1、圆幂定理及其应用教学目标1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解决有关问题；2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方法；3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的观点的教育.教学重点和难点相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题是难点.教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题1.根据图 7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容.2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系?提
2、出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程，从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理.(1)如图 7-163，O 的两条弦 AB，CD 相交于点 P，则 PAPBPCPD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例：一是如果圆内的两条弦交于圆心 O，则有 PAPBPCPD圆的半径 R，此时 AB，CD是直径，相交弦定理当然成立.(如图 7-164)二是当 P 点逐渐远离圆心 O，运动到圆上时，点 P 和 B，D 重合，这时 PBPDO，仍然有 PAPBPC PDO，相交弦定理仍然成立 .(图 7-165)(2)点 P 继续运动，运动到圆外时，两弦的延长
3、线交于圆外一点 P，成为两条割线，则有 PAPBPC PD，这就是我们学过的切割线定理的推论(割线定理).(图 7-166)(3)在图 7-166 中，如果将割线 PDC 按箭头所示方向绕 P点旋转，使 C，D 两点在圆上逐渐靠近，以至合为一点 C，割线 PCD 变成切线 PC.这时有PAPB PCPDPC2，这就是我们学过的切割线定理 .(图 7-167)(4)如果割线 PAB 也绕 P 点向外旋转的话，也会成为一条切线 PA.这时应有 PA2PB2，可得 PAPB，这就是我们学过的切线长定理.(图 7-168)至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和切线
4、长定理之间有着密切的联系.3.启发学生理解定理的实质.经过一定点 P 作圆的弦或割线或切线，如图 7-169.观察图 7-169，可以得出：(设O 半径为 R)在图(1)中，PAPBPCPDPEPF(R-OP)(R+OP)R2-OP2；在图(2)中，PAPBPT 2OP 2-OT2OP 2-R2在图(3)中，PAPBPC PD PT2OP 2-R2.教师指出，由于 PAPB 均等于OP 2-R2，为一常数，叫做点 P 关于O 的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理.二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行)例 1 如图 7-170，两个以 O 为圆心的同心
5、圆，AB 切大圆于 B，AC 切小圆于 C，交大圆于 D，E，AB12，AO15，AD8，求两圆的半径.分析：结合图形和已知条件，根据勾股定理容易求出大圆的半径 OB.求 OC 也可考虑用上述方法，但 AC 未知，此时则可根据切割线定理先求出 AE，再利用垂径定理便可求出AC，于是问题得解.(由学生讨论、分析，得出解决)例 2 如图 7-171，在以 O 为圆心的两个同心圆中，A，B 是大圆上任意两点，过 A，B 作小圆的割线 AXY 和 BPQ.求证：AXAY=BP BQ分析：在平面几何比较复杂的图形中，往往都是由几个简单的图形组合而成的.但本题不直接含有这样的图形，我们应考虑通过添加适当的
6、辅助线来构造出这样的图形，以此为出发点，师生共同探索，得出以下几种不同的辅助线的添法.方法 1 在图 7-172 中，过点 A，B 分别作小圆的切线 AC，BD，C，D 为切点.这时就出现了切割线定理的基本图形，于是有AC2AXAY，BD2BPBQ.再连结 CO，AO，DO，BO，易证 RtAOCRtBOD，得出 ACBD所以 AXAYBP BQ.方法 2 在图 7-173 中，作直线 XP 交大圆于 E，F，分别延长 AY，BQ，交大圆于 C，D.这样就出现了相交弦定理的基本图形.于是有AXXCEX XF，BPPDFPPE.易证 AXCY，BPDQ，EXFP.所以 AXXCAX AY，BP
7、PDBPBQ，EX XFFPPE.所以 AXAYBP BQ.方法 3 如图 7-174，由于点 O 是圆内的特殊点，考虑过 O 点的特殊割线，作直线 AO交小圆于 E，F，作直线 BO 交小圆于 C，D，则出现了割线定理的基本图形.于是有AXAYAE AF，BPBQBCBD.易证 AEBC，AFBD，所以 AEAFBC BD.从而 AXAYBP BQ.通过对以上方法的分析，将“和圆有关的比例线段” 这一节的几个定理紧密结合起来，沟通了知识间的联系，最后可启发学生联想基本图形，思考还有哪些辅助线的作法来证明此题?三、练习练习 1 已知 P 为O 外一点，OP 与O 交于点 A，割线 PBC 与O
8、交于点 B，C，且 PBBC.如果 OA7，PA2，求 PC 的长.练习 2 如图 7-175，O 和O 都经过点 A 和 B，PQ 切O 于 P，交O于 Q，M ，交 AB 的延长线于 N.求证：PN2NM NQ.四、小结用投影重新打出圆幂定理的基本图形(如图 7-176)，让学生观察并说出相应的定理.教师指出：以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的.五、习题1、求证：相交两圆的公共弦的延长线上任一点到两圆所作的切线长相等。已知：如图 5，O 1和O 2相交于点 A、B，P 为 BA 延长线上任意一点，且 PC、PD 与O 1和O 2分别切于 C、D 两点。求证：PC=PD。2、
9、如图 6，过点 P 作O 的切线 PA，A 为切点，过 PA 中点 B 作割线交O 于 C、D，连结PC 并延长交O 于 E，连结 PD，交O 于 F。求证：EFPA。3、如图 7，已知 PBD 是O 的割线，PA、PC 是O 的切线，A、C 为切点，求证：（1）PAAB=PBAD；（2） ；（3）ADBC=ABDC。提示：（1）要证 PAAB=PBAD，只要证得 就可以了。而PA、AD、PB、AB 分别是PAD 和PBA 的两条边，因此只根证得这两个三角形相似即可。显然APD=BPA，ADP=BAP，因此PADPBA。（2）由问题（1）可知 ，因此要证 ，只需证 。而 PA2=PBPD，故有 。（3）要证 ADBC=ABDC，只需证得 即可。由问题（1）可知，类似问题（1）可证得 。因 PA=PC，故 。因此有 。
