起点并且相等的向量,其终点必相同; 两个有共同终点的向量,一定是共线向量; 向量AB与向量CD是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上; 有向线段就是向量,向量就是有向线段.其中假命题的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5,返回目录,C(中,向量AB与BA为相反向量,它们的长度相等,此命题正确. 中若a或b为零向量,则满足a与b平行,但a与b的方向不一定相同或相反,此命
6、题错误. 由相等向量的定义知,若两向量为相等向量,且起点相同,则其终点也必定相同,该命题正确. 由共线向量知,若两个向量仅有相同的终点,则不一定共线,该命题错误. 共线向量是方向相同或相反的向量，若AB与CD是共线向量,则A,B,C,D四点不一定在一条直线上,该命题错误. 零向量不能看作是有向线段,该命题错误. 故应选C.),返回目录,返回目录,如图4-1-1,若ABCD是一个等腰梯形,ABDC,M,N分别是DC,AB的中点,已知AB=a,AD=b,DC=c,试用a,b,c表示BC,MN,DN+CN.,【分析】结合图形性质,准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键.,考点二
7、向量的线性表示,【解析】BC=BA+AD+DC=-a+b+c. MN=MD+DA+AN,MN=MC+CB+BN, 2MN=MD+MC+DA+CB+AN+BN =-AD+CB=-b-(-a+b+c) =a-2b-c, MN= a-b- c. DN+CN=DM+MN+CM+MN =2MN=a-2b-c.,返回目录,返回目录,【评析】 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个向量间的相互关系,能熟练地找出图形中相等向量,能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是:观察各向量的位置;寻找相应的三角形或多边形;运用法则找关系;化简结果.,返回目录,对应演练,如图
8、4-1-2，以向量OA=a,OB=b为边作 OADB, BM= BC,CN= CD,用a,b表示OM,ON,MN.,BA=OA-OB=a-b, BM= BA= a- b. OM=OB+BM=b+ a- b= a+ b. 又OD=a+b, ON=OC+ CD= OD+ OD= OD= a+ b. MN=ON-OM= a+ b- a- b= a- b. 即有OM= a+ b,ON= a+ b, MN= a- b.,返回目录,返回目录,设两个非零向量a与b不共线. (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b). 求证:A,B,D三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
9、,【分析】解决点共线或向量共线问题,就要根据两向量共线的条件a=b(b0).,考点三 向量的共线问题,返回目录,【解析】 (1)证明:AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b), BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB. AB,BD共线, 又它们有公共点B,A,B,D三点共线. (2)ka+b与a+kb共线, 存在实数,使ka+b=(a+kb), 即ka+b=a+kb.(k-)a=(k-1)b. a,b是不共线的两个非零向量, k-=k-1=0,k2-1=0.k=1.,返回目录,【评析】 (1)由向量数乘运算的几何意义知非零向量共线是
10、指存在实数使两向量能互相表示.(2)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想.(3)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.,返回目录,对应演练,设两个非零向量e1和e2不共线. (1)如果AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,求证:A,C,D三点共线; (2)如果AB=e1+e2,BC=2e1-3e2,CD=2e1-ke2,且A,C,D三点共线,求k的值.,返回目录,(1)AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,
11、CD=-8e1-2e2, AC=AB+BC=4e1+e2=- (-8e1-2e2)=- CD, AC与CD共线. 又AC与CD有公共点C,A,C,D三点共线. (2)AC=AB+BC=(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2, A,C,D三点共线, AC与CD共线,从而存在实数使得AC=CD, 即3e1-2e2=(2e1-ke2),由平面向量基本定理,得3=2-2=-k,解得= ,k= .,返回目录,如图4-1-3所示,在ABO中,OC= OA,OD= OB,AD与BC相交于点M,设OA=a,OB=b.试用a和b表示向量OM.,【分析】从题设及图中可以看出,直接寻找OM与a, b之间
12、的关系是很难行得通的.因此可先设OM=ma+nb,利用共线向量的知识及待定系数法求出m,n即可.,考点四 向量知识的综合应用,返回目录,【解析】设OM=ma+nb, 则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb. AD=OD-OA= OB-OA=-a+ b. 又A,M,D三点共线,AM与AD共线. 存在实数t,使得AM=tAD, 即(m-1)a+nb=t(-a+ )b. (m-1)a+nb=-ta+ tb.m-1=-tn= ,消去t得m-1=-2n.,即m+2n=1. 又CM=OM-OC=ma+nb- a=(m- )a+nb,CB=OB-OC=b- a=- a+b. 又C,M,B三点
13、共线,CM与CB共线. 存在实数t1,使得CM=t1CB, (m- )a+nb=t1(- a+b),m- =- t1n=t1, 消去t1得4m+n=1. 由得m= ,n= ,OM= a+ b.,返回目录,【评析】在求一个向量用另外两个向量线性表示时,一般有以下几种方法:(1)根据图形,由加减法的定义,可直接得出结论;(2)如果不易找出它们间的关系,可先设该向量可用另外两个向量来线性表示,再利用共线向量定理,用待定系数法求出它们的系数,即可得出结论.,返回目录,由，可得AP ,对应演练,O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足 0,+),则P点的轨迹一定通过ABC的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心,返回目录,B(如图，作向量AP.由向量加法知OP=OA+AP 由已知可得 ,B,式中 都是单位向量，以这两个向量为一组邻边作 AB1P1C1， 这时AB1P1C1是菱形，对角线AP1平分B1AC1，且AB1= ,AC1= . 由可知AP=AP1,返回目录,再由0,+)可知，P点的轨迹是射线AP,所以，P点的轨迹一定通过ABC的内心.故应选B.),返回目录,高考专家助教,5.由ab,bc不能得到ac.取不共线的向量a与c,显然有a0,c0.6.注意向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则的根本区别与联系.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,
