1、2017-2018 学年度下学期高中期末备考高一【数学热点难点突破练】专题 02 三角函数的图象和性质对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用、计算为主，同时，对三角函数（特别是 xAysinR）图象与性质的考查力度有所加强，往往将恒 等变换与图象和性质结合考查.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中低档为主，重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法. 本专题围绕三角恒等变换及三角函数的图象和性质精选例题，并给出针对性练习，以期求得热点难点的突破.【热点难点突破】例 1. 将函数 的图象向右平移 个单位长度 ，所得图象对应的函
2、数（ ）=(2+5)A. 在区间 上单调递增 B. 在区间 上单调递减34,54 34,C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上单调递减54,32 32,2【答案】A【解析】分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.详解：由函数图象平移变换的性质可知：将 的图象向右平移 个单位长度之后的解析式为：.=2(10)+5=2则函数的单调递增区间满足： ，2222+2()即 ，令 可得一个单调递增区间为： .=1函数的单调递减区间满足： ，即 ，+4+34()令 可得一个单调递减区间为： .=1 54,74本题选择 A 选项.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数
3、的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.例 2. 同时具有性质“最小正周期是 ；图象关于直线 3x对称；在 ,63上是增函数”的一个函数是（ ）A. sin26xy B. cos23yx C. sin26yx D. cos26yx【答案】C考点：三角函数的周期，单调性，对称性例 3. 将函数 的图像向左平移 的单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可详解： 将函数 的图像向左平移 的单位后，()=3sin2cos2=2(26)得到 =212(+)6=2(2+26)，由题所得图像
4、对应的函数为偶函数，则 26=+2,=2+43,又 ，所以 的最小值是 .43故选 C学科！网点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，由图像对应的函数为偶函数得到 是解决本26=+2,题的关键例 4. 已知函数 sinfxAx（其中 0,2A）的部分图象如下图所示，则 fx的解析式为_【答案】 fxsin23【解析】由图知，A=1；又 74124T，T= ，又 ，=2 ；f(x)=A sin(2x+)经 过( 3,0)，且在该处为递减趋势， 2k,Z3， .由 2，得 3f(x)的解析式为： fxsin.故答案为： fi23.点睛：已知图象求函数 sinfxAx解析式的方法（1）根据图象得到函数
5、的周期 T，再根据 2T求得 （2） 可根据代点法求解，代点时一般将最值点的坐标代入解析式；也可用“五点法”求解 ，用此法时需要先判断出“第一点”的位置，再结合图象中的点求出 的值例 5. 已知函数 sin2(0)fxx的图象关于点 5,04M对称，且在区间 0,2上是单调函数，则 的值为_【答案】 25点睛：这个题目考查了三角函数的图像和性质；这种题目一般应用图像的对称性，轴对称性和点对称性，再就是单调性，由单调性就可以得到周期的大概范围，解决这类题目还要注意结合函数的图像的整体性质。例 6. 函数 的部分图象如图所示.()=sin(+)(0,0,|0,0,0,|0,0)(1) .max=+
6、， min=(2)周期=2.(3)由 求对称轴(4)由 求增区间;2+2+2+2()由 求减区间.2+2+32+2()9函数 sincos4fxx 0,的 最大值是_ 【答案】 54【解析】由题意得 sin2cos()2sincosin4fxxxx，令 cosico4tx，则 22in1t，且 1t故2254yttt， 1t，所以当 1t时，函数 21yt取得最大值，且 max54y，即函数 fx的最大值为 54答案： 54点睛：（1）对于 sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，当其中一个式子的值知道时，其余二式的值可求，转化的公式为(sin cos )21 2sin
7、 cos （2 ）求形如 yasin xcos x b(sin xcos x)c 的函数的最值（或值域）时，可先设 tsin xcos x，转化为关于 t 的二次函数求最值（或值域） 10电流强度 (安)随时间 秒变化的函数 的图象如下图所示，则当,秒时,电流强度是_【答案】-5（安）【解析】由图象可知， 函数 ，为五点中的第二点， ， ， ，当02,=6 =10(100+6)秒时， 安，故答案为 （安）.=1100 =5 5【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出,利用图象先求出周期，用周期公式求出 ，利用特殊点求出 ，正确求 是解题的关
8、键.求解析时求参 ， 数 是确定函数解析式的关键，由特殊点求 时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法 求 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口， “第一点”(即图象上升时与 轴的交点) 时 ；“第二点”(即图象的“峰点”) 时 ；“第三点”(即图象下降时与 轴的交点) 时+=0+=2 ；“ 第四点”( 即图象的 “谷点”) 时 ；“第五点”时 .学科网+=+=32 +=2三、解答题11已知函数 2sinfx（ 0）（1）若 6，用“五点法”在给定的坐标系中,画出函数 fx在0,上的图象（2）若 fx偶函数，求 （3）在（2）的前提下，将函数 yfx的图象向右平移 6个
9、单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 g的图象，求 gx在 0， 的单调递减区间【答案】 （1）见解析；（2） 23；（3） ,.试题解析：（1）当 fx2sin66时 ， （ ） ，列表：函数 0,yfx在 区 间 上 图 像 是（2） 3sin2cos2fxxx sin26x 因为 fx为偶函数，则 y 轴是 fx图像的对称轴所以 sin6=1，则 62kZ即 23kZ又因为 0，故 3 （用偶函数的定义解也给分）.（3）由（2）知 ，将 f(x)的图象向右平移 个单位后，得到 的图象，再将横坐标变为原来的 4 倍，得到 ,所以当 ，即 时， 的单调
10、递减，因此在 的单调递减区间 .点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，属于基础题；图象的伸缩变换的规律：（1）把函数 yfx的图像向左平移 (0)h个单位长度，则所得图像对应的解析式为yfh，遵循“左加右减”；（2）把函数 yfx图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 倍（ 0） ，那么所得图像对应的解析式为 1f.12设函数 2cos3sinfxxR.（1）求函数 y的周期和单调递增区间；（2）当 0,2x时，求函数 fx的最大值.【答案】 （1） ,36kkZ；（2）3.【解析】试题分析：（1）本问考查三角恒等变换公式， 2cos3incosfxx ，根据二倍角公式整理
11、可得 2 1cos13sin2sico2sin6fxxx，然后根据正弦型函数图象及性质周期为 T ， 6kkZ 即可求得递增区间；（2）本问考查求三角函数值域问题，可以根据整体法，由 0,2x ，求出 6x 的取值范围，然后根据正弦函数图象，可以求出函数 fx的值域，于是得到最大值.试题解析：（1）因为 2cos3sinf x 2i16x.26kxk， kk，函数 yf的单调递增区间为： ,36 Z；（2） 0,3x， 72,6x，1sin,6，2ifxx的最大值是 3.13已知函数 sin(0,)2fA的最小正周期为 ，函数的图象关于点,012中心对称，且过点 ,12.（I）求函数 fx的解析式；（II）若方程 210fa在 ,2x上有解，求实数 a的取值范围.【答案】() sin6fx；() 1,5a.【解析】试题分析：（I）由最小正周期为 得 2，函数的图象关于点 ,012中心对称得 6，进而得解析式；（II）由 4sin216ax，结合 0,2x求函数值域即可.试题解析：() .来源 :学科网 ZXXK.() .
