1、1目 录一 引言1二从概念与性质中挖掘隐含条件1（一）严格查看概念与性质，从概念与性质中去挖掘隐含条件 1三从类比中去挖掘隐含条件 2（一）仔细分析已知条件，从类比中挖掘隐含条件 2（二）利用“降维思想”将空间问题转化为平面问题，从类比中挖掘隐含条件 2四从推理中挖掘隐含条件 3（一）严格审视求证结论，从推理中挖掘隐含条件 3（二）联系数列方程与韦达定理，从推理中去挖掘隐含条件 3五从题目的结构特征中挖掘隐含条件 4（一）从题目中挖掘数学公式4（二）从题目中挖掘几何图形4六从联想中挖掘隐含条件5 （一）类比联想数量关系，从认知动因与方法中挖掘隐含条件 6（二）联想数列方程，从抽象函数中挖掘隐含
2、条件 6七从联系中挖掘隐含条件 7（一）联想中审视已知条件，从联系中挖掘隐含条件 7 （二）仔细分析条件，从联系中挖掘隐含条件 7 八从数形结合中挖掘隐含条件 7（一）仔细分析已知条件，从图形特征中挖掘隐含条件 7（二）利用转化思想，从图形特征中挖掘隐含条件 8九结束语 9十参考文献 102引 言随着近几年高考数学难度的增大，减轻了计算难度，加大了对思维能力的考查。许多数学试题看起来很常见，但做起来却非常困难，原因这几年的高考题所给题的信息比较隐晦，有隐含条件，这是高考数学成绩低的一个重要原因之一。因此，为了提高高考学子的挖掘隐含条件的能力，使他们在较短的时间内提高数学解题的能力，提高他们的数
3、学成绩本文拟从概念与性质中，从类比中，从推理中，从题目的结构特征中，从联想中，从联系中，从数形结合中七个方面去挖掘隐含条件。隐含条件是指数学问题中那些若明若暗,含而不露的已知条件,或者从题设中不断挖掘并利用条件进行推理和变形而从新发现的条件.它的表现形式主要包括:(1)问题中的字母,变量或关系式所隐含的制约条件和取值范围;(2)问题中的字母,变量或关系式所隐含的几何图形的特征和位置关系;(3)问题所涉及的基本概念,它所属对象的性质;(4)问题所适合的数学模型或公式,定理,法则;(5)生产,生活的实际问题中所讨论的变量的适用范围及相互间满足的关系.一 从概念与性质中挖掘隐含条件（一）严格查看定义
4、，从概念与性质中挖掘隐含条件定义与性质是数学解题（证明）的出发点，虽然这是浅层次的隐含条件，但不注意也会变成深层次的隐蔽条件，如一元二次方程的二次项系数不为零，指数函数的底数是非 1正数等。例 1 无穷数列 中，na时，则此数列的各项和为 21/26，证明这个命题。11(),3,nnnnakn挖掘隐含条件的分析：首先，数列通项是一个分段函数，这是隐含条件，其次，数列是一个以自然数为自变量的函数，它的值域也是由自然数组成的分数，当 n=3k-1 时，即n 被 3 除不足 1 时，换句话说，n 被 3 除余 2 时，由 表出，否则， 时，13n31nk3即被 3 除余数不为 2 时，数列用 表出，
5、第三，揭示这“无穷递缩等比数列”的关键 13n是把数列揭示出来： 01245671(),(),(),(),3从定义和性质中，挖掘隐含条件得出三个首项不同，而公比相同的三个“无穷递缩等比数列”（1） 0361(),(), （2） 147, （3） 258(),(),3 061471 2258312317,()()39,()()67162SSS 二 从类比中挖掘隐含条件（一）仔细分析已知条件，从类比中挖掘隐含条件从相似比较中挖掘隐含条件的实质是类比，是一种铺垫激活策略。例 2 已知 ,且 ,求证:,abcR1abc2213abc证明:设 , , ,则13t2t3t10t= =22 2()()()2
6、23123()ttt= 123tt这是高中学习阶段的一个重要的题型，本题提供了一个很好的解法，循环增量换元法。例题如下：已知 m，n，k 均大于 1，求证：222logllog.mnk nk如果被比较的两道题中，前者是认知者已经掌握的知识，后者是认知者目前还不会证明的，在两个中仔细观察分析中，发现隐含条 件是4，这样这题的解法就被激活了。上述两题的条件一样，要证明logllog1mnkkmn的结论也一样，只不过第二个看起来形式复杂一些，但它们本质上是一样的。（二） 利用降维思想将空间问题转化为平面问题，从类比中挖掘隐含条件例 3 求证：正四面体内任意一点到各个面的距离之和为定值证明：如图 1，
7、将正四面体与正三角形类比：正三角形内任意一点到各个边的距离之和为定值（等于此三角形的高） ，只须用平积法即可得到结论，那么我们只须用体积法来处理本例。设四面体 A-BCD 内一点 到各个面的距离分别是 ， 点与四个面构成了四O1234,hO个小四面体，则它们的体积之和等于原四面体的体积，即其中 为四个三角12341234,VVhss1234SS形的面积，则为定值。 （h 为正四面体的高）12341234(),3Shh“降维思想”是一重要的类比的方法，空间中的许多问题都可以用这一类比方法去解决。三 从推理中挖掘隐含条件（一） 严格审视求证结论，从推理中挖掘隐含条件根据手段目的分析的策略，解题的实
8、质是消除或缩小当前状态与目标状态的差异，并运用数学知识与方法来缩小这种差异，直到问题解决。例 4 在三角形 ABC 中，求证： 2221ABCtgttg由此题的结构特征我们想到了“交叉不等式” ，要想证明上述结论成立，不妨看一看是否大于或等于 1。这样或许能消除已知条件与求证之间22ABCtgtgt的差异，这是推理中所需要解决的问题，事实上， 12()22BCtgtgctgABCAtttOADBC图 1图5这是由推理所得出的隐含条件，它的发现把已知和求证之间的差异彻底消除了。所以命题得证。实际上，推理的过程中也需要我们观察题目特征，联想有关的数学公式，这样或许能够帮助缩短已知、求证之间的差异，
9、进而使推理有效的进行。（二）联系数列方程与韦达定理，从抽象函数中挖掘隐含条件有的数列方程与降标方程一起，表明数列的两个项是二次方程之两根，于是根据韦达定理而得一可解型方程。例 5 数列 满足 求其通项。na201,541,nnaa解：去根号化为： 22110*nnn 降标得： 221100nnaa也就是： 2211*nnn *与*式表明 与 是方程 的两个根。这是该题的隐含条1na2210(1)0nxa件，利用它将该题转化为较简单的数列问题。于是由韦达定理有： 10nn特征方程： 2,526yy1nnnacc注意到 ，有：20041a122120, 6565,444nnnccca本题隐含条件的
10、挖掘不仅需要学习者有丰富的数列方程知识，而且还需要观察能力。四 从题目的结构特征中挖掘隐含条件解题时，如果题设中隐含着与某些数学概念、公式具有类似结构的数式或图形信息，6则应抓住结构特征，挖掘隐含条件，用构造的方法转化研究对象，使问题顺利解决。（一）从题目中挖掘所应用的数学公式例 6 求函数 的值域。3241xy分析：分子，分母为 x 的高次幂且上下又无公因式，无法直接进行解答。但是，注意到分母可以分解为 ，分子可以分解为 ，即221x。联想到三角中万能公式，令 ，则324211xxy xtg所以sincosin4,1,4y本题的函数表达式中隐含着数学公式，能挖掘出来这一条件可使问题顺利解决。
11、（二）从题目中挖掘所应用的几何模型例 7 已知锐角 满足 ，求,222coscos1证： 。3tgt分析：直接用三角方法来证颇感棘手，若由条件联想到立体几何中长方体对角线的性质则茅塞顿开。证明：构造长，宽，高分别为 的长方体 ，如图 2，使其对角线,abc1ABCD与棱 ， 的夹角分别为 ，显然 ，且1AC,BD1A,22coscos1则 = + +222,bccabtgtgtgabctgt2ba2a=2c()()()()2acbb(2)32当且仅当 a=b=c 时取等号，即 时结论成立。此题也体现了数形结合思想，题目的结构特征隐藏着数学模型。利用数形结合这一转化方法把问题的难度降低了，这有利
12、于培养思维的独创性。五从联想中挖掘隐含条件（一）类比联想数量关系，从认知动因与方法中挖掘隐含条件在数学教学中，既有激活认知动因的策略，还有激活认知内容与方法的策略。前者靠联1D图 2A1CB图7想，后者靠类比。解题过程既是联想过程，又是类比过程。例 8 一个等比数列的前 n 项和是 48，前 2n 项的和是 60，则前 3n 项的和是多少？挖掘隐含条件的分析：读者根据认知动因的激活策略，联想到等差数列的类似题，必须分清前 n 项，次 n 项与后 n 项是与题设中的前 n 项，前 2n 项与前 3n 项是完全不同的概念，为了挖掘隐含条件，解题经验说明一个等差数列的前 n 项之和，次 n 项之和与
13、后 n项之和也同样成等差数列，试问此题中等比数列的前 n 项之和，次 n 项之和与后 n 项之和是否也成等比数列呢？这即可以证明，又可以用特殊激活一般的策略，设2，4，8，16，32，64 成等比数列，前 2 项的和是 6，次 2 项的和是 24，后 2 项的和是96，同样也成等比数列，其公比是 4（原公比是 2） 。再回到本例题，它可以转化成一个等比数列的前 n 项之和是 48，次 n 项之和是 12 即（60-48=12） ，设前 3n 项的和是 S，后n 项之和是 S-60，求 S=？依等比数列的定义有比利式 12/48=（S-60）/12，得出 S=63。（二）联想数列方程，从抽象函数
14、中挖掘隐含条件例 9 设 并记 （共 n 重 f） ，试求 的2(),1xfxffx nf（ （ （ （ ） ） ） ） 1986()fx解析式。解：解这类题一般利用 来建立数列方程。1()nnfxf=1()nnfxf2()nf于是有 2211()()nnfxf可见 是等差数列，公差为 1，2()nf这是一个隐含条件，它把函数方程转化为数列方程，而这是一等差数列方程容易得到解决，此种方法的关键是要掌握好等差数列的知识。 221()1()nnfxf注意到 =21()f22xf821986()1986nxff六从联系中挖掘隐含条件（一）联想中审视已知条件，从联系中挖掘隐含条件当单独、孤立地审视已知
15、条件已经达到“山穷水复疑无路时，联系审视几个已知条件，就可能出现柳岸花明又一村的新境界” ，从而挖掘隐含条件。例 10 在锐角三角形中， 成等差数列，若 f（ ）= ，试,tgABtCcos2As()BCA求函数 f（ ）的表达式。x挖掘隐含条件的分析：一方面有第一个已知条件得出 ，另一方面由诱1()tgBtg导公式得出 由以上两方面结合得出 =()1tgAtgBtC1AtC，推出隐含条件 因为 = = -21tACt3.tgCcos()Bcos(2)A=cos2223/9,tgctgt这样，第二个已知条件转化为21()9tgtfC用变量替换法求函数的表达式：令 =X21tgC21xt9(1)
16、/54()xxf本题将几个已知条件一起进行推理，将所得的信息取交集，进而得到新的已知条件。（二）仔细分析条件，从条件中挖掘隐含条件例 11 已知 a，b ，且 ，试证，对于每一个 n ，R1abN成立。 （1998 年全国高中数学联赛题）2nnn证明：由 可推得：1ab所以由（1） （2） （3）()4213 得：9 ONGAPFEDCB图 4图= =nnab1nnabab123 231nb = 123nnn = =12abab ()1n21n在证明过程中，挖掘出上述的三个隐含条件，巧妙分解出 ，使问题迎韧1ab而解。七从数形结合中挖掘隐含条件（一）仔细分析条件，从图形特征上挖掘隐含条件有些数
17、学问题，其部分条件隐于图形之中，若能抓住图形的特征，利用运动变换的观点，恰当地添设辅助图形，可能就会发现含而未漏的条件，使问题获解。例 12 在平面上有两点 A（-1，0） ，B（1，0） ，在圆 上取一点2234xyP，求使 取最小值时点 P 的坐标。2ABP分析：本题的一般解法是列出目标函数 ，然后再求2yAP最小值，过程繁且易出错。如图 3，并结合三角形的中线性质，便可得 。所以当 OP 达到最小值时，222O也达到最小值。易知点 O 与圆心（3，4）的连线与圆的APB交点即为所求点 P 的坐标。所以联立以下方程得到：消元得到下列一元二次方程2243()()4yx由于 不符合题意。129
18、509 ,5xx215x所以 P 点的坐标为 ()（二）利用转化思想，从图形中挖掘隐含条件例 13 已知正方形 ABCD，边长为 4，E，F 分别是 AB，AD 的.PCOABx图 3图10中点， 平面 ABCD 且 GC=2，求 B 点到平面 EFG 的距离。GC分析：如图 4 平面 EFG，所以 B 点到/,/EFBD平面 EFG 的距离等于正方形 ABCD 的中心 O 到平面 EFG的距离，故可以将 B 点处的面垂线平移到 0 点处。这是一隐含条件，由题中给的数据很难解答本题。但观察图形发现上述隐含条件，这种想法是利用平移的思想将空间图形集中到一个平面内。所以过点 O 作 ON 平面 E
19、FG，易知 AC 与 EF 的交点 P 是 EF 的中点，且 EF 平面 PCG，所以 N 点一定落在 PG 上，直角三角形 PCG 中，PC=，在直角三角形 ONP 中，ON=PO3 22,2,sin4 1ACGPGPC，即 B 点到平面 EFG 的距离为 。1sinON八 、结 束 语以上几种挖掘隐含条件的方法互相联系，即可以从条件中去挖掘，又可以从结论中去挖掘，还可以从概念与性质中去挖掘，更可以从类比联想中去猜测，从题目的结构特征中去联系，甚至于从数形结合中去观察、推理。同时，挖掘隐含条件的过程既是提高数学解题能力的过程，又是发展智力、进行数学素质教育的过程。一道数学题隐含条件的多少也是
20、衡量数学题难度的标准之一，只要隐含条件挖掘出来了，数学题的激活将马到成功。因此，挖掘隐含条件是解数学题的关键。望广大师生从中得到一点启发，有意识的去挖掘隐含条件，提高数学解题的能力。11参考文献1傅世球，高中数学解题中隐含条件的挖掘，数学通讯，2005 年第 9 期，42-442姚荣蜂，浅谈数学解题中隐含条件的挖掘，数学教学研究，2003 年第 7 期，31-323张家瑞，立体几何 问题 方法 思想，气象出版社，2001 年第 1 版，197-1984宇永仁，中学数学解题技巧，辽宁人民出版社，1994 年版，206-2305王志，浅谈隐含条件的思维价值，数学通报，2003 年第 8 期，12-146张同君，陈传理等，竞赛数学解题研究，北京：高等教育出版社，2000 年，55-637李明振，数学方法与解题研究（第二版） ，上海科技教育出版社，2002 年，24-268王佩其，挖掘隐含条件提高解题质量，第二课堂（高中版） ，2005 年第 11 期，31-329DANIEL.ZWILLINGER，Expression of Numbers、Signs 、Equatitions and Graphs in English，Beijing、Shanghai、Guangzhou：CRCpress ，1996 ：297
