1、整数规划建模,应用最广泛的整数规划问题是各种类型的决策问 题，决策者希望模型能回答诸如：是否要执行某些项 目（或某些活动），在什么时候或什么地点执行等决 策问题，回答这类“是否”或“有无”问题可借助整 数规划中的0-1整数变量。0-1整数变量只有两个选择，0由于它在数学上的 特性可以很好的代表“无”或“否”，而1则可以很好地代 表“有”或“是”。0-1变量由于它的特殊性也被称为二进 制变量、决策变量或逻辑变量。,0-1变量的作用,1. xj,1方案j被选中0方案j未被选中,2. 从n个方案中必须选中一个：,3. 从n个方案中最多选中m个：,4. 方案i只有在方案j选中时，才可能被选中：,5.
2、方案i与方案j是否选中是同时的：,与01变量相关的几个实际问题,1. 投资问题,现有总额为b的资金可用于投资，共有n个项目可 供投资者选择，已知项目j所需投资额为aj，投资后可 得利润cj（j 1，2，n），不妨设b，aj，cj 均是 整数，试问为使所得利润最大，应选取那些项目进行 投资？,先引入01变量xj，令,xj,1对项目j投资0否则,则可得到如下整数规划问题：,例1：华美公司有5个项目被列入投资计划，各项目的投 资额和期望的投资收益见下表：,该公司只有600万元资金可用于投资，由于技术上 的原因，投资受到以下约束：在项目1、2和3中必须 有一项被选中；项目3和4只能选一项；项目5被选
3、中的前提是项目1必须被选中。问如何在上述条件下选 择一个最好的投资方案，使投资收益最大。,令0-1变量为决策变量，即xi1表示选中项目i， 否则xi0表示项目i未被选中。则模型可以表示为：,解：,2. 背包问题,背包问题由来以久，它是从旅行者如何选择放在 背包中的用品引出的。旅行者可背负的重量有限，但旅行者需要携带的 物品很多，如：食品、水、衣物、帐篷、急救用品等 等，旅行者不可能将所有想携带的物品都统统背上， 他只能选择那些最重要的物品随身携带，又不超过他 可能负担的最大重量，为解决这个问题，旅行者可给 每种物品指定一个重要性系数，他的目标是在小于一 定重量的前提下，使所携带的物品的重要性系
4、数之和 最大。,例2 ：一登山队员做登山准备，他需要携带的物品有： 食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相机和通讯设备 每种物品的重要系数和重量如下表所示，假定登山队 员可携带的最大重量为25千克。问他如何抉择？,令xi1表示登山队员携带物品i，xi0表示 不带物品i。则问题可写为：,Max z =20x1+15x2+18x3+14x4+8x5+4x6+10x7 s.t. 5x1+ 5x2 + 2x3+6x4+12x5+2x6+4x725xi=1或0，i=1,2,7,解：,背包问题应用（作业）,要把7种规格的包装箱装到两辆铁路平板车上去，包装箱的宽和高相同，但厚度和重量不同，见下表：每辆车有10.
5、2m长的地方可以用来装箱（类似面包片），载重为40吨。C5， C6 ， C7 ，三类包箱所占总空间（厚度）不超过302.7cm，试建立数学模型，尽量将这些包装箱装到平板车上去，使浪费的空间最小。,例3.一公司考虑在四个城市：北京、上海、广州和武汉设立库房。 这些库房负责向三个地区：华北、华中和华南地区发运货物，每 个库房每月可处理货物1000件。在北京设库房每月的成本为4.5万 元。上海为5万元，广州为7万元，武汉为4万元。每个地区的月平 均需求量为：华北每月600件，华中每月700件，华南每月800件。 发运货物的费用（元/件）见下表：,公司希望在满足地区需要的前提下使平均月成本最小，且还
6、要满足以下条件：如果在上海设立库房，则必须也在武汉设库 房；最多设立三个库房；武汉和广州不能同时设立库房。请建立一个满足上述要求的整数规划模型。,3. 工厂选址运输问题,设每个月从仓库i运往地区j的产品的货物数量为xij，引入01变量yi= 1表示在Ai设立仓库，否则不设。,设每个月的总花费为z，则上述问题的数学模型为,Min z200x11+400x12+500x13+300x21+250x22+450x23 +600x31+400x32+250x33+300x41+150x42+350x43+45000y1+50000y2+70000y3+40000y4 s.t. x11+x12+x131
7、000y1x21+x22+x231000y2x31+x32+x331000y3x41+x42+x431000y4x11+x21+x31+x41600x12+x22+x32+x42700x13+x23+x33+x43800y2-y40y1+y2+y3+y43y3+y4 1xij0；yi0或1；i=1,2,3,4；j=1,2,3,工厂选址运输问题,设有n个需求点，有m个可供选择的厂址， 每个厂址只能建一个工厂，在i处建厂，生产 能力为Di，单位时间的固定成本为ai，需求点 j的需求量为bj，从厂址i到需求点j的单位运费 为Cij，问应如何选择厂址才能获得经济上的总 花费最小的方案。,设在单位时间内
8、，从厂址i运往需 求点j的产品数量为xij，引入01变量yi=,1在i地建厂0否则,设在单位时间内的总花费为z，则上述问题的数学模型为,4.集合覆盖和布点问题,集合覆盖问题也是典型的整数规划问题，在集合 覆盖问题中，一个给定集合（集合一）的每一个元素 必须被另一个集合（集合二）的元素所覆盖。在满足 覆盖集合一所有元素的前提下，集合覆盖问题的目标 是求需要的集合二的元素最少，该问题之所以又称为 布点问题，是因为它常被用于一些公共设施，如：学 校、医院、商业区、消防队等设施的布点问题，解决 如何既满足公共要求，又使布的点最少，以节约投资 费用。,例4：解决某市消防站的布点问题：某城市共有6个区，每
9、个都可以建消防站。市政府希望建设的消防站最少，但必须满足在城市任何地区发生火警时，消防车要在15分钟内赶到现场。据实地测定，各区之间消防车行驶的时间见下表：请帮助该市制定一个最节省的计划。表3.5消防车在各区行驶距离表地区1 地区2 地区3 地区4 地区5 地区6 地区1 0 10 16 28 27 20 地区2 10 0 24 32 17 10 地区3 16 24 0 12 27 21 地区4 28 32 12 0 15 25 地区5 27 17 27 15 0 14 地区6 20 10 21 25 14 0,解：Xj=1表地区设消防站， Xj=0表地区不设消防站。Z消防站总数，则模型如下：
10、MinZ=X1+X2+X3+X4+X5+X6s.t： X1+X21X1+X2+X61X3+X41X3+X4+X51X4+X5+X61X2+X5+X61Xj=0，1；j=1，2，3，4，5，6。,作业,某市有8个区，救护车从一个区开往另一个区所需时间：,该市只有两辆救护车，且希望救护车，所在的位置能使 尽可能多的人口位于救护车在两分钟内可达到的范围内 ，请帮助该市构造一个整数规划模型来解决这个问题。,5. 指派问题在生活中经常遇到这样的问题，某单位需要完成n项任务，恰好有n个人可以承担这些任务，由于每个人的专长不同，个人完成不同任务的效率（时间、费用等）也不同。于是产生了指派哪个人去完成哪项任务，使总效率最高，称为指派问题（Assignment Problem）。,已知上面5名运动员各种姿势游泳成绩（50m），试问如何从中选拔一个200m混合泳的接力队，使预期比赛成绩最好。（列出整数规划模型）,5.指派问题（作业）,
