1、初中数学竞赛题典数的整除题 l 所有四位数中，有（）个数能同时被入 3，5，7 和 11 整除？（A）l（B）2（C）3（D ）4题 2 设 n 是 100 到 200 之间的自然数，则满足 7n2 是 5 的倍数的。共有（）个题 3 一个六位数 能被 12 整除，这样的六位数共有多少个19ab（A）4 （B） （C）8（D）12题 4 已知 7241 可被 40 至 50 之间的两个整数整除，这两个整数是（） ，题 6 n 是一个两位数，它的数码之和为 a当 n 分别乘以 3，5，79 以后得到 4 个乘积如果其每一个积的数码之和仍为 a，那么，这样的两位数 n 有（） 题 8 设某个 n
2、位正整数的 n 个数宇是 1，2，n 的一个排列，如果它的前 k 个数字所组成的整数能被 k 整除，其中 k1，2，n，那么就这个 n 位数为一个“好数” 例如，321 就是一个三位“好数” ，因为 1 整除 3，2 整除 32，3 整除 321那么六位“好数”的个数为（） 题 9 能被 11 整除的最小的九位数是题 12 在自然数 1，2，3，1990，1991 中不能披 7 整除的数有（）个题 13 将自然数 N 接写在任意一个自然数的右面（例如，将 2 接写在 35 的右面得 352） ，如果得到的新数都能被 N 整除，那么 N 称为魔术数，在小于 l30 的自然数中，魔术数的个数为（）
3、 题 14 在所有的五位数中，各位数字之和等于 43 且能被 11 整除的数是（） 。题 15 定义：如果 n 个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两数的积能被这两数的和整除那么，叫这组数为 n 个数的祖冲之数组。例如：60，120，180 这三个数就构成一个三个数的祖冲之数组， （因（60120）（60120） ， （60180）（60180） ，（120180）（120180）都是整数） 请你写出一组四个数的祖冲之数组题 16 设 a、b、c 为整数，且 ab 和 ab 均可被 c 整除，求怔：a 3b 3 可被 c2 整除题 17 设 a、b、c 为正整数，求证：a 3（bc）b 3（
4、ca）c 3（ab）可被 abc 整除题 19 一个魔方是由自然数组成的正方形网格。它有如下性质：每一行，每一列及两条对角线上的数的和都相同，这个值称为魔方和。求证：每一个 33 大小的魔方的魔方和都能被 3 整除。题 20 求证：如果两个不可约分数的和是整数，那么这两个分数的分母相同。题 21 设 a 和 b 为自然数，使得 a2ab 1 可被 b2ba1 整除，求证：a b。题 22 自然数 a、b、c 、d 都可以被 abcd 整除，其中 abcd0。求证：abcd1。题 23 使求出所有这样的自然数 n，使得 n33 可被 n3 整除。题 26 圆上有 9 个数码，已知从某一位起把这些
5、数码按顺时针方向记下，得到一个 9 位数并且能被 27 整除。求证：如果从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话，那么所得的一个 9 位数也能被 27 整除。题 27 任意给定一个自然数 A，把 A 的各位数字按逆序写出来，形成一个新的自然数A。试证：AA是 9 的倍数。题 28 设 n 是正奇数，试证：1 n2 n9 n3（1 n6 n8 n）能被 18 整除。题 29 求证： 被 1001 整除。201L43个题 30 求证：7|（2222 5555 55552222） 。题 31 求证：对任何自然数，数（2 n1） n3 都可被 2n3 整除。题 33 给定自然数 a，b 和 n，已知
6、对任何自然数 k（k0） ，数 ak n 能被 bk 整除，证明：ab n。题 34 设 k 为正奇数，证明 12n 整除（1 k2 kn k） 。题 35 求证：467|512 3675 3720 3。题 36 已知最简分数 可以表示成 。试证：分子 m 是质数mn112392nL1993 的倍数。题 37 设 p 与 q 是自然数，满足 。求证：p 可被质数1123839pqL1979 整除。题 38 设 p 为奇质数，求证： 的分子 a 是 p 的倍数。1123pbL题 39 给定 ，其中 是不可约分数，试证：m 能被 5 整除。1230mnLn题 40 试证：将和 写成一个最简分数 时
7、，m 不会是 5 的倍数。12340Ln题 41 设 n 是正偶数，求证：（2 n1）不整除（3 n1） 。题 42 试证：对每一个自然数 n，数 119972 1997n 1997 不能被 n2 整除。题 46 一个自然数 a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数 b，如果 a 恰是 b 的 3 被，我们称 a 是一个“希望数” 。（1）请举例说明：“希望数”一定存在。（2）请证明：如果 a，b 都是“希望数” ，则一定有 729|ab。题 47 求证：对任何自然数 n，都有 120|n55n 34n。题 48 求证：n（n 21） （n 25n26）可以被 120 整除。题 49 试证：n
8、 2（n 21） （n 24）可以被 360 整除。题 50 设 n 是任意自然数，求证： 是整数。3751n题 51 若干个整数的和能被 6 整除，求证：这些数的立方和也能被 6 整除。题 52 今有 6 根金属棒，每根的长度都是 1m，能否将它们锯成 10 根 27cm 长、12 根15cm 长和 25 根 6cm 长的短棒？（锯棒时的损耗可忽略不计）题 53 柯楼南契大蛇有 1000 个头。神话中的大力士能一次用剑看去 1，17，21 或 33 个头，但是大蛇又相应地生出 10，14，0 或 48 个头。问大力士能战胜柯楼南契大蛇吗？题 54 一天我发现了如下的魔术钱币机：如果我放入一枚
9、一分的硬币，出来一枚 5 分硬币和一枚一角硬币；如果我放进一枚 5 分硬币，机器给出四角硬币，而如果我放如一枚一角硬币，我取回 3 枚一分的硬币我用一枚一分的硬币开始，反复进行以上过程，能出现我刚好有一美元硬币的机会吗？验证答案题 55 是否存在两个不等于 0 的整数 a 和 b，其中之一可被它们的和整除，另一个可被它们的差整除？题 56 一个凸 n 边形被划分成黑、白两色的若干个三角形，使得任意两个三角形要么有公共的边（这时它们染不同颜色） ，要么有公共顶点，要么没有公共顶点。而多边形的每条边都是某个黑色三角形的边。证明：3|n。题 57 求证：不存在整数 a、b、c、d，使当 x19 时，ax 3bx 2cxd1，以及当x62 时，ax 3bx 2cx d2。题 58 公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前三个数字之和等于后三个数字之和，刚称这张车票是幸运的试证：所有幸运车票号码的和能被 13 整除，题 59 某商场向顾客发放 9999 张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从 0001到 9999 号如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”例如号码 0734，因 0734，所以这个号码的购物券是幸运券试证：这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被 101 整除
