1、浅谈初等函数在高中数学中的重要性赣榆智贤中学 刘国芳 内容摘要：中学代数里讨论的常值函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，都是基本的初等函数，其中常值函数最为简单一般不做讨论其余四种函数在中学代数中占有重要的地。初等函数是中学代数的核心内容，也是学习高等函数的必要基础。关键词：初等函数；幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；定义1 引言在近代社会里变化的量相互间依赖关系成为研究的重要方面，反映到数学里就产生了变量和函数的概念。在科学史上，首先要研究变量间的相互依赖关系的就是伽利略，在他的名著西门新科学里几乎从头到尾渗透着函数的概念，在伽利略的著作中，还多处使用了比例的语言表达函数之间的关
2、系，其后经过笛卡儿，格雷果里等人的工作变量概念逐渐形成，现在通用的函数概念一词由莱布尼兹首先使用，在函数概念发展史上，瑞士数学家欧拉做出了巨大贡献，在他的著作中，多次刻画了函数概念，今日通行的函数符号和函数分类也归类于欧拉，欧拉首先使用 f(x)表示 x 函数，并使用了 和 等作为角 x 的三角函数sin,coxtan简化记号，他还用小写的拉丁字母 表示三角形的边，用大写的 表示它们所对,ab,ABC的角并引入弧度制和著名的欧拉公式 ，从而把指数函数和三角函数沟通起开，欧拉对不同类型的函数做精确的分类，他把函数分为有理函数和无理函数，有理函数又进一步分为有理整数函数和有理分数函数此外欧拉还给出
3、了隐函数及函数的单值与多值概念。初等函数是中学代数的核心内容，也是学习高等函数的必要基础，早在 20 世纪 50 年代，中学代数学就有一函数为纲领的提法，1978 年以来，我国中学课本的内容大幅度更新，成为体现数学教材改革精神的重点课程之一。中学代数里讨论的常值函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，都是基本的初等函数，其中常值函数最为简单一般不做讨论其余四种函数在中学代数中占有重要的地位，分析历年高考卷第一大题解答题中，必有一道是关于三角函数的题，另一道则是判断函数奇偶性和函数单调性或是求函数定义域和值域的题，而这两道题一般要占到 20 到 30分左右，占卷面分的七分之一，由此可见探讨初
4、等函数的教法势在必行。2.1 指数函数教学探讨指数函数是学生进入高中后遇到的第一个系统研究的函数，通过学习指数函数既可以对指数函数的概念等知识进一步的巩固和深化，又可以为今后进一步学习对数函数尤其利用互为反函数的图像间的关系来研究对数函数的性质打下坚实的图像和概念基础，所以学好指数函数很重要。指数函数的知识与我们日常生产，生活和科学研究都有着紧密的联系，尤其体现细胞分裂、复制和计算方面，因此学习这方面的知识还有广泛的现实意义，本节课内容的特点之一是概念性强，特点二是凸显了数学图形在函数性质的重要作用，学习本节内容学生必须要掌握好指数函数概念、指数函数的性质和指数函数的图像。教师在授课过程中要向
5、学生渗透数形结合的基本数学思想方法，培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳的能力。在教法设计上，第一、创新问题情境，通过课本上的引例指数函数调动学生的学习兴趣，激发学生探究心里，顺利引入课题。第二、强化指数函数的概念，引导学生结合指数的有关概念来归纳出指数函数的形式特点，请学生思考对底数 a 的范围是否需要限制，如果不限制会有什么问题出现，这样就避免学生对底数 a 的范围分类不清楚，也为研究指数函数的图像做了分类讨论的铺垫。第三、突出图像的作用，数学学习的过程中图像始终是我们需要借助的重要辅助手段，一位数学家曾经说过数离形时少直观，形离数时难入微。而研究指数函数的性质时更是直接有图像观察的出性质
6、，因此图像发挥了重要的作用，第四，要注意数学与生活和实践的重要联系。数学本生源于生活，服务于实践。在课堂教学的引入、例题的讲解和课外知识的拓展部分，都介绍了与指数函数息息相关的生活问题，力图使学生了解数学的基础学科作用，培养学生的数学应用意识。2.2 对数函数教学探讨对数函数是六类基本的初等函数之一，是函数部分的重点内容，具有广阔的用途是研究一些复杂函数的基础，对数函数也是经常用到的计算工具，因此学好对数函数对整个函数部分的学习有着重要的意义。在对数函数的学习中，学生必须要掌握好对数函数的概念，对数函数的性质，特别是对数函数的单调性，掌握比较同底数对数值和不同底数对数值大小的方发。在教学过程中
7、先复习提问，首先回忆指数式与对数式的等价关系：当 a0 且 a不等于 0 时有 ab=N 等价于 b= ab,利用等价关系把下列两个指数式化为对数式：(1)2 3=8log化为对数式为 3= 28 (2) 化为对数式 其中(2)题的解题步骤就是求l2xy2logyx的反函数的第一步，为求反函数搭好台阶，然后求指数函数 的反函数得到2xy 2xyy。这样导入新课，即复习了旧知识，又为后面新知识的介绍铺好路，搭好桥。log接着，推广到一般情况，求指数函数 （ao 且 a 1）的反函数，从而引入了对数函xy数的概念，对数函数与指数函数关系比较抽象如果一下提出来，学生很难理解，若从一个具体指数函数的反
8、函数过渡到求任意指数函数的反函数则可以突破难点，使学生对知识循序渐进，由浅入深，指数函数和对数函数也在指数式与对数式中得到统一这样介绍对数函数的概念有利于新旧知识之间的内在联系， 收到水到渠成之效。数学中的性质是由特殊到一般认识,对数函数的性质也是由特殊到一般去认识，所以应从例题出发，指导学生讨论，探索，例如讨论对数函数 = 2x = 3x = 1/2x 的yloglylog性质，并设置以下问题(1) 在什么范围内取值？(2) 在什么范围内取值？(3) 当 逐渐增大x时， 的值是怎样变化的？让学生参与知识的变化中，在对这三个对数函数的性质逐一探y讨时，抽象的知识变得具体，形象生动，促进学生思维
9、能力的发展和理解能力的提高。分析了三个对数函数后，给出一个或一个以上的对数函数，如 = 1/3x ylog让学生推测：该函数的性质与例题中的那个函数一样？这样设计有利于学生logyx的类比猜想能力，也使学生对该知识点有更直观的认识，通过恰时对学生引导，让学生总结这些函数的共同点和不同点，从而体验到通过自己思考获取知识的快乐，也突破了本节的难点：对数函数的性质与底数 a 的关系。最后由教师过渡到一般情况，归纳对数函数的性质，便于学生记住该知识。对于比较两个同底数对数值大小关键是底数的范围，若对底数不加分析，只是一味的比较真数大小，往往易成错误，由对数函数的单调性可知：当a1 时真数越大函数值越大
10、，当 时真数越大函数值越小。掌握好比较同底数值大01小的方法，再深入挖掘，比较不同底数值的大小，可分为两种情况：一是底数不同，真数相同。如 0.50.3， 0.40.3 引入学生利用换底公式间接的比较；二是底数不同，真数相同logl如 67， 77 引导学生的类比指数函数中比较不同底数幂大小的方法，找中间变量，总结解题要点可以知识系统化遇到同类题型时缩短解题时间，同时也加深了学生对解题的理解程度，提高能力。在布置习题时要分难度层次，便于因材施教，可避免学生解题盲目性，使知识系统化，大大提高学生分析问题和解决问题的能力。2.3 幂函数教学探讨幂函数着部分的内容在大多数教师的教学实践中，都感到有一
11、定的难度，幂函数 y=xn由于 n 的取值不同，其定义域和图像都比较复杂，学生一般都抓不住规律，难以掌握。而幂函数是一个基本的函数对于一个刚刚跨入高中的学生来讲，理解他掌握它都非易事，为了更深刻，更全面的理解它。就需要一定的函数理论知识做基础，因此在讲函数概念之后紧接着重点讲函数的定义域，值域，单调性，奇偶性等有关性质，然后开始学幂函数，这样函数理论知识比较扎实，学习函数就容易多了幂函数的定义域比较复杂，图像变化多，这是教学的两大难点，在教学中我们要有意识的把难点分散，各个击破，使学生容易掌握和接受，如在学习定义域时就布置学生讨论=- q/p 和 = q/p( , 为整数， 为即约分数)的定义
12、域。经过练习和讲授一yxpq1pq般学生可以熟练掌握，在学习函数奇偶性时布置学生讨论 = 1/3 , = 2/3, = 1/2, = -yxyx3/2 等幂函数的奇偶性，由于提前渗透分散起到水到渠成的效果，但学生学习幂函数时，不但不感到生疏和困难，反而在轻松愉快中学会幂函数的有关知识。2.4 幂函数，指数函数和对数函数的教学探讨幂函数，指数函数，对数函数的性质有许多相似之处，混在一起就不容易辨清性质，搞不清楚，就无法解决问题，我们对于这种函数的理解首先做出函数图像，在分析图像特征，最后寻找他们各自的基本性质，本来用函数用图像表达再找出特征，这种图文并茂的方法是我们数学研究中最得意的一招，这是能
13、让学生学习抽象知识的好方法，但这三种函数一起学，由于性质相似而而分辨不清。我们可采用三种函数两两比较的方法，即幂函数与指数函数对比，指数函数与对数函数对比。找出它们的异同点，再把每一种函数的相同性质和不同性质归纳。在弄清函数的性质后，如何让学生记住又是一个极为重要的问题，这时我们可以向学生教口诀， ，并在讲幂函数图像时，提出“一象限均有图，第四象限无图”，在讲授指数函数与对数函数的图像时，告诉学生“指居水平线上方，对在垂轴右侧” 。利用口诀记住图像，就可以从图像推出性质，在讲解性质时也归纳了“幂零为界，指对一方，底均大于零”和“从左往右看图像，曲线升增降减” 。在图像与性质这两方面介绍四句口诀
14、。这样学生只要背熟着五句口诀，从字面上理解，就可以清楚三种函数图像的概念图像及性质。幂函数与指数函数在形式上很相似，都是乘幂运算构成，在底数与指数上自变量与函数互换了位置而已，这种形式相似的两种函数对初接触的学生来说要分辨清楚不是一件容易的事课本关于幂函数和指数函数的定义有极为简单的描述，就像给出了模子，学生只需对照一下，符合形式便可确认，但在具体教学中可没那没简单，在刚学幂函数时学生在初中以学过了指数运算，故看幂函数只是一个乘幂运算，并不陌生，在乘幂运算中的底数改为自变量 ，结果改为应变量 就成了幂函数。学生开始也觉得这个函数很简单，不难理xy解，但当把指数函数也学完时对二者就分辨不清了，形
15、式上相似，让学生具体做题时，不知该怎样确定幂函数还是指数函数。例如，比较下列两组数大小：“0.7 -2.1 和 0.9-2.1”；“0.63.1 和 0.63.2”此刻学生弄不清哪个是指数函数那个是幂函数，就无法确定应该根据是么性质去比较找不到准则，结果胡乱套上去，碰对了就完事碰不对就学生错了。针对这一情况我们要给学生十三个字“变量定函数，底变为幂，指变为指” ，再告诉学生对这十三个仅需字面理解，就不难分清幂指两种函数了。2.5 三角函数教学探讨对于三角函数这部分的教法可从：一.任意角的三角函数概念引入。首先复习初中阶段学习的锐角三角函数的概念，并应特别指出锐角三角函数是在直角三角形中定义的。
16、随着研究的深入，锐角三角函数已不够用，需要研究任意角的三角函数。由于任意角的三角函数概念已经冲破了直角三角形的束缚，因此欲研究任意角的三角函数必须引入新的工具，即笛卡尔基的直角坐标系，唯需强调将角放在坐标系上时，必须视角的顶点与坐标原点重合，始边与 轴正方向重合，则角的终边在哪个象限，我们就认为它是哪个象限的角，如x角的终边与坐标轴重合，则称此角为轴线角。接着要反复使学生弄清弧度制的实质，即一个角的弧度数就是角所对弧长与半径的比值。顺便给出弧度制的弧长公式。 或1R学生必须掌握好一些常见的角度制与弧度制的转化。最再讲任意角的三角函数，再1R讲着部分内容时要讲清以下几点:(1)分清锐角三角函数与
17、任意三角函数之间的区别与联系：锐角三角函数是在直角三角形中用三角形边与边的比来定义的，任意角的三角函数是在直角坐标系上用角终边上一点的坐标 以及这一点到原点之间距离的比来定义；而锐角三xy角形是任意角的三角函数的特殊情况。这就可以避免 是对边比斜边的错误说法。(2)sinx在弧度制下建立了角与函数的一一对应关系，因此三角函数的定义域可以看做实数集合或实数集合的子集。(3)要学生根据任意角的三角函数定义，自己逐个计算等特殊角的三角函数值等特殊角的三角函数值并记住，为五点法做正弦，余弦函数图像奠定基础。(4)要学生研究任意角的三角函数定义，推出三角函数在各个象限的符号，并记住有关结论，为今后三角中
18、的有关讨论奠定基础。二、同角三角函数关系的八个公式，根据任意角的三角函数的定义，学生很容易推到并记住八个公式，普遍感觉困难的是公式应用。公式的应用分计算和化简证明两部分。前者简单不必多说。后者即三角恒等式的证明，我觉得应从本节开始认真训练学生论证三角恒等式的能力，而不要把这一任务完全拖到“和差倍半”一章去完成。因为那里公式庞杂，难点集中。这里为恒等式证明奠定了一个比较结实的基础则完全是必要的，也是可能的，证明三角恒等式的方法很多，主要因讲清并使学生掌握左右法，同一法，综合法，其次是比较法，再次是分析法。(1)左右法。若三角恒等式一边简一边较繁，可采用左右法。注意应从复杂一端证向另一端。例如 求
19、证 (2)同一法，如果恒等sincotsectg式两端繁简相似，或仅有一端推向另一端不易实现，则可以采用两端同时变形，化繁为简，求得相同结果。此法俗称“两头挤法”这是证明比较复杂的三角恒等式的解法，但很容易为学生忽略，应特别强调，多做练习。例如 求证(3)综合法，综合法是已知给定的条件和公式出发，11sincscsicoAAtg逐步退出所求结论。例如 求证 此题用左右法或同一法均2463iesectgA不易证明，可试用综合法。从 出发，两边三次方即可求证。(4)比较法。比1sctgA较法是将等式来两个相减证其差为 0，从而证得原式相等；或将等式两边相除，证其商为1，从而证得原式相等。例如 求证
20、 (5)分析法。分析法是“以seseccttgg果所因”某些题用分析法，可使证明过程格外简单，收到意外效果，但此法在本节学习中不易过多展开，否则，容易造成学生逻辑和书写上的混乱，教学实践证实了这点。例如 sinco1sinc第三，诱导公式的讲解，要求出任意角的三角函数，还需要转化为求锐角三角形，而诱导公式正是这一转化工具，教学中应认真讲好单位圆和三角函数线，这是三角中数形结合加强直观的重要途径。在直角坐标系上讲清单位圆的定义。然后再讲诱导公式，再讲诱导公式前先复习已学过的三组 的三角函数，以及三角函数(90),(18,概念，在三角函数线有关概念掌握较好的前提可考虑完全用三角函数线推出全部诱导公
21、式。好处是直观简便，能反过来更好的加深对函数线的理解和掌握。如果基础较差只好给出正弦线和余弦线，然后通过已学过的三组诱导公式和同角三角函数八个公式推出诱导公式，好处是思路清晰，无难点，学生易掌握。缺点是繁琐。但无论那种方法，推导诱导公式均用两种课时，第一课时给出方法，将其它各组作为练习。留给学生课外去做。第二课时检查，通过检查和复习，把全部 54 个公式分两组（ 为一组；为一组） ，板书在黑板上，启发学生通过类比总结规律，然后再给出口诀；90“奇变偶不变，符号看象限” 。第四，三角函数的图像和性质，在三角函数图像这部分要讲清以下四点（1）各种三角函数图像均应以描点法为主。开始有学生自己计算对应
22、值，找出较多个对应点，根据对应点描图。这样可加深对这种三角函数图像标准形象的印象，然后在多个对应点中选五个关键点，为五点法奠定基础。(2)学生在做三角函数图像时遇到最大的困难横轴上单位的确定方法，因为自变量 表示的角。在角度制下用横轴表示角是困难。但引入弧度制后，角x与实数建立了一一对应的关系， ，角也就是“数”了，这样用横轴表示这些“数”就毫无困难。 （3）在讲述正弦函数图像变化时，因以五点法作为画图的主要方法。在讲相位变化时可向学生介绍平移法，但不一定要求学生必须用此法作图。在三角函数的性质中，学生感觉困难的是定义域和值域，如果打算在定义域部分展开，则应补充三角不等式和三角不等式组。只要三
23、角不等式（组）解的纯熟，求三角函数定义域就可迎刃而解。而求三角函数极值只需达到如下水平即可。例如求极值：（1） （2 ） （3） 5sinyx1sinyx最高不要超过：求适合 的 。更复杂的综合性三3cos(2)yx12sia(0)角函数极值练习因放在“和差被减”之后进行。3 总结教师讲课过程中把握好上述方向的教学，就可以使学生在螺旋上升的过程中理解和掌握初等函数。在讲初等函数的同时也可加入一些数学文化,收集材料或现实生活中的函数实例,采取小组合作的方式写一些关于函数概念形成发展的文章.教师要在知识教育的同时以知识为载体使学生体会和认识数学文化价值,促进学生科学观形成,全面提高学生的数学素养。
24、要时刻注意在帮助学生修学习的同时也要提升自己的教学水平。初等函数的内容还和其它内容相联系，根据具体函数的图像借助计算机或计算器求相应方程的近似解在数列的学习中体会等差数列和一次函数的联系。函数模型及应用包括几种不同的增长模型，函数模型的应用实例通过比较指数函数，对数函数，幂函数的增长差异结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同函数类型增长含义，目的可以使学生体会函数在数学和其它学科的应用，感受建立函数模型过程和方法，进一步认识到函数是描述客观世界 变化规律的基本模型，并能初步应用函数思想解决现实生活的简单问题，学习初等函数是学生今后继续学习高等数学的基础，而探讨初等函数的教法对即将成为教
25、师的我是一个挑战，而在这个挑战过程中我必将不断学习，不断探索中不断进步，不断发展。参考文献：1. 陈素贞幂函数、对数函数、指数函数教学方法的讨论J 职业教育研究（自）2005（8）：752赵蓉指数函数说课稿J 数学爱好者（教育技术） （自）2008 （2）：4950 ,ABC3许钦彪对数函数教学几点补充J数学教学研究（自）2003 （1）：14164刘文关于指数函数的定义 J 数学通报（自）1981 （12）： 6275许桂珍正弦函数图像教学之浅见J科教文汇（自）2009 （8）：143（转）152 6齐名友三角函数、向量、复数J数学通报（自）2007 （11）：187刘兆庆对周期函数的一些讨论J陇东学院学报（自）2005 （10）：588解术霞，马明环，幸祥来反正弦函数教法讨论J兵团教育学院学报（自）2004（3）：31329靳卫军关于幂函数、指数函数、对数函数图像教学J机械职业教育（自）1994（6）：212310周霞中浅谈幂函数教学J益阳师专学报（自） 1998（11）：10410511袁伟正弦函数图像及余弦函数图像的对称性J西安文理学院学报（自）2005（1）：45 4712李长明，周焕山 初等数学研究M北京：高等教育出版社（自）19951：132 18113钱佩玲，马波，郭玉峰，张丹 高中数学 新课程教学方法M北京：高等教育出版社（自）20073：88120
