1、数学奥林匹克高中训练题（57）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1(训练题57)若 是 上的减函数，且 图像经过点 和点 ，则不等式()fxR()fx(0,3)A(,1)B的解集为(D)2fx(A) (B) (C) (D) (,3(,2)(,)(,2)2(训练题57)若函数 的图像关于直线 对称，则 的值等于)sincos2fxaxx8xa(C)(A) 或 (B) 或 (C) 或 (D) 或211123(训练题57)设椭圆的方程为 为短轴的一个端点， 为椭圆上相异两点，2,(0)3xyA,MN若总存在以 为底边的等腰 ，则直线 的斜率 的取值范围是(C) MNNMk(A) (B)
2、(C) (D)(1,0,1(1,)1,4(训练题57) 是定义在 上的函数，且对任意的 满足 已知当)fxRx()ffx时， 那么，当 时， 的表达式为(C)2,3x(2,0x()f(A) (B)4fx 4,(2,10xf(C) (D),(2,1()30f ,(,()31fx5(训练题57)已知 是边长为的正方体， 为线段 上的动点， 为底面1ABCDPABQ上动点则 的最小值为(A)ABCPQ(A) (B) (C) (D) 21321526(训练题57)已知在数列 中， 为前 项的和，且满足 则 的na1,nS(,)nSa na表达式为(D)(A) (B) (C) (D) 1(2)n1(3)
3、n1(4)2n2(1)n二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1(训练题57)在 中， 于 ，且 则 的最大值为 ABCD3ADBCABC32(训练题57)已知函数 的反函数图像关于点 成中心对称则实数 的值 3 1axy(1,4)a3(训练题57)集合 ，当 时， 的取值22|4(),|2AxxaxAB范围为 1a4(训练题57)已知线段 平面 ，且到平面 的距离等于，点 是平面 内的一动点，且满/D足 若 ，则点 与 距离的最小值为 17 0AB2B5(训练题57)已知多项式 整除多项式 则实数 3 ， 1x541axbab56(训练题57)设 ，其中 表示不超过 的最大整数。则2320
4、S nn值等于 242 三、(训练题57)( 本题满分20分 )已知 的三内角平分线分别为 若向量ABC11,ABC满足关系 ，试证： 为正三角形 11,ABC110四、(训练题57)( 本题满分20分 )已知数列 表示其前 项和若满足关系 ，,naSn231nSan求数列 的通项公式 的表达式( )nana2nn五、(训练题57)( 本题满分20分 )已知椭圆的半长轴为 ，半短轴为 ，短轴的一个端点为 ， 为bO,PQ椭圆上异于点 的任意两点， 若点 在线段 上的身影为 ，试求点 的轨迹OPOQPQM第二试一、(训练题57)( 本题满分50分 )如图，已知在 中，RtABC为斜边 的中点， 为斜边,90,oACBH上的高，延长 到 ，使得 为中线HD,FAGEFH ODCB上任意一点，过 作 的延长线于 ，连结 交 于 求证： COBEAFEDBCGF二、(训练题57)( 本题满分50分 )设 求函数 的值域其中 表示0x1()xfxx不超过 的最大整数x三、(训练题57)( 本题满分50分 )圆周上分布着 个点，现将它们任意地染成白色或黑色，如果从某2一点开始，依任一方向绕圆周运动到任一点，所经过的（包括该点本身白点总数恒大于黑点总数，则称该点为好点为确保圆周上至少有一个好点试求所染黑点数目的最大值
