1、2018 年高考数学走出题海之黄金 30 题系列专题一 经典母题母题 1【集合运算】 （2016 浙江理 1）已知集合 ， ，则13PxR 24QxR（ ）.PQRUA. B. C. D.2,32,3,2(,2,)UB 解析 因为 ，所以 ，所以4x4(QxR.()(,)1,QPRU故选 B.母题 2【数学文化】 【2017 浙江，11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 ，理论上能把 的值计算到任意精度祖冲之继承并发展了“割圆术”，将 的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 ， 6S【答案】 32母题 3【函数的概念】
2、【2015 高考浙江，理 7】存在函数 满足，对任意 都有（ ）()fxxRA. B. C. D. (sin2)ifx2(sin)fx212()1fx【答案】D.母题 4【函数的性质】 （2016 浙江理 5）设函数 ，则 的最小正周期（ ）.2()sinifxbxc()fxA.与 有关，且与 有关 B.与 有关，但与 无关 C.与 无关，且与 无关 D.与 无关，但与bcbcbcc有关cB 解析 ， 的21os2os21()sini inin2xxfxxcosyx最小正周期为 ， 的最小正周期为 .当 时， ，此时 的最y0bc()f ()f小正 周期是 ;当 时，此时 的最小正周 期为 ，
3、所以 影响 的最小正周期，而 为常0bfx2b()fxc数项不影响 的最小正周期.故选 B. ()fx母题 5【 解三角形的实际应用问题】 【2014 年.浙江卷.理 17】如图，某人在垂直 于水平地面 的墙面前的点 处进行射击训练.已知点 到墙面的距离为 ，某目标点 沿墙面的射击线 移动，此人为了准确瞄准目标点 ，需计算由点 观察点 的仰角 的大小.若 则 的最大值 答案： 539解析：由勾股定理可得， ，过 作 ，交 于 ，连结 ，则 ，设20BCPBCPAtanPA，则 ，由 得， ，在直角 中，BPxx3M3tan02xB，故 ，令 ，22155Axx220tan355xxA205yx
4、，2 22 22110 5xxyx x 22x令 得， ，代入 得， ，故 的最0y45x203tan5xA20353tan9xAtan大值为 学科网539母题 6【充要条件、等差数列的求和】 【2017 浙江，6】已知等差数列a n的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d0”是“S 4 + S62S5”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由 ，可知当 ，则 ，即dadaS)105(2102564 002564S，反之， ，所以为充要条件，选 C564S64母题 7【与等差数列相关问题】 【2016 高考浙江理数】如图，点列 An， B
5、n分别在某锐角的两边上，且， ，122,nnnAA*N122,nnB*N（ ）.若 （ ）PQ表 示 点 与 不 重 合 1ndAS， 为 的 面 积 ， 则A 是等差数列 B 是等差数列nS 2nSC 是等差数列 D 是等差数列d d【答案】A母题 8【线性规划】 【2016 高 考浙江理数】在平面上，过点 P 作直线 l 的 垂线所得的垂足称为点 P 在直线l 上的 投影由区域 中的点在直线 x+y 2=0 上的投影构成的线段记为 AB，则 AB=（ 2034xy）来源:Zxxk.ComA2 B4 C3 D26【答案】C母题 9【直线和抛物线位置关系】 【2015 高考浙江，理 5】如图，
6、设抛物线 的焦点为 ，不经过焦24yxF点的直线上有三个不同的点 ， ， ，其中点 ， 在抛物线上，点 在 轴上，则 与ABCABCyBCF的面积之比是（ ）ACF来源:学科网 ZXXKA. B. C. D. 1BFA21BFA1BFA21BFA【答案】A.【解析】 ，故选 A.1FxCSABAFB母题 10【二面角问题】 【2017 浙江，9】如图，已知正四面体 DABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R 分别为 AB，BC，CA 上的点，AP=PB， ，分别记二面角 DPRQ，DPQR，DQR2BQCRAP 的平面角为 ，则A E()1D()21E()21()2C ， ， 12 D【答
7、 案】A【解析】试题分析： 1212(),(),()EpE，选 A1122121212(),(1),()()0DppDpp母题 19【异面直线所成的角】 【2015 高考浙江，理 13】如图，三棱锥 中，ABCD，点 分别是 的中点，则异面直线 ， 所成3,ABCABC,MN, NCM的角的余弦值是 【答案】 .87【解析】如下图，连结 ，取 中点 ，连结 ， ，则可知 即为异面直DNPMCP线 ， 所成 角（或 其补角）易得 ，ANCM21AN， ，3122PC ，即异面直线 ， 所成角的余弦值为 .87cos 87母题 20【函数、绝对值的性质】 【2017 浙江，17】已知 R，函数 在
8、区间1，4axf|4|)(上的最大值是 5，则 的取值范围是_ a【答案】 9(,2【解析】母题 21【数列递推公式】 【2016 高考浙江理数】设数列 an的前 n 项和为 Sn.若 S2=4， an+1=2Sn+1， nN *，则 a1= ， S5= .学科网【答案】 21【解析】 ，1 124, ,3aa再由 ，又 ，来源:学科网1112,() 3(2)nnnnnaS a213a所以51533(),2.母题 22【函数的综合运用】 （2016 浙江理 18）已知 ，函数 ，2()mi,42Fxxa其中 min,p,q.（1）求使得等式 成立的 的取值范围；2()42Fxax（2） （i）
9、求 的最小值 ；()m（ii）求 在区间 上的最大值 .()x0,6()M【解析】 （1）由 ，所以当 时， ，所以此3a1x2 2421(1)0axxax时 ；()2Fx当 时， .要使式小于等于 ，即 ，42()xxx（ ） 2xa 所以此时 .2()42Fxa由上所述使得等式 成立的 的取值范围为 .xax2,a（ii）当 时， ，所以 在 或 时取得最大值为02x21FxfxFx02x；F当 时， ，所以 在两端点 或26x2244xgxaxaFx2时取得最大值. ， ，所以当 时，有 ；F6383 26当 时，有 ，所以 .4a 2 ,24a母题 23【解三角形】 【2016 高考浙
10、江理数】在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c. 已知b+c=2a cos B.（I）证明： A=2B；（II）若ABC 的 面积 ，求角 A 的大小.2=4aS（II）由 得 ，故有24aS21sinC4ab，sinCiico因 ，得 0sn又 ， ，所以 ,2当 时， ；C2A当 时， 4综上， 或 母题 24【数列和不等式交汇】 【2016 高考浙江理数】设数列 满足 ， na12na（I）证明： ， ；12nan（II）若 ， ，证明： ， 3n2na【解析】 （I）由 得 ，故12na1n， ，12nna所以1122312 2n naaaa11n，因此1
11、2na（II）任取 ，由（I）知，对于任意 ，mn1121222nmnn maaa11nm，2故 12mnna132nnm4n从而对于任意 ，均有324mnna由 的任意性得 2na否则，存在 ，有 ，取正整数 且 ，则00n00342lognam0mn，00340 02log324namn与式矛盾综上，对于任意 ，均有 n2na母题 25【数列、不等式、数学归纳法】 【2017 浙江，22】已知数列x n满足：x 1=1，x n=xn+1+ln(1+xn+1)（）Nn证明：当 时，（）0x n+1x n；（ ）2x n+1 xn ；来源:学科网 ZXXK12（） x n 12【答案】 （）见
12、解析；（）见解析；（）见解析【解析】（）由 得11)ln(nnxx 211114(2)ln()nnnxxxx母题 26【直线和椭圆位置关系】 【2016 高考浙江理数】 （本题满分 15 分）如图，设椭圆（ a1）.2xy（ I） 求 直 线 y=kx+1 被 椭 圆 截 得 的 线 段 长 （ 用 a、 k 表 示 ） ；（ II） 若 任 意 以 点 A（ 0,1） 为 圆 心 的 圆 与 椭 圆 至 多 有 3 个 公 共 点 ， 求 椭 圆 离 心 率 的 取 值范 围 .【解析】 （I）设直线 被椭圆截得的线段为 ，由 得1ykxA21ykxa，2210akx故， 10x221ak因
13、此22 211akkxA（II）假设圆与椭圆的公共点有 个，由对称性可设 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 ， ，满足4yQQ记直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ， ， A1k2120k12k由（I）知， ，221ak22Q1ak故，222121akak所以 22221 10ak由于 ， ， 得2k120k，来源:学科网 ZXXK来源:学&科&网 Z&X&X&K11a因此， 2221 ak因为式关于 ， 的方程有解的充要条件是12k，2a所以因此，任意以点 为圆心的圆与椭圆至多有 个公共点的充要条件为0,1A3，12a由 得，所求离心率的取值范围为 ce 20e母题 27【立体几何线面关系、空间的
14、角】 【2017 浙江，19】如图，已知四棱锥 PABCD，PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形， ，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，E 为 PD 的中点ADBC/PABCDE（）证明： 平面 PAB；/E（）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值【答案】 （）见解析；（） 82【解析】试题解析：MFHQNPABCDEMH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影，所以QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角设 CD=1在PCD 中，由 PC=2，CD=1，PD= 得 CE= ，2在PBN 中，由 PN=BN=1，PB= 得 QH= ，341在 RtMQH 中，QH= ，MQ
15、= ，41所以 sinQMH= ， 所以直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值是 82 82母题 28【抛物线、直线和圆锥曲线的位置关系】 【2017 浙江，21】如图，已知抛物线 ，点 A2xy， ，抛物线上的点 过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q1()24， 39()B， )231)(,xyP（）求直线 AP 斜率的取值范围；（）求 的最大值|PQA【答案】 （） ；（）)1,(276【解析】试题解析：（）设直线 AP 的斜率为 k，则 ， ，直线 AP 斜率的取值范围是2142x32x)1,(（）联立直线 AP 与 BQ 的方程0,2493,kxy解得点 Q 的横坐标是 ，因
16、为|PA|= =)1(234kxQ 21()kx)1(2k|PQ|= ，所以|PA|PQ|=)(122k 3)(令 ，因为 ，所以 f(k)在区间 上单调递增，3)(f 2)1(4)( kkf )21,(上单调递减，因此当 k= 时， 取得最大值 )1,2( 12|PQA2716母题29【导数的综合运用】 【2017浙江，20】已知函数 f(x)=（ x ） （ ）ex12（）求 f(x)的导函数；（）求 f(x)在区间 上的取值范围来源:学科网 ZXXK1+)2，【答案】 （） ；（）0， xexf )12( 12e【解析】（）由解得 或 来源:Zxxk.Com因为x来源:学_科_网 （ ）1 （ ） （ ）- 0 + 0 -f（x） 0 又 ，所以 f（x）在区间 ）上的取值范围是 母题 30【三角恒等变换、三角函数的性质】 【2017 浙江，18】已知函数 f（ x）=sin 2xcos2x sin 3x cos x（ x R）（）求 的值来源:Z,xx,k.Com)32(f（）求 的最小正周期及单调递增区间)(xf【答案】 （）2；（）最小正周期为 ，单调递增区间为 Zkk32,6【解析】（）由 与 得xx22sincosxcosin2i)6(3)( f所以 的最小正周期是x由正弦函数的性质得 Zkxk,232解得 Zxk,36所以 的单调递增区间是 )(f kk3,6
