1、 黑龙江中公教育：http:/ 黑龙江中公教育官方微博:http:/ 省考同余特性浅谈1.同余概念：两个整数 a 和 b，除以一个大于 1 的自然数 m 所得余数相同，就称 a 和 b 对于 m 同余,b 叫做 a 对于 m 的同余数。例 214 余 1，174 余 1，所以 17 和 21 对于 4 同余。注：1、被除数、正余数和负余数对于除数互为同余。2、所有余数属于除数的同一剩余类。如，余-5，-2,1,4，7 都属于3 余 1 这个剩余类。2.同余特性余数的和决定和的余数；（和的余数=余数和的同余余数）例：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23+16=39 除以 5
2、 的余数等 于 4，即两个余数的和 3+1；23，24 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 23+24 除以 5 的余数等于余数和 7，正余数是 2.余数的差决定差的余数；例：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23-16=7 除以 5 的余数等 于 2，即两个余数的差 3-1；16-23 除以 5 的负余数为-2，正余数为 3.余数的积决定积的余数；例：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 2316 除以 5 的余数等于 31=3。余数的幂决定幂的余数。例：今天是星期一，求再过 天是周几？NB20分析：一个 2012 除以 7 余 3，根据余数的积决定
3、积得余数，所以 7 余NB20127953数为 ， = 除以 7 余数是 ； = ，相应余数是 。所2013210691060358235以结果为周三。注：余数特性中的表述要注意为“决定”而不是“等于”，比如 5+5=10，等式的两边同时除以 3，等式左边的余数和为 2+2=4，而等式右边的余数为 1。三、余数性质的应用1、利用同余性质计算周期问题已知某天是星期几，求过若干天（幂次方）是星期几？例 1：老王、老李、老周三人周一同去图书馆，已知老王每 15 天去一次图书馆，老李每 16 天去一次图书馆，老周每 17 天去一次图书馆，那么这三人下次相遇时是周几？解析：由题意会发现我们要寻找下次三人
4、还能同时去图书馆的时间，需要我们去寻找15、16、17 三者的最小公倍数，因为三者互质，即 151617，然后除以 7 找余数，但是这样计算会比较麻烦，所以根据余数的积决定积的余数，黑龙江中公教育：http:/ 黑龙江中公教育官方微博:http:/ 15 除以 7 余 1，16 除以 7 余 2，17 除以 7 余 3，所以151617 的余数为 123=6，所以下次三者相遇的时间为周一往后数六天，即周日。例 2：今天周一，如果再过 、 、 天结果怎样？0901201：根据余数的幂决定幂的余数，因为 2010 除以 7 余 1，所以2091除以 7 的余数决定于幂的余数，即 =12091：根据
5、余数的幂决定幂的余数，因为 2011 除以 7 余 2，所以201 201除以 7 的余数决定于幂的余数，即 = ，因为 8 除以 7 余数为 1，所以 除以 720135 358的余数决定于幂的余数，即 =1。35：根据余数的幂决定幂的余数，因为 2012 除以 7 余 3，所以201 201除以 7 的余数决定于幂的余数，即 ，因为 3 的平方为 9，9 除以 7 余数为 2，2 的三次201方为 8，8 除以 7 余 1，换句话说就是 3 的六次方除以 7 余 1，所以我们只需要去寻找 2011除以 6 的余数就可以了，2011 除以 6 余 1，所以 除以 7 的余数决定于 除以 7
6、的余数，20 13即 3。2、利用同余性质解不定方程例：解不定方程 53.(,)xyxyZ例 1：解不定方程 x+3y=100，x，y 皆为整数A 41 B 42 C 43 D 44解析：C，因为 3y 能够被 3 整除，100 除以 3 余 1，根据余数的和决定和的余数，x 除以 3 必定是余 1 的，所以答案为 C。例 2: 解不定方程 101x+102y=3537，x，y 皆为整数解析：因为 101x 能够被 101 整除，3537 除以 101 余 2，根据余数的和决定和的余数，102y 除以 101 必定是余 2 的，根据余数的积决定积的余数，102 除以 101 余 1，所以 y
7、除以 101 必定是 2 的，所以 y 可取 2、103、204。 。 。代入可得，y=2.3、剩余问题例：一堆苹果三个三个分，还剩一个，四个四个分，还剩一个，这堆苹果至少多少个？黑龙江中公教育：http:/ 黑龙江中公教育官方微博:http:/ 3 余 2，除以 7 余 2，除以 11 余 3，求这个数的最小值。解析：根据余同加余，同时满足除以 3 余 2 和除以 7 余 2 条件的数可表示为21n+2,这个数还应满足除以 11 余 3，所以根据同余特性有 21n 除以 11 余 1，即-10，而 21 除以 11 余-1，那么 n 除以 11 余 10，n 为 10，则所求这个数的最小值为 2110+2=212。
