1、1,普通高中课程标准实验教科书 数学3 必修 A版 统计概率部分简介北京师范大学数学科学学院 李勇 Math_,2,第二章 统计 约16课时2.1 随机抽样 约5课时2.2 用样本估计总体 约5课时2.3 变量间的相关关系 约4课时实习作业 约1课时小结 约1课时,3,第三章 概率 约8课时3.1 随机事件的概率 约3课时3.2 古典概型 约2课时3.3 几何概型 约2课时小结 约1课时,4,与大纲教材的区别教学中应注意的问题,5,一、与大纲教材的区别,先讲统计后讲概率 先讲古典概型后学排列组合 通过案例理解概率统计概念 用概率观点解释统计原理 增加了随机模拟、几何概型等方面的内容,6,考虑到
2、统计与概率学科发展的历是先有统计，为了研究统计结论的可信程度问题，概率得到了发展。考虑到学生的学习心理，统计在前，使得学生在学习统计的过程中体会随机性，为学习概率知识做铺垫。,先讲统计后讲概率,7,先讲古典概型后学排列组合,重点是理解古典概型及其概率计算公式的原理。 排列组合的困难将影响模型原理的学习，可能导致学习重心的偏移。 学习计数原理时，将古典概率的计算作为一个应用，完全可以达到以往教材的效果。,8,通过案例理解概率统计概念,通过案例传授统计思想。 美国大选结果预测失败案例方便样本的弊病。 P55 居民月均用水量案例通过思考“你认为3t这个标准一定能够保证85以上的居民用水不超标吗？”提
3、出了统计结论理解问题。P68 人体的脂肪百分比与年龄案例最小二乘原理。P85,9,通过实例理解概率统计概念,通过现实生活中的实例理解概率的基本概念。 必然事件、不可能事件、随机事件天气、水稻生长例子。 P108 概率掷硬币实验中频率的稳定性。P112 几何概型转盘游戏。P135,10,用概率观点解释统计原理,游戏的公平性等概率原则。P115 豌豆实验孟德尔遗传规律。P117 古典概型概率的规范性与加法公式。P126 几何概型概率与区域的度量成比例，必然事件的概率为1。P136 随机模拟方法用于近似计算几何概型和频率近似概率的结合。P139 ,11,增加的随机模拟、几何概型等方面的内容,2.2.
4、2 由直方图估计总体的数字特征 3.2.2 (整数值)随机数的产生3.3 几何概型,12,二、教学中应注意的问题,统计部分 概率部分,13,统计部分,14,统计学是研究如何收集、整理、分析数据的科学，它可以为人们制定决策提供依据。 现代社会是信息化的社会，数字信息随处可见，因此统计学就备受重视。 统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。,学习统计的必要性,15,统计学的特点,统计学是由局部推断总体，属于归纳推理。数学是演绎推理。 统计方法归纳出的结论可能犯错误。数学演绎推理的结论一定正确。 对于实际问题，有种种不同的统计解决方法，这些方法只有好坏之分，没有对错之分。数学结论只有对错
5、之分。 评价统计方法的好坏，需要概率论和数理统计的理论。创建新的统计方法，需要良好的统计素质。,16,关心某城市高中生学生身高情况，应该如何取总体？,该市所有在校高中生；该市所有在校高中生的身高。,哪一总体的取法对？,17,随机抽样,核心问题：样本的代表性的好坏。,形象的比喻：品尝一锅汤的味道,在有限总体下： 好样本能够使得任何个体进入到样本的概率大于0.,18,系统抽样特点：系统抽样比其他随机抽样方法更容易施行，可节约抽样成本。 有时在不知道总体中个体数目的情况下，仍可应用系统抽样方法获取样本。 如果编号的个体特征随编号有一定的周期性，可能会使系统抽样的代表性很差。,19,分层抽样特点：充分
6、利用了已知的总体信息，得到的样本比前两种方法有更好的代表性。 可得到各个层的子样本以估计各个层的信息。 等比例抽样只是分层抽样中的一种。,了解每种抽样方法的优缺点，为了 使样本的代表性好，选择合适的抽 样方法以便得到对总体的较准确的 推断这是学习抽样方法的目的。,按照所要调查的量的大小分层。,20,确定抽样方法的原则,各种特征个体都在样本中有代表。 容易实施。,与数学方法的评价不同，统计方法没有对错之分，只有好坏之分。 评价统计方法的好坏，属于数理统计的研究范畴。,21,样本信息描述频率直方图,描述样本的数据整体分布信息，舍弃细节信息。 是总体数据分布的近似。 制作时需要所有样本数据。 有随机
7、性。,22,样本信息描述茎叶图,茎叶图保留了样本数据的所有信息。 能反映样本数据的分布信息。 茎叶图可以在现场随时制作，不需要所有样本信息。 由样本决定，有随机性。,23,样本信息描述数字特征,均值、中位数、众数的特点。样本标准差的意义和作用。,24,都用于描述样本的中心位置，有随机性，随样本容量的增加而稳定于总体相应的总体特征。 平均数：描述数值变量的中心位置，受样本中的每一个数据的影响。中位数：描述数值变量的中心位置，抗“坏”数据能力强，容易计算。众数：描述分类变量的中心位置，容易计算。,均值、中位数、众数的特点,25,综合利用均值和中位数获取样本信息如果样本均值大于样本中位数，说明数据中
8、可能存在较大的极端值。 反之，说明说明数据中存在可能较小的极端值。误导：有意仅选取使用中位数或平均值来描述数据的中心位置。,均值、中位数、众数的特点,26,样本标准差的意义和作用。,描述样本数据集中于样本均值的程度。 简称为“离散程度”。 有时解释成数据的稳定性。 样本标准差具有随机性，随样本容量的增加而稳定于总体均值,27,教材上只是给出了用样本可以估计总体的结论，没有给出原因，但提到估计的效果好坏需要评价。可以向学生们明确指出，这种评价需要概率论和数理统计的知识，为其指明学习的长远目标。,28,教材上样本方差与统计学上的样本方差有差别。,29,变量间的相关关系,核心：了解最小二乘法的原理,
9、原理：点到线之间距离的平方和最小。 为什么用平行于纵轴的线段作为距离？,30,最小二乘法与 线性方程组的解,31,散点图与变量之间的关系,如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，变量之间具有函数关系。 如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系。 如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系。,32,回归方程： 经验回归方程：由样本数据所估计的回归方程，简称为回归方程。经验回归方程由样本数据所决定。由随机样本数据所得到的经验回归方程具有随机性。,经验回归方程的特点,33,这里给出了线性回归中最小二乘方法的原理，没有给出评价模型好坏的方法。向同学们指出选修中将讨论
10、评价模型的一种方法，为进一步的学习指明方向。,34,概率部分,35,频率可近似概率，随着试验次数的增加，近似效果越来越好。 解释用样本估计总体的依据。 频率本身是随机的，在试验前不能确定。 概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关。,频率与概率的关系,36,两条基本的统计思想,公平性：机会均等，即概率相等。小概率事件：认为在一次观测中不应该看到小概率事件发生。,37,案例1：一个袋子中可能是下列两种情况之一： （1）有99个红球和1个白球； （2）有99个白球和1个红球。 现从袋中随机摸出一球，此球是白球，你认为更可能是哪种情况？ 案例2：同时掷100枚硬币，结果100枚硬币均正面朝上
11、，你会怎么想？,38,重点理解古典概型的两个特征。 理解古典概率计算公式与概率性质之间的关系。 不能通过频率近似于概率的想法来证明“基本事件出现的可能性相等”。 不要把学习兴奋点误导到计数上。,古典概型,39,计算机或计算器产生的随机数是伪随机数，是随机数的近似。好的伪随机数可以提高 Monte Carlo方法的随机模拟效果。,随机数的产生,40,几何概型的产生背景。 利用概率的规范性推导几何概型中概率的计算公式。 几何概型与 Monte Carlo 方法在数学近似计算应用。,几何概型,41,使学生了解概率在实际中的应用，激发学习兴趣。 利用统计原理去发现规律，解决实际问题。 案例1：孟德尔发
12、现遗传定律；案例2：天气变化的认识过程；案例3：概率与密码,联系实际,42,普通高中课程标准实验教科书选修23,北京师范大学数学科学院 李勇 Math_,第二章 随机变量及其分布 简 介,人教版高中数学课标教材（A版）,43,教学目标 结构设置与课时分配 教材内容的变化与特点 教学建议,44,1. 教学目标,在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布对于刻画随机现象的重要性。 通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 在具体情景中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。,45,
13、通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。 通过实际问题，借助直观，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。,1. 教学目标,46,教学目标 结构设置与课时分配 教材内容的变化与特点 教学建议,47,2. 结构设置与课时分配,48,教学目标 结构设置与课时分配 教材内容的变化与特点 教学建议,49,3. 教材内容的变化与特点,知识的引入的变化具体内容的变化知识的应用,50,3. 教材内容的变化与特点,知识的引入的变化： 注重利用学生熟悉的实例和具体情景，以引发学生的学习兴趣； 通过思考或探究栏目提出问题，调动学生解决问
14、题的积极性(培养学生们创造性思维的能力)。具体内容的变化知识的应用,51,3. 教材内容的变化与特点,知识的引入的变化具体内容的变化： 以取有限值的离散型随机变量为知识载体； 增加了超几何分布模型(应用背景：产品质量、抽奖游戏设计。理论意义：帮助理解独立性的概念)。知识的应用,52,3. 教材内容的变化与特点,知识的引入的变化具体内容的变化知识的应用。 体现概率模型的应用价值； 利用思考、探究等栏目提高学生解决实际问题能力。,53,教学目标 结构设置与课时分配 教材内容的变化与特点 教学建议,54,4. 教学建议,在教学过程中要交待引入随机变量的原因（章引言中：利用数学工具、建模 ）；注意通过
15、边框问题引导学生了解：对于同一个实际问题，可以用不同的随机变量来描述（原则：用简单的有实际意义的随机变量解决实际问题。如掷一枚硬币）；通过与函数的比较加深对随机变量的理解（从映射的角度比较）；,55,通过取有限值的随机变量为载体，介绍有关随机变量的概念，重点在概念含义的理解及应用（离散型、分布、条件概率、事件独立性等）；离散型随机变量的定义使用了“取值可以一一列出”的描述性语言，主要是为了避免“可数集”概念；,4. 教学建议,56,注意产生超几何分布与二项分布模型背景的差别：（问题：袋中有a个红球b个黑球，任意摸出m个球中仅有k个红球的概率是什么？答案不唯一！像类问题给标准答案时一定要倍加小心
16、，不出查错） 超几何分布：不放回任意模出m个球中的红球个数； 二项分布：放回任意模出m个球中的红球个数。,4. 教学建议,57,注意解释随机变量均值（方差）与样本均值(方差)的关系： 两者都表示各自的平均位置(变化剧烈程度)； 样本均值和方差具有随机性，而随机变量的均值和方差没有随机性（通常作为估计对象）； 通常可用样本均值和方差估计总体均值和方差 。,4. 教学建议,58,4. 教学建议,结合例3使学生们体会概率统计的基本概念在实际问题中的应用方法与结论的正确理解。 每种方案导致的损失是随机变量 用平均损失比较各个方案的好坏（在此例中，随机变量的均值可以计算出来） 结论的正确理解（采取最优方
17、案2之后，下一年的损失一定最小吗？所得到的结论应该用随机变量均值的含义来解释。 ）,例3 根据气象预报，某地区近期有小洪水的 概率为0.25，有大洪水的概率为0.01。该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失6万元，遇到小洪水时要损失1万元。为保护设备，有以下3种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3800元； 方案2：建保护围墙，建设费为2000但围墙只能防小洪水； 方案3：不采取措施，希望不发生洪水 试比较哪一种方案好。,59,在高尔顿钉板试验中，课文中说“随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线”。,越来越接近于钟形曲线的离散化，即二项分布的密度图像。,4.
18、教学建议,60,普通高中课程标准实验教科书选修23,第三章 统计案例 简 介,人教版高中数学课标教材（A版）,北京师范大学数学科学院 李勇 Math_,61,教学目标 结构设置与课时分配 回归分析 独立性检验,62,1.教学目标,通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用。通过典型案例的探究，了解独立性检验（只要求22列联表）的基本思想、方法及其初步应用。,63,教学目标 结构设置与课时分配 回归分析 独立性检验,64,2. 结构设置与课时分配,65,教学目标 结构设置与课时分配 回归分析 独立性检验,66,3. 回归分析,比数学3中“回归”增加的内容回归分析知识结构图
19、回归分析教学建议,67,画散点图 最小二乘法的思想 求回归直线方程 ybxa 用回归直线方程解决应用问题,必修数学已学回归内容,比数学3中“回归”增加的内容,68,引入线性回归模型 ybxae 了解模型中随机误差项e产生的原因 了解相关指数 R2 和模型拟合的效果之间的关系 了解残差图的作用 利用线性回归模型解决一类非线性回归问题 正确理解统计分析方法与分析结果,选修新增内容,比数学3中“回归”增加的内容,69,3. 回归分析,比数学3中“回归”增加的内容回归分析知识结构图回归分析教学建议,70,b.回归分析知识结构图,71,3. 回归分析,比数学3中“回归”增加的内容回归分析知识结构图回归分
20、析教学建议,72,回归分析教学建议,函数模型与“回归模型”的关系 散点图与模型的选择 残差变量与模型选择 解释残差变量的来源 正确理解相关指数的含义 注意提炼案例所蕴含的统计思想 应用统计方法解决实际问题需要注意的问题,73,函数模型与“回归模型”的关系,函数模型：,回归模型：,样本点在函数曲线上,样本点不在回归函数曲线上,74,函数模型与“回归模型”的关系,函数模型：因变量y完全由自变量x确定 回归模型： 预报变量y完全由解释变量x和模型误差e确定,无法得到残差变量的值， 但可以对它进行估计和分析。,75,回归分析教学建议,函数模型与“回归模型”的关系 散点图与模型的选择 残差变量与模型选择
21、 解释残差变量的来源 正确理解相关指数的含义 注意提炼案例所蕴含的统计思想 应用统计方法解决实际问题需要注意的问题,76,散点图与模型的选择,案例2：红铃虫的产卵数与温度,这些散点更像是集中在一条指数曲线或二次曲线的附近。,散点图帮助确定可供选择模型的范围，模型的比较则基于残分析,在实际应用中，模型只有好坏之分，没有对错之分。统计学的目标是寻求效果更好的模型,77,回归分析教学建议,函数模型与“回归模型”的关系 散点图与模型的选择 残差变量与模型选择 解释残差变量的来源 正确理解相关指数的含义 注意提炼案例所蕴含的统计思想 应用统计方法解决实际问题需要注意的问题,78,残差变量与模型选择,残差
22、图的制作及作用在残差图中寻找异常点残差图的趋势性分析,残差图帮助确定异常点，以及模型的改进方向。,79,残差图的制作用。 制作：坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择。横轴为编号：可以考察残差与编号次序之间的关系，常用于调查数据错误。横轴为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系，常用于研究模型是否有改进的余地。作用：判断模型的适用性若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域。,80,在残差图中寻找异常点,可能由错误数据引起 异常点可能由模型误差引起,异常点,异常点,身高与体重残差图,81,残差图具有趋势性，模型有改进的余地，模型中应该添加二次项,残差图的趋势性分析,82,回
23、归分析教学建议,函数模型与“回归模型”的关系 散点图与模型的选择 残差变量与模型选择 解释残差变量的来源 正确理解相关指数的含义 注意提炼案例所蕴含的统计思想 应用统计方法解决实际问题需要注意的问题,83,残差变量的来源：其它因素的影响。如影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素。 选用的回归模型近似真实模型所引起的误差。 预报变量的观测误差。身高 y 的测量有误差。,84,回归分析教学建议,函数模型与“回归模型”的关系 散点图与模型的选择 残差变量与模型选择 解释残差变量的来源 正确理解相关指数的含义 注意提炼案例所蕴含的统计思想 应用统计方法解决实际
24、问题需要注意的问题,85,相关指数是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。,正确理解相关指数的含义,86,相关指数是度量模型拟合效果的一种指标。相关指数它越大，模型拟合效果越好。（解释变量数目相同的情况下，教材上的解释变量只有一个是x）,选修23,在线性回归模型中，它代表了解释变量对预报变量变化所做贡献的百分比,87,回归分析教学建议,函数模型与“回归模型”的关系 散点图与模型的选择 残差变量与模型选择 解释残差变量的来源 正确理解相关指数的含义 注意提炼案例所蕴含的统计思想 应用统计方法解决实际问题需要注意的问题,88,注意提炼案例所蕴含的统计思想,如在例
25、1结尾提到“用身高预报体重时，需要注意下列问题：”，这些论述适用于所有的回归模型。,模型适用的总体；模型的时间性；样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理解。,89,注意提炼案例所蕴含的统计思想,又如教科书上所列“建立回归模型的基本步骤”，不仅适用于线性回归模型，也适用于所有的回归模型。,对研究对象的背景分析；利用散点图判断模型类别；估计模型参数；残差分析，模型诊断。,90,回归分析教学建议,函数模型与“回归模型”的关系 散点图与模型的选择 残差变量与模型选择 解释残差变量的来源 正确理解相关指数的含义 注意提炼案例所蕴含的统计思想 应用统计方法解决实际问题需要注意的问题,91,应用统
26、计方法解决实际问题需要注意的问题通过红铃虫产卵数例2，说明如下结论：,对于实际数据，无法知道它来自什么模型，任何统计模型只是近似描述这些数据的工具。对于同样的数据，有不同的统计方法进行分析，要用最有效的方法分析数据。,在讲完例2通过引导学生们讨论“是不是还有其它的效果更好的模型来拟合例2中的数据？”，获得上述结论。,92,教学目标 结构设置与课时分配 回归分析 独立性检验,93,独立性检验,反证法原理与假设检验原理 假设检验问题 求解假设检验问题 独立性检验 独立性检验知识结构图 教学建议,94,反证法原理： 在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立。,假设检验原理：在一个已
27、知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立。,反证法原理与假设检验原理,95,例. 数学家庞加莱每天都从同一家面包店买一块1000g 的面包，并记录下买回的面包的实际质量。一年后，这位数学家发现，所记录数据的均值为950g。于是庞加莱推断这家面包店的面包分量不足。,96,庞加莱的推断原理：,假设“面包分量足”，则一年购买面包的质量数据的平均值应该不少于1000g ； “平均值不大于950g”是一个与假设“面包分量足”矛盾的小概率事件； 这个小概率事件的发生使庞加莱得出推断结果。,97,假设检验问题,假设检验问题由两个互斥的假设构成，其中一个叫做原假设，用H0表示；另一
28、个叫做备择假设，用H1表示。,例如，在前面的例子中，原假设为：H0：面包分量足， 备择假设为：H1：面包分量不足。 这个假设检验问题可以表达为：H0：面包分量足 H1：面包分量不足,98,c.求解假设检验问题,考虑假设检验问题：H0 H1,在H0成立的条件下，构造与H0矛盾的小概率事件； 如果样本使得这个小概率事件发生，就断言H1成立；否则，断言没有发现样本数据与H0相矛盾的证据。,求解思路：,检验问题的解：一个规则，用以判断是H0 还是H1正确。,规则要在获取观测数据之前确定,99,假设检验的结论可能与实际不符：第一类错误：将H0错判成H1第二类错误：将H1错判成H0假设检验的原理：在保证犯
29、第一类错误的概率小于一定水平的前提下，使得犯第二类错误的概率尽可能地小。,100,d. 独立性检验,检验两个分类变量 x 和 y 之间是否有关系：H0：x 和 y 之间没有关系 H1：x 和 y 之间有关系,教材中的假设H,101,e. 独立性检验知识结构图,102,f. 教学建议,关于探究吸烟与患肺癌关系的教学建议关于例1的教学建议（独立性检验的思想）关于例2的教学建议（独立性检验的应用）,103,关于探究吸烟与患肺癌关系的教学建议,通过图形直观判断，只能得到定性的结论，无法知道所得结论的可信程度及含义，因此需要用列联表检验。,患肺癌 比例,不患肺癌 比例,104,推导统计量K2 用意是建立
30、判定吸烟与患肺癌是否有关系的指标(用于构造有利于H成立的小概率事件的指标) ，使同学了解： K2越大， H成立的可能性就越大。,关于探究吸烟与患肺癌关系的教学建议,这种可能性的计算基于K2的分布,105,在“吸烟与患肺癌没有关系”成立的条件下，可以估算出：,关于探究吸烟与患肺癌关系的教学建议,在教学过程中可以指出估算需要很多的概率统计知识。,在教学过程中强调：只有在此条件下，才能得到这个近似公式。,当 n 时，变为等号。在实际应用中，当近似的效果才可接受。,106,结果的解释：k54.7216.635解释为有99%的把握断定“吸烟与患肺癌有关” 。,若按如下规则进行判断，则把“吸烟与患肺癌没有
31、关系”错判断成“吸烟与患肺癌有关系”的可能性不超过0.01 。 规则：若K26.635，就断定“吸烟与患肺癌有关”,关于探究吸烟与患肺癌关系的教学建议,107,关于探究吸烟与患肺癌关系的教学建议,总结“两个分类变量独立性检验”的本质,问题：建立判断结论H：分类变量X与Y之间有关系 是否成立的规则。判别指标：规则k0：如果kk0,判定H成立；否则认为H不成立。确定规则k0判定“H成立”犯错误的概率。,表310给出了一些规则的犯错误的概率。,108,归纳两个分类变量独立性检验的基本思想：当 很大时，就认为两个变量有关系；否则就认为没有充分的证据显示两个变量有关系。,关于探究吸烟与患肺癌关系的教学建
32、议,109,在前面案例中，由 k54.7216.635 可得结论： 有99%的把握断定“吸烟与患肺癌有关”。 另一方面，由 k54.72110.828 还可得结论： 有99.9%的把握断定“吸烟与患肺癌有关”。,问题：二个结论矛盾吗？,关于探究吸烟与患肺癌关系的教学建议,可引导学生讨论下面问题，加深对假设检验问题的正确理解。,110,两个结论不矛盾，它们是对两个不同评判规则的结论。,结论“有99%的把握断定吸烟与患肺癌有关”是相对于规则一： 如果随机变量的观测值大于或等于6.635就认为“吸烟与患肺癌有关系” 。结论“有99.9%的把握断定吸烟与患肺癌有关”是相对于规则二： 如果随机变量的观测
33、值大于或等于10.828就认为“吸烟与患肺癌有关系” 。,111,关于例1的教学建议,例1.秃头与患心脏病,在解决实际问题时，可以直接计算K2的观测值k进行独立检验，而不必写出K2的推导过程 。 提醒学生们注意统计结果的适用范围（这由样本的代表性所决定）。,因为这组数据来自住院的病人，因此所得到的结论适合住院的病人群体,112,例2.性别与喜欢数学课,本例主要是使学生理解独立性检验的原理。 在教学过程中向同学们说明：在掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后，就可以模仿例1中的计算解决实际问题，而没有必要画相应的图形。,图形可帮助向非专业人士解释所得结果； 也可以帮助我们判断所得结果是否合理,关于例2的教学建议,113,一本参考书,李勇，张淑梅. 统计学导论. 人民邮电出版社，2007年版.,114,谢谢！,欢迎各位老师对教材 提出宝贵意见，,Math_,
