1、世界因你而转-空间直角坐标系教学案例教材分析：本节课是在二维的平面直角坐标系的基础上的一个推广，也是知识层面上的一个延拓.在教学过程中，我充分运用类比、迁移、化归等数学思想方法，有效地锻炼了学生的空间思维能力.这节课为更好的借助空间直角坐标系求解其他相关知识打基础，更为沟通高中各方面知识，完善学生的认知结构，起到很重要作用.教学目的：1、使学生能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间点的坐标确定方法.2、从求空间点的坐标的过程进一步培养学生的空间思维能力.教学重点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标.教学难点：通过建立适当的空间直角坐标系，确定空间点的坐标.教学、学
2、法分析：教法：启发式教学方法学法指导：通过激发学生学习的求知欲望，使学生主动参与教学实践活动；通过创设一个个梯度性问题，培养学生积极参与、思考的意识.教具的使用：采用多媒体教学，提高课堂的效率，增大教学容量.教学过程设计：一、引入新课：数轴上的点与唯一实数建立一一对应关系，直角坐标平面上的点也可与一有序实数对(x， y)一一对应.问题 1：在教室里，我们如何确定每位同学所在的具体位置呢？师生活动：建立平面直角坐标系，可看成平面内两垂线的交点所在位置.设计意图：体现了平面直角坐标系内点的坐标是借助一矩形得到的过程，从而用坐标确定平面内点的位置.问题 2：那我们又如何确定某位同学的头所在的位置呢？
3、师生活动：发现用平面直角坐标系不能再确定点的位置，需要第三个坐标，从二唯空间拓宽到三唯空间，并使学生深刻充分感受建立空间直角坐标系必要性.设计意图：以趣引疑，体现了要表示空间的某一位置，必须建立空间直角坐标系.问题 3：如何建立空间直角坐标系？师生活动：借助于问题 1、2，感受到只要在平面直角坐标系的基础上，通过原点再增加一根竖轴（z 轴） ，就成了空间直角坐标系,进而空间中的点可用有序实数组 表示.并zyx,通过类比，使学生顺理成章地想到空间点的坐标可能是通过借助立体图得到的.现用我们熟悉的单位正方体做模型来建立.二、讲授新课：1.空间直角坐标系： 空间直角坐标系的建立：如图， 是单位正方体
4、，以 O 为原CBADO点，分别以射线 OA，OC， 的方向为正方向，以线段 OA，OC， 的长为单位长，建立三条数轴：X轴、Y 轴、Z 轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. 坐标原点:O 坐标轴: x 轴、y 轴、z 轴 坐标平面:通过每两个坐标轴的平面，分别称 xOy平面、yOz 平面、zOx 平面. 空间直角坐标系的卦限：类比平面直角坐标系有四个象限及点关于坐标轴对称点坐标的变化，启发学生想象，坐标平面把空间分成八部分，介绍空间直角坐标系中卦限的概念，明确每个卦限中的点对应的有序实数组 中 x，y，z 的取值范围.,注意：具体建立坐标系时，要注意点 O 的任意性，一般可以利
5、用正方体、长方体中有公共顶点的三条棱 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，若中指指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系说明：本书建立的坐标系都是右手直角坐标系追本溯源：（与物理学中的右手定则间的联系）把大拇指指向 Z 轴方向，其余四指指向 X 轴方向，然后握成拳头，这时四指扫过原平面直角坐标系的第一象限从 X 轴正方向到 Y 轴正方向. 空间直角坐标系的画法 一般使 , , 135xOy135xz90yOz y 轴和 z 轴的单位长度相同，x 轴上的单位长度是 y 轴（或 z 轴）的单位长度的一半(符合斜二测画法要求)合作探
6、究：建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点 M 如何用坐标表示呢？2. 空间一点坐标的意义(从正、反两面进行说明)设点 M 为空间直角坐标系中的一点，过点 M 分别作垂直于 x 轴、y 轴、z 轴的平面，依次交 x 轴、y 轴、z轴于 P、Q、R 点，设点 P、Q、R 在 x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别是 x、y 和 z，那么点 M 就有唯一确定的有序实数组(x, y, z)；反过来，给定有序实数组(x, y, z)，可以在 x 轴、y 轴、z 轴上依次取坐标为 x、y 和 z的点 P、Q 和 R，分别过 P、Q 和 R 点各作一个平面，分别垂直于 x 轴、y 轴、z 轴，这三个平 面的
7、唯一的交点就是有序实数组(x, y, z)确定的点 M.O yzxA CBBDA C O yxMMRP Q综述: 空间的点 有序实数组(x, y, z)三、典例分析例 1 在空间直角坐标系中，作出点 P（3，2，1）.师生活动:学生有借助于长方体作图,三路线作图,按空间一点坐标的意义进行作图等.解:最佳路径(两步曲)： 在 xOy 平面内作直线 x=3 和 y=2 相交于一点 过该点 沿与 z 轴平行的方向向上移动 1 个单位即求得练习：在空间直角坐标系中，作出下列各点：（分组进行）A（0，2，4） ，B（1，0，5） ，C（0，2，0） ，D（1，3，4）例 2 如图，长方体 ABCD-AB
8、CD的边长为 AB=3，AD=4，AA=2.以这个长方体的顶点 A 为坐标原点，射线 AB，AD，AA分别为，x 轴、y 轴和 z 轴的正半轴，建立空间直角 坐标系，求长方体各个顶点的坐标.思路分析: 顶点的位置有两类:特殊点(落在坐标轴或坐标平面上)、一般卦限中的点；处理方法：特殊点按特殊位置处理；一般点按投影法进行.解: （0，0，0） （0，0，2）A（3，0，0） （3，0，2）BB（3，4，0） （3，4，2）CC（0，4，0） （0，4，2）D投影法简介(以求点 坐标为例):点 在 xOy 平面上的射影是 C，因此它的横坐标 x 与纵坐标 y 同点 C 的横坐标 x 与纵坐标y 相
9、同。在 xOy 平面上，点 C 横坐标 x=3，纵坐标 y=4。点 在 z 轴上的射影是 ，它的 A竖坐标与点 的竖坐标相同，点 的竖坐标 z=2。所以点 的坐标是（3，4，2）.AA练习: 书本 148 页练习题 2、3(师生共同活动完成练习并开展思路延拓训练)延伸 1：（类比思想）平面直角坐标系中，已知 ，则线段 AB 的中点坐标：21,yxB空间直角坐标系中，已知 ，)2,(11yx21,zyxBzyxA则线段 AB 的中点公式： ),2(21211延伸 2：特殊点坐标的特点xOy 坐标平面内的点的特点：（m，n，0）xOz 坐标平面内的点的特点：（m，0，n）yOz 坐标平面内的点的特
10、点： （0，m，n）x 轴 上的点的坐标的特点： （m，0，0）y 轴 上的点的坐标的特点： （0，m，0）z 轴 上的点的坐标的特点： （0，0，m） 1例 3 结晶体的基本单位称为晶胞(如图是食盐晶胞的示意图).其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子.建立空间直角坐标系 Oxyz 后，试写出全部钠原子所在位置的坐标.解：把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在位置的坐标.下层的原子全部在 xOy 平面上所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为：（0，0，0） ，（1，0，0） ， （1，1，0） （0，1，0） ， （ ，12，0）;2中层的原子所在的平面平行于 xOy 平面，与 z轴交点的竖
11、坐标为 ，所以这四个钠原子所12在位置的坐标分别是（ ，0， ） ， （1， ， ） ， （ ，1， ） ， （0， ， ）;上层2212的原子所在的平面平行于 xOy 平面，与 z 轴交点的竖坐标为 1，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是（0，0，1） ， （1，0，1） ， （1，1，1） ， （0，1，1） ， （ ， ，1）.探究:若题中没有建立空间直角坐标系,还可以怎样建立坐标系?师生活动:建立坐标系方式很多,以最特殊方式为例(如右图)分析,可求得相关点的坐标.设计意图:使学生感受:同一个点,因建系方式不同而坐标不同,体现自主学习.延伸 3: 空间对称点 (借助于探究性学习结果)一
12、般的点 P(x , y , z) 关于：（1） x 轴对称的点 为 ;1pzyx,（2） xoy 平面 对称的点 为 ;2（3） 原 点 对称的点 为 ;3zyx,归纳：（1） （2）中关于谁对称谁不变， （3）中两对称点相应坐标均成相反数.例 4 已知正三棱柱 各棱长均为，如图建立空间直角坐标系，试求各顶点CBA的坐标.思路分析: 顶点的位置有两类:特殊点(落在坐标轴或坐标平面上)、一般卦限中的点；处理方法：特殊点按特殊位置处理；一般点按投影法进行.解: 过点 B 作 于 D,则D（0，0，0） （0，0，2） A（ ，1，0） （ ，1，2） 3B3（0，2，2） （0，2，0） CC探究
13、:若题中没有建立空间直角坐标系,该怎样建立?师生活动:建立坐标系方式很多,给学生充分时间思考.以(如右图)分析,可求得相关点的坐标.解: 以 AB 中点 O 为原点,建立如图所示的坐标系,则（-1，0，2） （-1，0，0） AA（1，0，0） （1，0，2） BB（0， ，0） （0， ，2）C3C3设计意图:和学生共同感受 也可,突破思维定性,更符合斜二测画法要求,点击45xy教学用书中的遗漏之处. 四、课时小结1. 空间（右手）直角坐标系的概念、画法2. 给出点写出坐标及给出坐标如何找点3. 会求空间一点关于坐标平面、坐标轴及原点的对称点 五、说明结合课堂教学中的相关情景加以反思整合而成的该则新案例,在具体教学过程中辅以多媒体教学,倡导自主学习,给学生以充分思考时间,是在新课改下的一种新型尝试.世界因你(思)而转,一点一点公转,相信只要我们积极贯彻新课改理念,加强理论与实践结合,勇于思考,积极探索,取其精华,课改将在不断反思中越趋成熟.
