1、第 1 页（共 68 页）高考二次求导一解答题（共 40 小题）1已知函数 f（x）= ax2+lnx，g （x ）=bx，其中 a，bR ，设 h（x）=f（x）g（x） ，（1）若 f（x）在 x= 处取得极值，且 f（1）=g（1）2求函数 h（x）的单调区间；（2）若 a=0 时，函数 h（x）有两个不同的零点 x1，x 2求 b 的取值范围；求证： 12设 a，b R，函数 ，g（x） =ex（e 为自然对数的底数） ，且函数 f（x ）的图象与函数 g（x ）的图象在 x=0 处有公共的切线（）求 b 的值；（）讨论函数 f（x）的单调性；（）若 g（ x）f（x）在区间（ ，0）
2、内恒成立，求 a 的取值范围3已知函数 （1）若 y=f（x）在（0，+）恒单调递减，求 a 的取值范围；（2）若函数 y=f（x）有两个极值点 x1，x 2（x 1x 2） ，求 a 的取值范围并证明x1+x2 24已知函数 （1）设 G（x）=2f（x）+g（x） ，求 G（x ）的单调递增区间；（2）证明：当 x0 时，f（x+1）g（x） ；（3）证明：k1 时，存在 x01，当 x（1，x 0）时，恒有5已知函数 （） 当 a=0 时，求曲线 f （x）在 x=1 处的切线方程；第 2 页（共 68 页）（） 设函数 h（x）=alnx xf（x ） ，求函数 h （x）的极值；（）
3、 若 g（x）=alnxx 在1，e（e=2.718 28）上存在一点 x0，使得 g（x 0）f（ x0）成立，求 a 的取值范围6设函数 f（x）=e ax+lnx，其中 a0，e 是自然对数的底数（）若 f（x）是（0，+ ）上的单调函数，求 的取值范围；（）若 0 ，证明：函数 f（x）有两个极值点7已知函数 （a 为常数，a0） （）当 a=1 时，求函数 f（x）在点（3，f（3） ）的切线方程（）求 f（x）的单调区间；（）若 f（x）在 x0 处取得极值，且 ，而 f（x）0 在e+2，e 3+2上恒成立，求实数 a 的取值范围 （其中 e 为自然对数的底数）8已知函数 （1）
4、若 g（x）在点（1，g（1） ）处的切线方程为 8x2y3=0，求 a，b 的值；（2）若 b=a+1，x 1，x 2 是函数 g（x）的两个极值点，试比较4 与 g（x 1）+g（ x2）的大小9已知函数 f（x）=x alnx1， ，其中 a 为实数（）求函数 g（x）的极值；（）设 a0，若对任意的 x1、x 23，4（x 1x 2） ，恒成立，求实数 a 的最小值10已知函数 f（x ）=xlnxk（x1）（1）求 f（x）的单调区间；并证明 lnx+ 2（e 为自然对数的底数）恒成立；（2）若函数 f（x）的一个零点为 x1（x 11 ） ，f（x）的一个零点为 x0，是否存在实数
5、 k，使 =k，若存在，求出所有满足条件的 k 的值；若不存在，说明理第 3 页（共 68 页）由11已知函数 f（x ）=（x2）e x+a（x 1） 2（）讨论 f（x）的单调性；（）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围12设函数 f（x ）=ax 2alnx，g（x）= ，其中 aR，e=2.718为自然对数的底数（）讨论 f（x）的单调性；（）证明：当 x1 时， g（x ）0；（）确定 a 的所有可能取值，使得 f（x ）g （x）在区间（1，+）内恒成立13设函数 f（x ）=（x1） 3axb，xR ，其中 a，b R（1）求 f（x）的单调区间；（2）若 f（x）存在极值
6、点 x0，且 f（x 1）=f（x 0） ，其中 x1x 0，求证：x1+2x0=3；（3）设 a0，函数 g（x）= |f（x）|，求证：g（x）在区间0，2上的最大值不小于 14设函数 f（x ）=acos2x+（a1） （cosx+1） ，其中 a0，记|f（x ）|的最大值为 A（）求 f（ x） ；（）求 A；（）证明：|f（x ）|2A 15设函数 f（x ）=x 3axb，x R，其中 a，bR（1）求 f（x）的单调区间；（2）若 f（x）存在极值点 x0，且 f（x 1）=f（x 0） ，其中 x1x 0，求证：x1+2x0=0；（3）设 a0，函数 g（x）= |f（x）|
7、，求证：g（x）在区间1，1上的最大值第 4 页（共 68 页）不小于 16已知函数 f（x ）=（x2）e x+a（x 1） 2 有两个零点（）求 a 的取值范围；（）设 x1，x 2 是 f（x）的两个零点，证明：x 1+x2217已知 f（ x）=a（xlnx）+ ，aR （I）讨论 f（x ）的单调性；（II）当 a=1 时，证明 f（ x）f（x ）+ 对于任意的 x1，2成立18已知函数 f（x ）=lnx+x 2（）若函数 g（x）=f（ x）ax 在其定义域内为增函数，求实数 a 的取值范围；（）在（）的条件下，若 a1，h（x）=e 3x3aexx0，ln2 ，求 h（x）的
8、极小值；（）设 F（x）=2f（x） 3x2kx（k R） ，若函数 F（ x）存在两个零点m，n（0mn） ，且 2x0=m+n问：函数 F（x）在点（x 0，F （x 0） ）处的切线能否平行于 x 轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由19g（x）=2lnxx 2mx，x R，如果 g（x）的图象与 x 轴交于 A（x 1，0） ，B（x 2，0） （x 1x 2） ，AB 中点为 C（x 0，0） ，求证 g（x 0）020已知函数 f（x ）=alnxax3（aR ） （）求函数 f（x）的单调区间；（）若函数 y=f（x）的图象在点（2，f（2） ）处的切线的倾斜角为 45，
9、对于任意的 t1， 2，函数 g（x ）=x 3+x2（f（x ）+ ）在区间（t ，3）上总不是单调函数，求 m 的取值范围；（）求证： （n 2，n N*） 21设函数 f（x ）=（1+x） 22ln（1+x）（1）若关于 x 的不等式 f（x）m 0 在0，e 1有实数解，求实数 m 的取值范第 5 页（共 68 页）围（2）设 g（x）=f（x）x 21，若关于 x 的方程 g（x）=p 至少有一个解，求 p 的最小值（3）证明不等式： （nN *） 22已知函数，f （x ）=alnxax3（aR ） （1 ）当 a=1 时，求函数 f（x）的单调区间；（2）若函数 y=f（x）的
10、图象在点（2，f（2） ）处的切线的倾斜角为 45，问：m 在什么范围取值时，对于任意的 t1，2，函数 在区间（t，3）上总存在极值？23已知函数 f（x ）=x 3+ x2+ax+b（a，b 为常数） ，其图象是曲线 C（1）当 a=2 时，求函数 f（x ）的单调减区间；（2）设函数 f（x）的导函数为 f（x） ，若存在唯一的实数 x0，使得 f（x 0）=x 0与 f（x 0）=0 同时成立，求实数 b 的取值范围；（3）已知点 A 为曲线 C 上的动点，在点 A 处作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于另一点 B，在点 B 处作曲线 C 的切线 l2，设切线 l1，l 2 的斜
11、率分别为 k1，k 2问：是否存在常数 ，使得 k2=k1？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由24已知函数 f（x ）=alnxax3（a0） （）讨论 f（x）的单调性；（）若 f（x）+（a+1）x+4e 0 对任意 xe，e 2恒成立，求实数 a 的取值范围（e 为自然常数） ；（）求证 ln（2 2+1）+ln（3 2+1）+ln（4 2+1）+ ln（n 2+1）1+2lnn!（n2，n N*） （n!=123 n） 25已知函数 f（x ）=lnxxlna，a 为常数（1）若函数 f（x）有两个零点 x1，x 2，且 x1x 2，求 a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，证
12、明： 的值随 a 的值增大而增大第 6 页（共 68 页）26已知函数 f（x ）=e 1x（ a+cosx） ，a R（）若函数 f（x）存在单调减区间，求实数 a 的取值范围；（）若 a=0，证明： ，总有 f（ x1）+2f（x）cos（x +1）027已知函数 f（x ）= （e 为自然对数的底数） （1）若 a= ，求函数 f（x）的单调区间；（2）若 f（1）=1 ，且方程 f（x）=1 在（0，1）内有解，求实数 a 的取值范围28已知函数 f（x ）= ，g（x）=ln （x+1） ，曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程是 5x4y+1=0（1）求 a，b 的值
13、；（2）若当 x0，+）时，恒有 f（x）kg （x）成立，求 k 的取值范围；（3）若 =22361，试估计 ln 的值（精确到 0.001）29设 aR，函数 f（x）=lnxax （）求 f（x）的单调递增区间；（）设 F（x）=f（x）+ax 2+ax，问 F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）是函数 g（x）=f（x）+ax 图象上任意不同的两点，线段 AB 的中点为 C（x 0，y 0） ，直线 AB 的斜率为为 k证明：kg （x 0） 30已知函数 f（x ）=x 3+（1a）x 2a（a+2）x （
14、aR） ，f（x）为 f（x）的导数（）当 a=3 时证明 y=f（x ）在区间（ 1，1）上不是单调函数（）设 ，是否存在实数 a，对于任意的 x11，1存在x20，2，使得 f（x 1）+2ax 1=g（x 2）成立？若存在求出 a 的取值范围；若不存在说明理由第 7 页（共 68 页）31已知函数 f（x ）=x 2（ a+2）x+alnx，其中常数 a0（）当 a2 时，求函数 f（x ）的单调递增区间；（）设定义在 D 上的函数 y=h（x）在点 P（x 0， h（x 0） ）处的切线方程为l：y=g （x） ，若 0 在 D 内恒成立，则称 P 为函数 y=h（x）的“ 类对称点”
15、当 a=4 时，试问 y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点 ”的横坐标；若不存在，请说明理由32已知函数 f（x ）=2e x+2axa2，aR（1）当 a=1 时，求 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程；（2）求函数 f（x）的单调区间；（3）若 x0 时，f（x）x 23 恒成立，求实数 a 的取值范围33已知 aR，函数 f（x）=e xa（x +1）的图象与 x 轴相切（）求 f（x）的单调区间；（）若 x0 时，f（x）mx 2，求实数 m 的取值范围34已知函数 h（x）= ax2+1，设 f（x）=h （ x）2alnx，g （x ）=ln
16、2x+2a2，其中 x0，aR（1）若 f（x）在区间（2，+）上单调递增，求实数 a 的取值范围；（2）记 F（x）=f（x）+g（x） ，求证：F（x ） 35已知函数 f（x ）=lnxx+1，函数 g（x）=axe x4x，其中 a 为大于零的常数（）求函数 f（x）的单调区间；（）求证：g（x）2f （x）2（lna ln2） 36已知 x（1，+） ，函数 f（x）=e x+2ax（a R） ，函数 g（x）=| lnx|+lnx，其中 e 为自然对数的底数（1）若 a= ，求函数 f（x）的单调区间；（2）证明：当 a（2，+）时，f （x1）g （x）+a第 8 页（共 68
17、页）37已知函数 f（x ）= x2+mlnx+x（1）求 f（x）的单调区间；（2）令 g（x）=f（x） x2，试问过点 P（1，3）存在多少条直线与曲线y=g（x ）相切？并说明理由38已知函数 （）若 f（x）在点（2， f（2） ）处的切线与直线 x2y+1=0 垂直，求实数 a 的值；（）求函数 f（x）的单调区间；（）讨论函数 f（x）在区间 1，e 2上零点的个数39已知函数 f（x ）=（2a）lnx + +2ax（a0）（1）当 a=0 时，求 f（x）的极值；（2）当 a0 时，讨论 f（x ）的单调性；（3）若对于任意的 x1，x 21，3，a （ ，2）都有|f（x
18、1） f（x 2）|（m+ln3 ） a2ln3，求实数 m 的取值范围40已知函数 f（x ）=lnxax （）若函数 f（x）在（ 1，+）上单调递减，求实数 a 的取值范围；（）当 a=1 时，函数 有两个零点 x1，x 2，且 x1x 2求证：x 1+x21第 9 页（共 68 页）2017 年 02 月 13 日数学的高中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共 40 小题）1 （2017南京一模）已知函数 f（x）= ax2+lnx，g（x）=bx ，其中 a，bR ，设 h（x）=f（x）g（x） ，（1）若 f（x）在 x= 处取得极值，且 f（1）=g（1）2求函数 h（x）的
19、单调区间；（2）若 a=0 时，函数 h（x）有两个不同的零点 x1，x 2求 b 的取值范围；求证： 1解：（1）由已知得 f ， （x0 ） ，所以 ，所以 a=2由 f（1）=g（ 1）2，得 a+1=b2，所以 b=1所以 h（x）=x 2+lnx+x， （x0） 则 ， （x0） ，由 h（x ）0 得 0x1，h（x ）0 得 x1所以 h（x）的减区间为（1，+） ，增区间为（0， 1） （2）由已知 h（x）=lnx+bx， （x0） 所以 h ， （x 0） ，当 b0 时，显然 h（x ）0 恒成立，此时函数 h（x）在定义域内递增，第 10 页（共 68 页）h（x）至多
20、有一个零点，不合题意当 b0 时，令 h（x ）=0 得 x= 0，令 h（x）0 得 ；令h（x）0 得 所以 h（x） 极大 =h（ ） =ln（ b） 10，解得 且 x0 时， lnx0，x + 时，lnx0所以当 时，h（x）有两个零点证明：由题意得 ，即 ，得 因为 x1，x 20，所以b（x 1+x2）0，所以 ，因为 0b ，所以 eb1，所以 x1x2 e 2，所以 12 （2017四川模拟）设 a，b R，函数 ，g （x ）=e x（e 为自然对数的底数） ，且函数 f（x ）的图象与函数 g（ x）的图象在 x=0 处有公共的切线（）求 b 的值；（）讨论函数 f（x）
21、的单调性；（）若 g（ x）f（x）在区间（ ，0）内恒成立，求 a 的取值范围（）f（x）=x 2+2ax+b，g（x）=e x，第 11 页（共 68 页）由 f（0）=b=g（0）=1，得 b=1（2 分）（）f（x） =x2+2ax+1=（x+a） 2+1a2，当 a21 时，即 1a 1 时，f （x）0，从而函数 f（x ）在定义域内单调递增，当 a21 时， ，此时若 ，f （x）0，则函数 f（x）单调递增；若 ，f （x）0 ，则函数 f（x）单调递减；若 时，f （x）0，则函数 f（x）单调递增（6 分）（）令 h（x）=g（x）f（x）=e xx22ax1，则 h（0）
22、=e 01=0h（x）=ex2x2a，令 u（x ）=h（x ）=e x2x2a，则 u（x） =ex2当 x0 时，u（x）0，从而 h（x ）单调递减，令 u（0）=h（0）=12a=0，得 先考虑 的情况，此时，h（0）=u （0）0；又当 x（ ，0）时，h（x）单调递减，所以 h（x ）0；故当 x（ ，0）时，h（x）单调递增；又因为 h（0）=0，故当 x0 时，h（x）0，从而函数 g（ x）f （x ）在区间（，0）内单调递减；又因为 g（0） f（0）=0，所以 g（x）f（x）在区间（ ，0）恒成立接下来考虑 的情况，此时，h（0）0，令 x=a，则 h（a）=e a0由
23、零点存在定理，存在 x0（a，0）使得 h（x 0） =0，当 x（x 0，0 ）时，由 h（x）单调递减可知 h（x ）0，所以 h（x）单调递减，又因为 h（0）=0，故当 x（x 0，0）时 h（x ）0第 12 页（共 68 页）从而函数 g（ x）f （x ）在区间（x 0，0）单调递增；又因为 g（0） f（0）=0，所以当 x（x 0，0） ，g （x）f （x） 综上所述，若 g（x）f（x ）在区间（ ，0）恒成立，则 a 的取值范围是 （14 分）3 （2017达州模拟）已知函数 （1）若 y=f（x）在（0，+）恒单调递减，求 a 的取值范围；（2）若函数 y=f（x）有
24、两个极值点 x1，x 2（x 1x 2） ，求 a 的取值范围并证明x1+x2 2解：（1）因为 f（x）=lnx ax+1（x 0） ，所以由 f（x） 0 在（0，+）上恒成立得 ，令 ，易知 g（x）在（0，1）单调递增（1，+）单调递减，所以 ag（1）=1 ，即得：a1（5 分）（2）函数 y=f（x）有两个极值点 x1，x 2（x 1x 2） ，即 y=f（x）有两个不同的零点，且均为正，f（x ）=lnxax +1（x 0） ，令 F（x）=f （x）=lnxax+1，由 可知1）a 0 时，函数 y=f（x）在（0，+）上是增函数，不可能有两个零点2）a 0 时，y=F（x）在
25、 是增函数在 是减函数，此时 为函数的极大值，也是最大值当 时，最多有一个零点，所以 才可能有两个零点，得：0a1（7 分）此时又因为 ， ， ，第 13 页（共 68 页）令 ，（a ）在（0，1 ）上单调递增，所以 （a ） （1）=3 e2，即综上，所以 a 的取值范围是（0，1）（8 分）下面证明 x1+x22由于 y=F（x）在 是增函数在 是减函数， ，可构造出构造函数 则 ，故 m（x ）在区间 上单调减又由于 ，则 ，即有 m（x 1）0 在 上恒成立，即有成立由于 ， ，y=F（x）在 是减函数，所以所以 成立 （12分）4 （2017大理州一模）已知函数 （1）设 G（x）
26、=2f（x）+g（x） ，求 G（x ）的单调递增区间；（2）证明：当 x0 时，f（x+1）g（x） ；（3）证明：k1 时，存在 x01，当 x（1，x 0）时，恒有第 14 页（共 68 页）解：（1）由题意知， （1 分）从而 （2 分）令 G（x）0 得 0x2（3 分）所以函数 G（x）的单调递增区间为（0，2）（4 分）（2）令 （5 分）从而 （6 分）因为 x0，所以 H（x）0，故 H（x ）在（0，+）上单调递增（7 分）所以，当 x0 时，H（x ）H （0）=0，即 f（x+1）g （x ）（8 分）（3）当 k1 时，令 （9 分）则有 （10 分）由 F（ x）=
27、0 得x 2+（1k）x +1=0，解之得， ，（11 分）从而存在 x0=x21，当 x（1，x 0）时，F（x ）0，故 F（x）在1，x 0）上单调递增，从而当 x（1，x 0）时，F （x ）F（1 ）=0 ，即 （12 分）5 （2017茂名一模）已知函数 （） 当 a=0 时，求曲线 f （x）在 x=1 处的切线方程；（） 设函数 h（x）=alnx xf（x ） ，求函数 h （x）的极值；（） 若 g（x）=alnxx 在1，e（e=2.718 28）上存在一点 x0，使得 g（x 0）第 15 页（共 68 页）f（ x0）成立，求 a 的取值范围解：（） 当 a=0 时，
28、f （x）= ，f （1 ）=1，则切点为（ 1，1 ） ，（1 分） ，切线的斜率为 k=f（1）=1，（2 分）曲线 f （x）在点（1， 1）处的切线方程为 y1=（ x1） ，即 x+y2=0 （3 分）（）依题意 ，定义域为（0，+） ， ，（4 分）当 a+10 ，即 a 1 时，令 h（x）0，x 0，0x1+a ，此时，h（x） 在区间（0，a+1）上单调递增，令 h（x ）0，得 x1+a此时，h（x）在区间（a+1，+）上单调递减（5 分）当 a+10 ，即 a 1 时，h（x）0 恒成立，h（x）在区间（0，+）上单调递减（6 分）综上，当 a1 时，h（x）在 x=1+
29、a 处取得极大值 h（1+a）=aln （1+a）a2，无极小值；当 a1 时， h（x）在区间（ 0，+）上无极值 （7 分）（） 依题意知，在1，e上存在一点 x0，使得 g（x 0）f （x 0）成立，即在1，e上存在一点 x0，使得 h（x 0）0，故函数 在1，e上，有 h（x ） max0（8 分）由（）可知，当 a+1e，即 ae 1 时，h （x）在1，e 上单调递增， ， ， ， （9 分）第 16 页（共 68 页）当 0a+1 1，或 a1，即 a0 时，h（x）在 1，e 上单调递减，h（x） max=h（1）=11a0，a 2 （10 分）当 1a+1 e，即 0ae
30、 1 时，由（）可知，h（x）在 x=1+a 处取得极大值也是区间（ 0，+）上的最大值，即 h（x） max=h（1+a）=aln（1+a）a 2=aln（1+a）12，0ln（a+1）1，h（1+a）0 在1，e上恒成立，此时不存在 x0 使 h（x 0） 0 成立 （11 分）综上可得，所求 a 的取值范围是 或 a 2（12 分）6 （2017佛山一模）设函数 f（x）=e ax+lnx，其中 a0，e 是自然对数的底数（）若 f（x）是（0，+ ）上的单调函数，求 的取值范围；（）若 0 ，证明：函数 f（x）有两个极值点解：（）f（x ）=ae ax+ = ， （x0） ，若 0，
31、则 f（x）0 ，则 f（x ）在（0，+）递减，若 0，令 g（x）=axe ax+，其中 a0，x 0，则 g（x）=ae ax（1+ax） ，令 g（x）=0，解得：x= ，故 x（0， ）时，g （x）0 ，g （x ）递减，x（ ，+）时，g（x）0，g（x ）递增，故 x= 时，g（x）取极小值也是最小值 g（ ）= ，故 0 即 时，g（x ）0，此时 f（x） 0，f（x）在（0，+）递增，综上，所求 的范围是（ ，0 ，+） ；第 17 页（共 68 页）（）f（x） =aeax+ = ， （x0） ，令 g（ x）=axe ax+，其中 a0，x0，求导得：g（x ）=ae
32、 ax（1+ax） ，令 g（x）=0，解得：x= ，x（0， ）时， g（x）0 ，g （x ）递减，x（ ，+）时，g（x）0，g（x ）递增，x= 时，g（x）取得极小值，也是最小值 g（ ）= ，0 ，g（ ）= 0，又 g（0）= 0 ，g （ ）g （0）0，函数 f（x ）有两个极值点7 （2017南充模拟）已知函数 （a 为常数，a0） （）当 a=1 时，求函数 f（x）在点（3，f（3） ）的切线方程（）求 f（x）的单调区间；（）若 f（x）在 x0 处取得极值，且 ，而 f（x）0 在e+2，e 3+2上恒成立，求实数 a 的取值范围 （其中 e 为自然对数的底数）解：
33、 （x2）（）当 a=1 时， ，f（3）= 2. ，所以，函数 f（x）在点（ 3，f（3） ）处的切线方程为：，即 4x+2y3=0（3 分）（） = ，因为 x2，所以 x20，当 a0 时， （x1） 2（a+1）=x（x2）a0 在 x2 上成立，第 18 页（共 68 页）所以 f（x）当 x2 恒大于 0，故 f（x）在（2，+）上是增函数 （5 分）当 a0 时， ，因为 x2，所以 ，a（x2）0，当 时，f （x）0，f（x ）为减函数；当 时，f（ x）0，f（x）为增函数（7 分）综上：当 a0 时，f （x ）在（2，+）上为增函数；当 a0 时，f （x ）在 上为
34、增函数，在 上为减函数（8 分）（）由（）知 x0 处有极值，故 a0，且 ，因为 且 e+22，所以 f（ x）在e+2，e 3+2上单调 （10 分）当e+2，e 3+2为增区间时， f（x）0 恒成立，则有当e+2，e 3+2为减区间时， f（x）0 恒成立，则有解集为空集综上：当 ae 6+2e3 时满足条件（12 分）8 （2017本溪模拟）已知函数 （1）若 g（x）在点（1，g（1） ）处的切线方程为 8x2y3=0，求 a，b 的值；（2）若 b=a+1，x 1，x 2 是函数 g（x）的两个极值点，试比较4 与 g（x 1）+g（ x2）的大小（1）根据题意可求得切点 ，由题
35、意可得， ，第 19 页（共 68 页） ，即 ，解得 a=1，b=1（3 分）（2）证明：b=a+1， ，则 根据题意可得 x2ax+a=0 在（0，+）上有两个不同的根 x1，x 2即 ，解得 a4，且 x1+x2=a，x 1x2=a（5 分） （6 分）令 ，则 f（x ）=lnx +1x1=lnxx，令 h（x）=lnxx，则当 x4 时， ，h（x）在（4，+）上为减函数，即 h（x ）h（4）=ln440，f（x）0，f（ x）在（4，+）上为减函数，即 f（x）f（4）=8lnx12，g （x 1）+g（ x2）8ln2 12， （10 分）又 ， ， ，即 ，g （x 1）+g
36、（ x2）4 （12 分）9 （2017本溪模拟）已知函数 f（x）=x alnx1， ，其中 a 为实数（）求函数 g（x）的极值；（）设 a0，若对任意的 x1、x 23，4（x 1x 2） ，恒成立，求实数 a 的最小值解：（） ，令 g（x ）=0，得 x=1，列表如下：第 20 页（共 68 页）x （，1） 1 （1，+）g（x） + 0 g（x ） 极大值 当 x=1 时，g（x）取得极大值 g（1）=1，无极小值； （4 分）（）当 m=1 时，a0 时，f （x）=x alnx1，x（ 0，+） ， 在3，4恒成立，f（x ）在3，4上为增函数，设 ， 在3，4上恒成立，h（
37、x）在3，4上为增函数，不妨设 x2x 1，则 等价于：f （x 2）f（x 1）h （x 2）h（x 1） ，即 f（x 2）h （x 2）f（x 1）h（x 1） ，（6 分）设 ，则 u（x）在3，4上为减函数， 在3，4上恒成立， 恒成立， ，x 3，4，（8分）设 ， ，v （x ）0，v（x）为减函数，v（x）在 3，4上的最大值 ， ，a 的最小值为 （12 分）10 （2017泸州模拟）已知函数 f（x）=xlnx k（x 1）第 21 页（共 68 页）（1）求 f（x）的单调区间；并证明 lnx+ 2（e 为自然对数的底数）恒成立；（2）若函数 f（x）的一个零点为 x1（
38、x 11 ） ，f（x）的一个零点为 x0，是否存在实数 k，使 =k，若存在，求出所有满足条件的 k 的值；若不存在，说明理由解：（1）f（x）=lnx+ 1k，x（0，e k1）时， f（x） 0，此时 h（x）递减，x（e k1，+ ）时，f（x）0，此时 h（x）递增，令 k=2，则 f（ x）=xlnx2（x 1） ，故 x=e 时，f（x）有最小值是 f（e） ，故 f（x）=xlnx2（x1） f（e ）=2 e，即 lnx+ 2 恒成立；（2）由题意得：x 1lnx1k（x 11）=0 ，lnx0+1k=0，假设存在 k，使得 =k， （k0）成立，消元得：e k1lnkek1
39、+1=0，设 m（k）=e k1lnkek1+1，则 m（k ）=e k1（lnk+ 1） ，设 F（k）=lnk+ 1，则 F（ x）= ，k（0，1）时，F（x）0，即此时函数 F（k）递减，k（1，+）时，F（x）0，此时函数 F（k）递增，F（k）F（1）=0，第 22 页（共 68 页）m （k ） 0，故函数 m（k）在（0，+）递增，m（1）=0 ， k=1，但 k=1 时，x 1=ek1k=1，与已知 x11 矛盾，故 k 不存在11 （2016新课标）已知函数 f（x）= （x 2）e x+a（x1） 2（）讨论 f（x）的单调性；（）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范
40、围解：（）由 f（x）=（x2）e x+a（x 1） 2，可得 f（x）=（x1）e x+2a（x 1）= （x1） （e x+2a） ，当 a0 时，由 f（x）0，可得 x1；由 f（x）0，可得 x1，即有 f（ x）在（，1）递减；在（1，+）递增；当 a0 时，若 a= ，则 f（x ）0 恒成立，即有 f（x）在 R 上递增；若 a 时，由 f（x） 0，可得 x1 或 xln （2a） ；由 f（x）0，可得 1xln （ 2a） 即有 f（ x）在（，1） ， （ln （ 2a） ，+）递增；在（1，ln（2a） ）递减；若 a0，由 f（x） 0，可得 xln（2a）或 x1
41、；由 f（x）0，可得 ln（2a）x1即有 f（ x）在（，ln（2a） ） ， （1，+）递增；在（ln（2a） ，1）递减；（）由（）可得当 a0 时，f（x ）在（ ，1）递减；在（1，+）递增，第 23 页（共 68 页）且 f（ 1）=e0，x+，f（x ）+；x，f （x）+f（x）有两个零点；当 a=0 时，f（x）=（x 2）e x，所以 f（x）只有一个零点 x=2；当 a0 时，若 a 时，f（x）在（1，ln （ 2a） ）递减，在（ ，1） ， （ln（2a ） ，+）递增，又当 x1 时，f（x）0，所以 f（x ）不存在两个零点；当 a 时，f（x）在（1，+）单
42、调递增，又 x1 时，f （x）0，所以f（x）不存在两个零点综上可得，f（x）有两个零点时， a 的取值范围为（0，+） 12 （2016四川）设函数 f（x）=ax 2alnx，g（x ）= ，其中 aR，e=2.718为自然对数的底数（）讨论 f（x）的单调性；（）证明：当 x1 时， g（x ）0；（）确定 a 的所有可能取值，使得 f（x ）g （x）在区间（1，+）内恒成立（）解：由 f（x）=ax 2alnx，得 f（x ）=2ax = （x0） ，当 a0 时，f（x）0 在（0，+）成立，则 f（x）为（0，+）上的减函数；当 a0 时，由 f（x）=0，得 x= = ，当
43、x（0， ）时，f（x ）0，当 x（ ，+）时，f（x）0，则 f（x）在（0， ）上为减函数，在（ ， +）上为增函数；综上，当 a0 时，f （x ）为（0，+）上的减函数，当 a0 时，f（x）在（0， ）上为减函数，在（ ，+）上为增函数；第 24 页（共 68 页）（）证明：要证 g（x）0（x 1） ，即 0，即证 ，也就是证 ，令 h（x）= ，则 h（x） = ，h（x）在（1，+）上单调递增，则 h（x ） min=h（1）=e，即当 x1 时，h（x）e，当 x1 时，g（x）0；（）解：由 f（x）g（x ） ，得 ，设 t（x）= ，由题意知，t（x ）0 在（ 1，
44、+）内恒成立，t（1）=0 ，有 t（x ）=2ax = 0 在（1，+）内恒成立，令 （x）= ，则 （x）=2a = ，当 x2 时，（x）0，令 h（x）= ，h（x）= ，函数在1，2）上单调递增，h （x）min=h（1）=1又 2a1 ，e 1x0，1x 2，（x）0，综上所述，x1，（x） 0， （x ）在区间（1 ，+）单调递增，t（x ）t （1）0，即 t（x）在区间（1，+）单调递增，a 第 25 页（共 68 页）13 （2016天津）设函数 f（x）= （x 1） 3axb，xR，其中 a，b R（1）求 f（x）的单调区间；（2）若 f（x）存在极值点 x0，且 f
45、（x 1）=f（x 0） ，其中 x1x 0，求证：x1+2x0=3；（3）设 a0，函数 g（x）= |f（x）|，求证：g（x）在区间0，2上的最大值不小于 解：（1）函数 f（x）=（x1） 3axb 的导数为f（x ）=3（x1） 2a，当 a0 时，f（x）0，f（x）在 R 上递增；当 a0 时，当 x1+ 或 x1 时，f （x）0，当 1 x1+ ，f（x ）0，可得 f（ x）的增区间为（ ，1 ） ， （1+ ，+） ，减区间为（1 ，1+ ） ；（2）证明：f（x 0）=0 ，可得 3（x 01） 2=a，由 f（x 0）= （x 01） 33x0（x 01） 2b=（x 01）
