1、小 学 奥 数 竞 赛 专 题 之 利 润 与 折 扣竞赛专题选讲囊括了希望杯、华罗庚金杯、走进美妙的数学花园、EMC、全国小学数学联赛和数学解题能力展示等在内的国内主要数学竞赛的精华试题专题介绍工厂和商店有时减价出售商品，通常我们把它称为“打折扣”出售，几折就是百分之几十。利润问题也是一种常见的百分数应用题，商店出售商品总是期望获得利润，一般情况下，商品从厂家购进的价格称为本价，商家在成本价的基础上提高价格出售，所赚的钱称为利润，利润与成本的百分比称之为利润率。期望利润=成本价期望利润率。经典例题例 1、某商店将某种 DVD 按进价提高 35%后，打出“九折优惠酬宾，外送 50 元出租车费”
2、的广告，结果每台仍旧获利 208 元，那么每台 DVD 的进价是多少元？（B 级）解：定价是进价的 1+35%打九折后，实际售价是进价的 135%90%=121.5%每台 DVD 的实际盈利：208+50=258（元）每台 DVD 的进价 258（121.5%-1）=1200（元）答：每台 DVD 的进价是 1200 元例 2：一种服装，甲店比乙店的进货便宜 10%甲店按照 20%的利润定价，乙店按照 15%的利润定价，甲店比乙店的出厂价便宜 11.2 元，问甲店的进货价 是多少元？（B 级）分析：解：设乙店的成本价为 1（1+15%）是乙店的定价（1-10%）（1+20%）是甲店的定价（1+
3、15%）-（1-10%）（1+20%）=7%11.27%=160（元）160（1-10%）=144（元）答：甲店的进货价为 144 元。例 3、原来将一批水果按 100%的利润定价出售，由于价格过高，无人购买，不得不按 38%的利润重新定价，这样出售了其中的 40%，此时因害怕剩余水果会变质，不得不再次降价，售出了全部水果。结果实际获得的总利润是原来利润的30.2%，那么第二次降价后的价格是原来定价的百分之几？（B 级）分析：要求第二次降价后的价格是原来定价的百分之几，则需要求出第二次是按百分之几的利润定价。解：设第二次降价是按 x%的利润定价的。38%40%x%（1-40%）=30.2%X%
4、=25%（1+25%）（1+100%）=62.5%答：第二次降价后的价格是原来价格的 62.5% 练习：1、某商品按每个 7 元的利润卖出 13 个的钱，与按每个 11 元的利润卖出 12 个的钱一样多。这种商品的进货价是每个多少元？2、租用仓库堆放 3 吨货物，每月租金 7000 元。这些货物原计划要销售 3 个月，由于降低了价格，结果 2 个月就销售完了，由于节省了租仓库的租金，所以结算下来，反而比原计划多赚了 1000 元。问：每千克货物的价格降低了多少元？3、张先生向商店订购了每件定价 100 元的某种商品 80 件。张先生对商店经理说：“如果你肯减价，那么每减价 1 元，我就多订购
5、4 件。”商店经理算了一下，若减价 5，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多 100 元。问：这种商品的成本是多少元？4、某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克 1.20 元。从产地到商店的距离是 400 千米，运费为每吨货物每运 1 千米收 1.50 元。如果在运输及销售过程中的损耗是 10，商店要想实现 25的利润率，零售价应是每千克多少元？5、小明到商店买了相同数量的红球和白球，红球原价 2 元 3 个，白球原价 3元 5 个。新年优惠，两种球都按 1 元 2 个卖，结果小明少花了 8 元钱。问：小明共买了多少个球？6、某厂向银行申请甲、乙两种贷款共 40 万元，每年需付利息
6、5 万元。甲种贷款年利率为 12，乙种贷款年利率为 14。该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少？7、商店进了一批钢笔，用零售价 10 元卖出 20 支与用零售价 11 元卖出 15 支的利润相同。这批钢笔的进货价每支多少元？8、某种蜜瓜大量上市，这几天的价格每天都是前一天的 80。妈妈第一天买了 2 个，第二天买了 3 个，第三天买了 5 个，共花了 38 元。若这 10 个蜜瓜都在第三天买，则能少花多少钱？9、商店以每双 13 元购进一批凉鞋，售价为 14.8 元，卖到还剩 5 双时，除去购进这批凉鞋的全部开销外还获利 88 元。问：这批凉鞋共多少双？10、体育用品商店用 3000 元购进
7、50 个足球和 40 个篮球。零售时足球加价9，篮球加价 11，全部卖出后获利润 298 元。问：每个足球和篮球的进价是多少元？小 学 奥 数 竞 赛 专 题 之 利 率 与 利 息竞赛专题选讲囊括了希望杯、华罗庚金杯、走进美妙的数学花园、EMC、全国小学数学联赛和数学解题能力展示等在内的国内主要数学竞赛的精华试题 专题介绍国家规定，各种收入必须按照国家一定的额比例向国家缴纳一定的税款，应纳税额与收入的百分比叫做税率。我们把存入银行的钱叫做本金，取款时银行多付出来的钱叫做利息。总利息与本金的百分比叫做利率。经典例题例 1、某个体商人以年利息 14%的利率借别人 4500 元，第一年末偿还 21
8、30 元，第二年以某种货物 80 件偿还一部分，第三年还 2736 元结清，他第二年末还债的货物每件价值多少元？解：根据“总利息=本金利率时间”第一年末的本利和：4500+450014%1=5130（元）第二年起计息的本金：5130-2130=3000（元）第二年末的本利和：3000+300014%1=3420（元）第三年的本利和为 2736 元，故第三年初的本金为：2736（1+14%）=27361.14=2400（元）第二年末已还款的金额为 3420-2400=1020（元）每件货物的单价为 102080=12.75（元）答：他第二年末还债的货物每件价值 12.75 元例 2、小明于今年七
9、月一日在银行存了活期储蓄 100 元，如果年利率是 1.98%，到明年七月一日，小明可以得到多少利息？（A 级）解：10001.98%1（1-20%）=15.84（元）答：小明可以得到 15.84 元利息例 3、买了 8000 元的国家建设债卷，定期 3 年，到期他取回本息一共 10284 元，这种建设债卷的年利率是多少？（B 级）解：设年利率为 x% （1） （单利）8000+8000x%3=10284X%=9.52%（2）（复利）8000（1+ x%）3=10284X%=9.52%答：这种建设债卷利率是 9.52%小 学 奥 数 竞 赛 专 题 之 平 均 数 问 题竞赛专题选讲囊括了希望
10、杯、华罗庚金杯、走进美妙的数学花园、EMC、全国小学数学联赛和数学解题能力展示等在内的国内主要数学竞赛的精华试题 专题介绍 求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题，如“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数”。解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数。经典例题例 1 用 4 个同样的杯子装水，水面高度分别是 4 厘米、5 厘米、7 厘米和 8 厘米，这 4 个杯子水面平均高度是多少厘米？分析 求 4 个杯子水面的平均高度，就相当于把 4 个杯子里的水合在一起，再平均倒入 4 个杯子里，看每个杯子里水面的高
11、度。解：（45+7+8）4=6（厘米）答：这 4 个杯子水面平均高度是 6 厘米。 例 2 蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是 89分.政治、数学两科的平均分是 91.5 分.语文、英语两科的平均分是 84 分.政治、英语两科的平均分是 86 分，而且英语比语文多 10 分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分？分析 解题关键是根据语文、英语两科平均分是 84 分求出两科的总分，又知道两科的分数差是 10 分，用和差问题的解法求出语文、英语各得多少分后，就可以求出其他各科成绩。解：英语：（842+10）2=89（分）语文： 89-10=79（分）政治：862-8983（
12、分）数学： 91.52-83100（分）生物： 895-（897983100）94（分）答：蔡琛这次考试英语、语文、政治、数学、生物的成绩分别是 89 分、79分、83 分、100 分、94 分。例 3 果品店把 2 千克酥糖，3 千克水果糖，5 千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克 4.40 元，水果糖每千克 4.20 元，奶糖每千克 7.20 元.问：什锦糖每千克多少元？分析 要求混合后的什锦糖每千克的价钱，必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数。解：什锦糖的总价：4.402+4.203+7.20557.4（元）什锦糖的总千克数： 23510（千克）什锦糖的单价：57.410=5
13、.74（元）答：混合后的什锦糖每千克 5.74 元。我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数”.例 3 中的 5.74 元叫做4.40 元、4.20 元、7.20 元的加权平均数.2 千克、3 千克、5 千克这三个数很重要，对什锦糖的单价产生不同影响，有权衡轻重的作用，所以这样的数叫做“权数”。例 4 甲乙两块棉田，平均亩产籽棉 185 斤.甲棉田有 5 亩，平均亩产籽棉 203斤；乙棉田平均亩产籽棉 170 斤，乙棉田有多少亩？分析 此题是已知两个数的加权平均数、两个数和其中一个数的权数，求另一个数的权数的问题.甲棉田平均亩产籽棉 203 斤比甲乙棉田平均亩产多 18斤，5 亩共多出 90
14、斤.乙棉田平均亩产比甲乙棉田平均亩产少 15 斤，乙少的部分用甲多的部分补足，也就是看 90 斤里面包含几个 15 斤，从而求出的是乙棉田的亩数，即“权数”。解：甲棉田 5 亩比甲乙平均亩产多多少斤？（203-185）5=90（斤）乙棉田有几亩？90（185-170）=6（亩）答：乙棉田有 6 亩。例 5 已知八个连续奇数的和是 144，求这八个连续奇数。分析 已知偶数个奇数的和是 144.连续数的个数为偶数时，它的特点是首项与末项之和等于第二项与倒数第二项之和，等于第三项与倒数第三项之和即每两个数分为一组，八个数分成 4 组，每一组两个数的和是144436.这样可以确定出中间的两个数，再依次
15、求出其他各数。解：每组数之和：1444=36中间两个数中较大的一个：（362）219中间两个数中较小的一个：19-2=17这八个连续奇数为 11、13、15、17、19、21、23 和 25。答：这八个连续奇数分别为：11、13、15、17、19、21、23 和 25。小 学 奥 数 竞 赛 专 题 之 最 短 路 线 问 题竞赛专题选讲囊括了希望杯、华罗庚金杯、走进美妙的数学花园、EMC、全国小学数学联赛和数学解题能力展示等在内的国内主要数学竞赛的精华试题 小 学 奥 数 竞 赛 专 题 之 最 优 化 问 题竞赛专题选讲囊括了希望杯、华罗庚金杯、走进美妙的数学花园、EMC、全国小学数学联赛
16、和数学解题能力展示等在内的国内主要数学竞赛的精华试题 专题介绍最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容。最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处。但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举。因此，主要是以例题的方式让大家体会解决这些问题的方法和经验。经典例题 例 1 :货轮上卸下若干只箱子，总重量为 10 吨，每只箱子的重量不超过 1 吨，为了保证能把这些箱子一次运走
17、，问至少需要多少辆载重 3 吨的汽车？分析 因为每一只箱子的重量不超过 1 吨，所以每一辆汽车可运走的箱子重量不会少于 2 吨，否则可以再放一只箱子。所以，5 辆汽车本是足够的，但是 4辆汽车并不一定能把箱子全部运走。例如，设有 13 只箱子，所以每辆汽车只能运走 3 只箱子，13 只箱子用 4 辆汽车一次运不走。因此，为了保证能一次把箱子全部运走，至少需要 5 辆汽车。例 2: 用 10 尺长的竹竿来截取 3 尺、4 尺长的甲、乙两种短竹竿各 100 根，至少要用去原材料几根？怎样截法最合算？分析 一个 10 尺长的竹竿应有三种截法：（1） 3 尺两根和 4 尺一根，最省；（2） 3 尺三根
18、，余一尺；（3） 4 尺两根，余 2 尺。为了省材料，尽量使用方法（1），这样 50 根原材料，可截得 100 根 3 尺的竹竿和 50 根 4 尺的竹竿，还差 50 根 4 尺的，最好选择方法（3），这样所需原材料最少，只需 25 根即可，这样，至少需用去原材料 75 根。例 3: 一个锐角三角形的三条边的长度分别是两位数，而且是三个连续偶数，它们个位数字的和是 7 的倍数，这个三角形的周长最长应是多少厘米？分析 因为三角形三边是三个连续偶数，所以它们的个位数字只能是0，2，4，6，8，并且它们的和也是偶数，又因为它们的个位数字的和是 7 的倍数，所以只能是 14，三角形三条边最大可能是 8
19、6，88，90，那么周长最长为86+88+90=264 厘米。例 4: 把 25 拆成若干个正整数的和，使它们的积最大。分析 先从较小数形开始实验，发现其规律：把 6 拆成 3+3，其积为 33=9 最大；把 7 拆成 3+2+2，其积为 322=12 最大；把 8 拆成 3+3+2，其积为 332=18 最大；把 9 拆成 3+3+3，其积为 333=27 最大；这就是说，要想分拆后的数的乘积最大，应尽可能多的出现 3，而当某一自然数可表示为若干个 3 与 1 的和时，要取出一个 3 与 1 重合在一起再分拆成两个2 之和，因此 25 可以拆成 3+3+3+3+3+3+3+2+2，其积 37
20、22=8748 为最大。例 5: A、B 两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走 20 千米，已知每人最多可携带一个人 24 天的食物和水，如果不准将部分食物存放于途中，问其中一个人最远可以深入沙漠多少千米（要求最后两人返回出发点）？如果可以将部分食物存放于途中以备返回时取用呢？分析 设 A 走 X 天后返回，A 留下自己返回时所需的食物，剩下的转给 B，此时 B 共有（48-3X）天的食物，因为 B 最多携带 24 天的食物，所以 X=8，剩下的 24 天食物，B 只能再向前走 8 天，留下 16 天的食物供返回时用，所以 B 可以向沙漠深处走 16 天，因为每天走 20 千米，所以其中一
21、人最多可以深入沙漠320 千米。如果改变条件，则问题关键为 A 返回时留给 B24 天的食物，由于 24 天的食物可以使 B 单独深入沙漠 12 天的路程，而另外 24 天的食物要供 A、B 两人往返一段路，这段路为 244=6 天的路程，所以 B 可以深入沙漠 18 天的路程，也就是说，其中一个人最远可以深入沙漠 360 千米。例 6: 甲、乙两个服装厂每个工人和设备都能全力生产同一规格的西服，甲厂每月用的时间生产上衣， 的时间生产裤子，全月恰好生产 900 套西服；乙厂每月用 的时间生产上衣， 的时间生产裤子，全月恰好生产 1200 套西服，现在两厂联合生产，尽量发挥各自特长多生产西服，那
22、么现在每月比过去多生产西服多少套？分析 根据已知条件，甲厂生产一条裤子与一件上衣的时间之比为 2:3；因此在单位时间内甲厂生产的上衣与裤子的数量之比为 2:3；同理可知，在单位时间内乙厂生产上衣与裤子的数量之比是 3:4；，由于，所以甲厂善于生产裤子，乙厂善于生产上衣。两厂联合生产，尽量发挥各自特长，安排乙厂全力生产上衣，由于乙厂生产 月生产 1200 件上衣，那么乙厂全月可生产上衣 1200 =2100 件，同时，安排甲厂全力生产裤子，则甲厂全月可生产裤子 900 =2250条。为了配套生产，甲厂先全力生产 2100 条裤子，这需要 21002250=月，然后甲厂再用月单独生产西服 900=
23、60 套，于是，现在联合生产每月比过去多生产西服（2100+60）-（900+1200）=60 套例 7 今有围棋子 1400 颗，甲、乙两人做取围棋子的游戏，甲先取，乙后取，两人轮流各取一次，规定每次只能取 7P（P 为 1 或不超过 20 的任一质数）颗棋子，谁最后取完为胜者，问甲、乙两人谁有必胜的策略？分析 因为 1400=7200，所以原题可以转化为：有围棋子 200 颗，甲、乙两人轮流每次取 P 颗，谁最后取完谁获胜。解 乙有必胜的策略。由于 200=450，P 或者是 2 或者可以表示为 4k+1 或 4k+3 的形式（k 为零或正整数）。乙采取的策略为：若甲取 2，4k+1，4k
24、+3 颗，则乙取 2，3，1 颗，使得余下的棋子仍是 4 的倍数。如此最后出现剩下数为不超过 20 的 4 的倍数，此时甲总不能取完，而乙可全部取完而获胜。说明 （1）此题中，乙是“后发制人”，故先取者不一定存在必胜的策略，关键是看他们所面临的“情形”；（2）我们可以这样来分析这个问题的解法，将所有的情形-剩余棋子的颗数分成两类，第一类是 4 的倍数，第二类是其它。若某人在取棋时遇到的是第二类情形，那么他可以取 1 或 2 或 3，使得剩下的是第一类情形，若取棋时面临第一类情形，则取棋后留给另一个人的一定是第二类情形。所以，谁先面临第二类情形谁就能获胜，在绝大部分双人比赛问题中，都可采用这种方
25、法。例 8 有一个 80 人的旅游团，其中男 50 人，女 30 人，他们住的旅馆有 11 人、7 人和 5 人的三种房间，男、女分别住不同的房间，他们至少要住多少个房间？分析 为了使得所住房间数最少，安排时应尽量先安排 11 人房间，这样 50 人男的应安排 3 个 11 人间，2 个 5 人间和 1 个 7 人间；30 个女人应安排 1 个 11人间，2 个 7 人间和 1 个 5 人间，共有 10 个房间。 练习 1、十个自然数之和等于 1001，则这十个自然数的最大公约数可能取的最大值是多少？（不包括 0）2、在两条直角边的和一定的情况下，何种直角三角形面积最大，若两直角边的和为 8，
26、则三角形的最大面积为多少？3、5 个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需要的时间分别是 1 分钟、2 分钟、3 分钟、4 分钟和 5 分钟，如果只有一个水龙头适当安排他们的打水顺序，就能够使每个人排队和打水时间的总和最小，那么这个最小值是多少分钟？4、某水池可以用甲、乙两水管注水，单放甲管需 12 小时注满，单放乙管需 24小时注满。若要求 10 小时注满水池，并且甲、乙两管合放的时间尽可能地少，则甲乙两管全放最少需要多少小时？5、有 1995 名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在该公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总
27、和最小？6、甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过 10 的自然数，规则是禁止写黑板上已写过的数的约数，不能完成下一步的为失败者。问：是先写者还是后写者必胜？如何取胜？习题参考答案及思路分析 1、1001=71113，可以 713 为公约数,这样这十个正整数可以是 ,912，它们的最大公约数为 91。2、对于直角三角形而言，在直角边的和一定的情况下，等腰直角三角形的面积最大。若两直角边的和为 8，则三角形的最大面积为 44=8。3、为了使每个人排队和打水时间的总和最小，有两种方法：（1）排队的人尽量少；（2）每次排队的时间尽量少。因此应先让打水快的人打水，才能保证开始排队人多的时候，每个人等待的时间
28、要少，故共需51+42+33+24+5=35（分钟）。4、由于甲、乙单独开放都不可能在 10 小时注满水池，因此必须有时间甲、乙全放。为了使它们合放的时间最少，应尽量开放甲管（速度快），这样甲开 10小时注满水池的，余下 只能由乙注满，需。因此甲乙两管全放最少需要 4 小时。5、此问题我们可以从最简单问题入手，寻找规律，从而解决复杂问题，最后集合地点应在中间地点。6、先写者存在获胜的策略。甲第一步写 6，乙仅可写 4，5，7，8，9，10 中的一个，把它们分成数对（4，5），（8，10），（7，9）。如果乙写数对中的某个数，甲就写数对中的另一个数，则甲必胜。小 学 奥 数 竞 赛 专 题 之
29、列 车 过 桥 问 题竞赛专题选讲囊括了希望杯、华罗庚金杯、走进美妙的数学花园、EMC、全国小学数学联赛和数学解题能力展示等在内的国内主要数学竞赛的精华试题 专题介绍：列车过桥是生活中常见的现象，要正确理解这类问题，首先要懂得从车头上桥到车尾离开桥行驶的路程是多少。如果通过模拟操作，用文具盒代一座大桥，一支铅笔表示一列火车，用笔尖接触文具盒，表示车头上桥，然后将铅笔在文具盒上慢慢向前移动。直到笔尾离开文具盒，即车尾离开桥，可以看出铅笔向前移动的长，等于铅笔的长加文具盒的长，由此推知，列车从车头上桥到车尾离开桥行驶的路程是：桥长车长。环形跑道是学校中常见的，建议学习此讲内容之前，同学们可以先到学
30、校的跑道上模拟练习一下。经典例题例 1、一列长 300 米的火车以每分 1080 米的速度通过一座大桥。从车头开上桥到车尾离开桥一共需 3 分。这座大桥长多少米？例 2、某人步行的速度为每秒 2 米.一列火车从后面开来,超过他用了 10 秒.已知火车长 90 米.求火车的速度。例 3、.在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每 12 分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔 4 分钟相遇一次,问两人各跑一圈需要几分钟？练习题1、一列长 300 米的火车，以每分 1080 米的速度通过一座长为 940 米的在桥，从车头开上桥到车尾离开桥需要多少分钟？2、一列火车通过 53
31、0 米的桥需 40 秒钟，以同样的速度穿过 380 米的山洞需 30秒钟。求这列火车的速度是多少米/秒，全长是多少米？3、铁路沿线的电杆间隔是 40 米，某旅客在运行的火车中，从看到第一根电线杆到看到第 51 根电线杆正好是 2 分钟，火车每小时行多少千米。4、一个人站在铁道旁,听见行近来的火车汽笛声后,再过 57 秒钟火车经过他面前.已知火车汽笛时离他 1360 米;(轨道是笔直的)声速是每秒钟 340 米,求火车的速度?(得数保留整数)一列 450 米长的货车，以每秒 12 米的速度通过一座 570 米长的铁桥，需要几秒钟？5、现有两列火车同时同方向齐头行进，行 12 秒后快车超过慢车。快
32、车每秒行18 米，慢车每秒行 10 米。如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进，则 9 秒后快车超过慢车，求两列火车的车身长。6、李明和张忆在 300 米的环形跑道上练习跑步，李明每秒跑 5 米，张忆每秒跑3 米，两人同时从起跑点出发同向而行，问出发后李明第一次追上张忆时，张忆跑了多少米？6、速度为快、中、慢的三辆汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面一个骑车人，这三辆车分别用 6 分钟、10 分钟、12 分钟追上骑车人，现在知道快车每小时 24 千米，中速车每小时 20 千米，那么慢车每小时行多少千米？（选做题）7、周长为 400 米的圆形跑道上，有相距 100 米的 A、B 两点，甲、乙两人分别从 A、B 两点同时相背而跑，两人相遇后，乙立刻转身与甲同向而跑，当甲跑到A 时，乙恰好跑到 B.如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么追上乙时，甲共跑了多少米（从出发时算起）？（选做题）
