1、第3章 几何元素的投影,3.1 点的投影,采用多面投影,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,点在一个投影面上的投影,a,3.1.1 点在两面投影体系中的投影,1.两面投影体系,如图所示的两个互相垂直的投影面，处于正面直立位置的投影面为正投影面，以V表示，简称V面。处于水平位置的投影面称为水平投影面，以H表示，简称H面。,V面与H面的交线称为OX投影轴，简称X轴。,两个互相垂直的投影面把空间 分为4个分角，依次为、 、表示。,2.点的两面投影图,a 点 A的水平投影,a 点A的正面投影,展开方法：将H面绕X轴向下旋转90,3.
2、 点的两面投影规律,1） 点的水平投影和正面投影的连线垂直于X轴，即aaX轴;,2） 点的水平投影到X轴的距离等于空间点到V面的距离， 即 aax=Aa;,3) 点的正面投影到X轴的距离等于空间点到H面的距离, 即 aax=Aa.,3.1.2 点在三投影面体系中的投影,投影面,正面投影面（简称正面或V面）,水平投影面（简称水平面或H面）,侧面投影面（简称侧面或W面）,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,1. 点的三面投影,投影轴的交点称为原点,空间点A在三个投影面上的投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母或加“，”表
3、示。,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向后翻,向下翻,不动,投影面展开,Y轴分解为两部分YH、YW,点的三面投影和 坐标的关系为：,画出A点投影图和举例,水平投影 a 反映了A点X和Y的坐标；,正面投影 a反映了A点X和Z的坐标；,侧面投影a”反映了A点Y和Z的坐标。,点的投影规律:, aaOX轴, aaOZ轴, aax= aaz,2. 点的坐标和三面投影规律,点的坐标与三面投影的关系,Aa“=aaz=aay=axO=xA Aa=aax=a“az=ayO= yA Aa=aax=a“ay=azO=zA,综合点的坐标和三面 投影的投影规律如下：,1、aaOX，aaz=aayH=xA 2
4、、aa“OZ，aax=a“ayw=zA 3、aax=a“az=yA,Z,az,X,Y,具体作图时用45辅助线帮助作图,【例】已知A（20、15、15），作出A点的三面投影。,1)作OX、OY和OZ轴，并作YHOYW的角平分线45线。,2) 自O点沿OX轴量取20，即XA = 20，得ax点。,3) 过ax点作OX轴的垂线，在此垂线上沿OYH轴方向量取15，即YH = 15，得a点；在此垂线上沿OZ轴方向量取15，得a点。,4) 由a作OZ轴的垂线，交OZ轴于az , 在此垂线上沿OYW轴方向量取aza= axa = YA = 15，得a。,例：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az
5、,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用分规直接量取aaz=aax,3. 特殊投影点：,d ,d,e,e ,f,f ,e ,f,d ,z,x,YW,YH,0,例：已知点的两投影，求其第三投影,d,a,a ,a ,3.1.3 两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断规律：, x 坐标大的在左, y 坐标大的在前, z 坐标大的在上,B点在A点之前、之右、之下。,1. 两点的相对位置的确定,例题2 已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A点的投影。,2. 重影点,重影点：,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该
6、投影面的重影点。,A、C为H面的重影点,被挡住的投影加( ),图19 重影点的投影,一点的两投影之间的连线垂直于投影轴；点的一个投影到某投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离。 即aa0X ；aa“0Z；aax =a”az,点的三面投影规律,点的一个投影反映了点的两个坐标。已知点的两个投影，则点的X、Y、Z三个坐标就可确定，即空间点是唯一确定的。因此已知一个点的任意两个投影即可求出其第三投影。,空间点 点的X、Y、Z三个坐标均不为零，其三个投影都不在投影轴上。 投影面上的点 点的某一个坐标为零，其一个投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上。 投影轴上的点 点的两个坐标为
7、零，其两个投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。 与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。,各种位置点的投影,两点的相对位置两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；Z坐标值大的点在上。根据一个点相对于另一点上下、左右、前后坐标差，可以确定该点的空间位置并作出其三面投影。,若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。 重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。从投影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮住而不可见。判断重影点的可见性时，需要看重
8、影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,重影点及可见性判别,3.2 直线的投影,3.2.1 直线投影的性质和画法,空间两点确定一条直线，只要将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。,直线对一个投影面的投影特性,1. 直线投影的性质,直线垂直于投影面 投影重合为一点积 聚 性,直线平行于投影面 投影反映线段实长ab=AB,直线倾斜于投影面 投影比空间线段短ab=ABcos,2. 直线投影的画法,3.2.2 各种位置的直线,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂
9、直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,1、 一般位置直线,投影特性：,三个投影都与投影面倾斜且都缩短。即: 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的真实大小。,一般位置直线,与H面的夹角: 与V面的夹角:与W面的夹角:,0、90,2、投影面的平行线,水平线,正平线,侧平线,在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。,另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，且长 度缩短。,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性：,实长,实长,实长,3. 投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线,反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。,铅垂线,正垂线,侧垂线,
10、 另外两个投影，, 在其垂直的投影面上，,投影有积聚性。,投影特性:,3.2.3 一般位置直线的实长及对投影面的倾角,|zA-zB|,1、 几何分析,在平面ABba中， 过A点作ACab， 得ABC为一直角 三角形。,求线段AB的实长 和H面的倾角，可 归结为求直角三角形 ABC的实形问题。,2、 作图方法,求AB直线的实长和H面的倾角。,方法一：,方法二：,求直线的实长及对正面投影面的夹角 角,|YA-YB|,求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角,例题 已知 线段的实长AB，其投影ab和b,求水平投影ab。,有两解,3.2.4 直线上的点,1. 直线上点的投影,直线上的点，其各投影面上的投影
11、必在该直线的同面投影上；反之，如果点的各投影面的投影在直线的同面投影上，则该点必在直线上。,若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：,2. 点分割线段成定比,AC/CB=ac/cb= ac / cb,A,B,C,V,H,b,c,c,b,a,a,定比定理,直线上的点具有两个特性：,从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。,定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b,点C不在直线A
12、B上,例：判断点C是否在线段AB上。,点C在直线AB上,已知直线上点的一个投影，怎样求其余投影,d,d,例2：判断点K是否在线段AB上。,a,b,因k不在a b上，故点K不在AB上。,应用定比定理,a,b,k,a,b,k,例题3 已知点C 在线段AB上，求点C 的正面投影。,例： 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影， 使BC 的实长等于已知长度L。,AB,zA-zB,c,ab,3.2.5 两直线的相对位置,平行,相交,交叉,垂直相交,空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉。,1. 平行两直线,投影特性：,空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。,由于空间两平行
13、直线对于 同一投影面的倾角相同，故两 直线的长度之比等于其同面投 影长度之比, 即AB:CD=ab：cd =ab:cd=a”b”:c”d”,a,b,c,d,c,a,b,d,例1：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行。,例2：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影,2. 相交两直线,投影特性：,若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。反之亦
14、然,交点是两直线的共有点,例：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,分析：CD首先是水平线所以正面投影平行X 轴.其次要 与AB相交，要符合相交两直线的投影特性。,一般情况下，只要两直线的两组同面投影相交；且两投影交点的连线垂直投影轴，就可以判断这两条直线在空间相交。但是，当两直线之一是投影面的平行线时，则需要对投影作进一步的分析以确定两直线是否相交。,1(2),3(4 ),3. 交叉两直线,投影特性：, 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。, “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是H面的重影点。,为什么？,
15、两直线相交吗？,例题 判断两直线的相对位置,1d,1c,结论：,交叉两直线,判断两直线重影点的可见性,判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,例题 判断两直线重影点的可见性,3.2.6 垂直两直线的投影,若相交两直线互相垂直，且其中一条直线为投影面的平行线，则两直线在该投影面的投影必定相互垂直。此投影特性称为直角投影定理。,设 直角边BC/H面,BCAB 因 BCAB, 同时BCBb 所以 BCABba平面,直线在H面上的投影互相垂直,即 abc为直角,因此 bcab,故 bc ABba平面,又因 BCbc,证明：,
16、1. 垂直两直线的投影特性,反之如果相交两直线的任意一组同面投影互相垂直，且其中一条直线为该 投影面的平行线，则此两直线在空中一定互相垂直。,垂直交叉？,a,b,c,a,b,c,例：过C点作直线与AB垂直相交。,2. 作图,e,e,e,e,c,c,例 已知直线AB的两面投影和C点的水平投影,试过C点作直线CE与AB垂直相交,求直线CE的两面投影。,分析：过一点作一直线与已知直线垂直，可做无数条，但在投影中反映直角的只有两条。一条是水平线，一条是正平线。,例题 过点E 作线段EF,分别与直线AB、CD 垂直。,分析：,AB为正平线，所以 ef必垂直ab；CD为 水平线，所以ef必垂直 Cd。,例
17、：已知AB、CD 两直线的H面和V面投影，求AB、CD 两直线的公垂线。,分析：直线AB是一条铅垂线，垂直AB的线一定是一条水平线；水平线要与AB相交，水平投影应过a（b），还要与CD垂直，所以水平投影必垂直cd。,3.2.7 直线的迹点,迹点及投影性质:直线与投影面的交点称为直线的迹点。迹点是直线与投影面的共有点。,小 结,点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。 点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。 定比定理。 直角定理，即两直线垂直时的投影特性。,重点掌握：,一、各种位置直线的投影特性, 一般位置直线,三个投影与各投影轴都倾斜。, 投影面平行线,在其平行的投影面上的
18、投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。, 投影面垂直线,在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。,二、直线上的点, 点的投影在直线的同名投影上。, 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影成定比定比定理。,三、两直线的相对位置, 平行, 相交, 交叉（异面）,同名投影互相平行。,同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。,四、相互垂直的两直线的投影特性, 两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。,
19、两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。, 两直线均为一般位置直线时，在三个投影面上的投影都不反映直角。,直角定理,3.3 平面的投影,3.3.1 平面的表示法,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,1. 平面的投影,用几何元素表示平面的形式有以下几种：,2. 平面的迹线表示法,Px,投 影 特 性, 平面平行投影面-投影就把实形现, 平面垂直投影面-投影积聚成直线, 平面倾斜投影面-投影类似原平面,实形性,类似性,积聚性,平面对一个投影面的投影特性,3.3.2 各种位置平面的投影及特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面
20、,投影面平行面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,投影面倾斜面,一般位置平面,1. 投影面垂直面,铅垂面,正垂面,侧垂面,铅垂面,投影特性：1、 abc积聚为一条与X、Y轴倾斜的直线2 、 abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小3 、 abc、 abc为ABC的类似形,正垂面,投影特性：1、 abc 积聚为一条直线2、 abc与OX、 OZ的夹角反映、 角的真实大小 3、 abc、abc ABC的类似形,侧垂面,投影特性：1、 abc积聚为一条直线2 、 abc与OZ、 OY的夹角反映、角的真实大小3 、 abc、 abc为
21、ABC的类似形,a,b,c,a,c,b,c,b,a,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,1、 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,2、另外两个投影面上的投影有类似性。,为什么？,2. 投影面平行面,水平面,正平面,侧平面,正平面,投影特性：1 、 abc反映 ABC实形 2、abc 、 abc 具有积聚性3、abc平行于X轴， abc 平行于Z轴,水平面,投影特性：1 、 abc反映 ABC实形2、 abc、 abc 具有积聚性3、 abc 平行于X轴， abc 平行于YW轴,投影特性：1 、 abc 反映 ABC实形2 、
22、abc 、 abc 具有积聚性3、 abc 平行于YH轴， abc 平行于Z轴,侧平面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,1、在它所平行的投影面上的投影反映实形。,2、另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,投影面垂直面和平行面的迹线表示,3. 投影面的倾斜面（一般位置平面）,一般位置平面,投影特性1 、 abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形2 、 不反映、 的真实角度,1. 平面上的点和直线,3.3.3 平面上的点和直线,1）平面上取直线,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一,解
23、法二,根据定理二,根据定理一,有无数解。, 平面上取点,定理：点在平面内的任 一直线上，则该 点一定在该平面 内。,先在平面内作一条直线作为辅助线，然后再在该直线上取点。,面上取点的方法：,首先面上取线,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,例题2 已知 ABC 给定一平面，试判断点D是否属于该平面。,d,d,a,b,c,a,b,c,e,e,结论：D点不在ABC平面内,分析：判断一点是否在平 面上，首先在平面上取直线，再看点是否属于直线。,k,b,例3：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法一,解法二,例2、已知平面
24、ABCD内有一RST，根据其V面投影，作出其H面投影。,分析：根据平面上取点、线的方法，求作平面上的三角形H 面投影。,3. 平面上的投影面平行线,一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行线，不存在投影面垂直线。,例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。,n,m,n,m,唯一解！,分析：该直线即符合水平线的投影特性，又要符合平面上直线的投影特性,特性；水平线的正面投影平行X轴，且反映Z坐标。,例题 已知 ABC 给定一平面，试过点C 作属于该平面的正平线，过点A 作属于该平面的水平线。,m,n,n,m,例：在平面ABC上取一点K，使点K在点A之下 15mm、在点A之后2
25、0mm处。,分析：在平面内A 点之下15mm的点组成一条水平线，同理在平面内A 点之后20mm的点组成一条正平线，两线之交点即为所求。,小 结,重点内容,二、如何在平面上确定直线和点。,一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。,要 点,一、各种位置平面的投影特性, 一般位置平面, 投影面垂直面, 投影面平行面,三个投影为边数相等的类似多边形类似性。,在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性。 另外两个投影类似。,在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性。 另外两个投影积聚为直线。,二、平面上的点与直线,3. 平面上的投影面平行线,即符合直线在平面上的几何条件,又符合投影面平行线 的
26、投影特性。,3.4 直线、平面的相对位置,相对位置有平行、相交和垂直。,3. 4. 1 直线与平面、平面与平面平行,1. 直线与平面平行,a,c,b,m,a,b,c,m,例3-11：过已知点M 作一直线MN 平行于平 面ABC。,有无数解,分析：过M 作一直线平行于平面内一直线即可，在投影上运用平行两直线的投影特性作图。,正平线,例2：过M 点作直线MN 平行于V 面和平面ABC。,c,b,a,m,a,b,c,m,唯一解,n,分析：MN 应是正平线，所以只要平行平面ABC内的一条正平线即可。,d,d,例3-12 试判断已知直线AB 是否平行于平面CDE 。,结论：直线AB 不平行于平面CDE,
27、分析：在平面内 是否可作出 一直线 平行于 直线AB。,2. 平面与平面平行,定理：若一平面内的两相交直线对应平行于另一平面内的两相交直线，则这两平面相互平行。,推论：若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,例题1 试判断两平面是否平行,结论：两平面平行,分析：根据定理看是否能在一平面内找到相交两直线对应的平行于另一平面内的相交两直线,例题2 已知定平面由平行两直线AB 和CD 给定。 试过点K 作一平面平行于已知平面 。,d,d,c,a,a,c,b,b,分析：可先在已知平面上任作两相交直线，然后过K点作与两相交直线对应平行的直线即可,K,有唯一解,3. 4. 2 直
28、线与平面、平面与平面相交,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。,要讨论的问题：, 求直线与平面的交点，求平面与平面的交线。, 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。,平面与平面相交，其交线是两平面的共有线。,1. 特殊位置直线或平面相交,当直线和平面相交，直线或平面其中之一垂直某一投影面时，它在该投影面中的投影具有积聚性，因此所求交点在该投影面的投影可直接得出，其他投影可方便求出。,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,例3-14 求铅垂线MN 与平面ABC 的交点K 。,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。, 求交点
29、, 判别可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k 2为不可见。,1(2),作图,用面上取点法,用重影点来判别,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,例2：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析:,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。, 求交点, 判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,1(2),作 图,2. 特殊位置平面和一般位置平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：, 求两平面的交线
30、,方法：,确定两平面的两个共有点。, 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空间及投影分析,平面ABC 与DEF 都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，正面投影可直接求得，水平投影可根据投影规律求得。, 求交线, 判别可见性,作 图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,例：求两平面的交线MN并判别可见性。,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1(2),空间及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。交线mn也一定积聚在平
31、面的有积聚性的投影上，即mn在efh上。, 求交线, 判别可见性,点在FH上，点在BC上，点在上，点在下，故fh可见，n2不可见。,作图,例 求倾斜面ABC 与水平面EFH 的交线MN 。,3. 一般位置直线和一般位置平面相交,求交点的方法：辅助平面法,辅助平面法的几何分析：,直线AB 与平面EFG 相交，交点为K。过直线AB 任作一辅助平面P，（为作图方便一般作投影面的垂直面），辅助平面P 与平面EFG 相交于MN， MN 必定与直线AB 相交，交点即为直线AB 与平面EFG 的交点K 。,1）过已知直线作辅助平面；,2）作出辅助平面与已知平面的交线；,3）求出该交线与已知直线的交点， 即为
32、已知直线与已知平面的交点；,4）判断投影图中的可见性。,作图,分析：直线和平面都是一般位置，用辅助平面法求交点。先包含AB 直线作辅助平面P，然后求出P 与EFG 的交线MN ，再求出MN 与AB的交点即为K。,例4 求直线AB与平面EFG的交点K。,4. 两一般位置平面相交,方法：用辅助平面法求得两平面的任意两个共有点，即可确定交线的位置。,两平面相交会出现两种情况：一个平面全部穿过另一个平 面，称为全交；两个平面的一条边互相穿过，成为互交。这两 种相交的情况的实质是相同的，只是相交部分的范围不同，因此 求解方法是相同的。求解两任意平面的交线通常采用辅助平面法。,分析：选取平面DEF的两条边
33、DE和EF ，分别求出它们与平面ABC的交点，两交点连接后即为所求交线。,作图： 1）过直线DE作辅助正垂面P，求出DE与平面ABC的交点M（m、m）。,2）过直线EF作辅助正垂面Q，求出EF与平面ABC的交点N（n、n）。,3）连接m n、 m n，即为两平面的交线MN的投影。,4）利用重影性判别V、H 面投影中的可见性,例5 求平面ABC 与平面DEF 的交线。,3.4.3 直线与平面、平面与平面垂直,若一直线垂直于平面内两条相交直线，则此直线垂直于这个平面；反之，若直线垂直平面，则该直线垂直于平面内的所有直线。,投影特性：若一直线垂直于平面，则直线的水平投影必垂直于该平面内 水平线的水平
34、投影；该直线的正面投影必垂直于该平面内正 平线的正面投影。反之，若一直线的水平投影和正面投影分 别垂直于平面内水平线的水平投影和正平线的正面投影，则 该直线一定垂直于该平面。,1. 直线与平面垂直,分析：点到平面的距离即由点向平面作垂线，垂线的实长即是。,作图：,1）在平面EFG内作正平线G，水平线E；,2）由点D作平面EFG的垂线，即自d引直线垂直于e1，自d引直线垂直于g2；,3）用求直线与平面交点的方法求出垂足K（k、k）；,4）用直角三角形法求出DK的实长即是点D到平面的距离。,例3-19 求点D到平面EFG的距离。,2. 两平面垂直,若一直线垂直于一平面，则包含这条直线的一切平面都
35、垂直于该平面。反之，若两平面互相垂直，必定能在一个平 面内作出与另一个平面垂直的直线。,分析：过E 点作一直线垂直于平面ABCD，则包含该直线的平面都垂直于平面ABCD。,作图：,1）过E点作一直线EF垂直于平面ABCD，EF必定为正平线，即efabcd，efOX轴；,2）过E点任作一直线EG。由EF、EG两相交直线所决定的平面一定垂直于平面ABCD。,例2、已知正垂面ABCD 及E 点，过E点作 一平面垂直于平面ABCD。,例（习题P18）,已知ABC与DEF互相垂直，作出DEF的正面投影。,分析：两平面垂直，从一个 平面上一点向第二个 平面作垂线，此线包 含在第一平面内。,作图：1）先在平
36、面ABC内作水平线及正平线；,2）通过F点作ABC的垂线；,3）找到垂线上的交点，求出正面投影。,小 结,重点掌握,1）若直线平行于平面内的任一直线，则直线与平 面平行。,2、相交问题,1、平行问题,2）两平面内的两组相交直线对应平行，则两平面 平行。,1）直线与平面相交，交点是共有点。,2）平面与平面相交，交线是共有线。,3、垂直问题,1）若直线垂直于平面内任意两条相交直线，则直 线垂直于平面,2）若一直线垂直于一平面，则包含这条直线的一切平面都垂直于该平面。,平行,1、作直线与平面平行，只要使直线平行平面内的一条直线，在投影上运用两平行直线的投影特性作图即可。,2、作平面与平面平行，只要使
37、一平面内两相交直线对应地平行另一平面内两相交直线，在投影上运用两平行直线的投影特性作图即可。,相交, 求直线与平面的交点的方法, 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共有性和平面的积聚性直接求解。, 投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求解。, 求两平面的交线的方法, 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画出交线的投影。, 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共 有点，求出交线。, 一般位置直线与一般位置平面求交点用辅助平面法求解, 两个一般位置平面相交，用辅助平面法分别求得一个平面的两条边与另一个平面的两个交点，连接起来即得交线,垂直,一、直线与平面垂直，则直线的H面投影必垂直于该平面内水平线的H 面投影；该直线的V面投影必垂直于该平面内的正平线的V面投影。,二、若一直线垂直于一平面，则包含这条直线的一切平面都垂直于该平面。在投影图中，要作平面垂直一已知平面，首先作直线垂直已知平面，然后包含直线作平面。,
