1、1再谈复合函数定义域问题安徽省淮南市第十中学 陈勇 （邮编：232052）发表于贵刊 2013 年第 1 期的文1,第 3 期文2,探讨了复合函数的定义域问题.笔者并不赞同文2的一些观点,特以此文来谈谈笔者对该类问题的认识和看法.对于复合函数定义域问题,主要有两种题型:(1)已知 的定义域,求 的定义域.流行解法 :求出 ( 为xfyxufyAxuy的定义域),且 ( 为 的定义域)时 的取值范围,即为 定义域.xfBfy(2)已知 的定义域, 求 的定义域. 流行解法: 由 的定义域xufyxfy xu得出 的值域,即为 的定义域.xuf笔者认为, 题型(1)的流行解法是正确的.在 2013
2、 年高考中,全国大纲卷理科第 4 题就考查了该题型.而对于题型(2)的流行解法,笔者并不赞同.这也是文 1, 文2争论的焦点所在.为了更好地说明该问题，笔者给出中学数学与大学数学对于复合函数两种不同的定义方式.在中学数学教材里,对于复合函数是这样定义的:一般地,对于两个函数 和tfy,如果通过变量 可以表示成 的函数,那么称这个函数为 和 的复xutyt,xtfxu合函数,记作 .显然这里只是粗略地介绍了复合函数的定义，并没有明确指出xufy定义域与 的定义域间关系.中学教师在解释这两者关系时，一般是这样xfyf处理：把 中的“ ”及 中的“ ”看作是对应法则 作用的对象,同ufxxfyf一对
3、应法则 作用对象的范围相同.即认为 = 的值域就是 的定义域.笔者认为,tuxfy这样解释是完全错误的.我们再看大学教材对复合函数的定义.在大学数学教材里,对于复合函数是这样定义的:一般地,若函数 的定义域为 ,tfU而函数 的定义域为 ,值域为 ,并且 包含在 内,也就是说,函数 的值域xutXUUxu不超过函数 定义域 的范围.那么对于 内的每一个值 ,经过中间变量 ,相应地得到f Xxt唯一确定的一个值 .于是 经过中间变量 而成为 的函数 ,记为 .这种函数称为yt xufy2复合函数.显然在这里明确指出,函数 = 的值域不能超出函数 定义域 .而不是两者txutfU相等.为了使读者更
4、好地理解这个问题，下面看几道例题.例 1 看下表表示的复合函数.abc123 XUYu f此时复合函数 的定义域是 ,函数 的值域是 ,而 的定义域xufybaxu1ufy是 ,显然函数 的值域是 的定义域的子集.31fy例 2 若 ,它的定义域 = .再设 ,此时复合函数为uf2logU,012xu= ,其定义域为 ,这时 的值域是 ,它显然是 的xufy1log2R12xuU子集.再看文1, 文2一道颇有争议的例题例 3 若 ,它的定义域 为 .再设 ,由两者复合uuf4U4,20,xu2而成的函数 = 的定义域为 ,这时 的值域是 ,它显然xxx21x4是 的子集.而文2的作者认为函数
5、的定义域不能取非正数,这显Uuuf42然是错误的.因为根据函数解析式求出的定义域为 ,这一点是无容置疑的.U通过上面的例子说明:已知 的定义域, 并不能唯一确定 的定义域.由xfy xfy的定义域得到函数 的值域只能是 定义域的子集.值得欣慰的是现行xufyuufy教材已淡化了这方面的要求,高中教师也没必要对此内容进行拓展延伸了.参考文献1. 胡如松.几类有关函数定义域J.中学数学教学,2013(1)2. 何业亮 对“几类有关函数定义域”的多处质疑J.中学数学教学,2013(3)3. 陈传璋 数学分析M北京:高等教育出版社,19834. 普通高中课程标准试验教科书（人教 A 版选修 2-2） M.人民教育出版社,2007(作者:陈勇 地址:安徽省淮南第十中学 联系电话:13855402593 邮箱:)
