1、1,第四章 模拟信号的数字化,4.1 引言 两类信源：模拟信号、数字信号 模/数变换的三步骤：抽样、量化和编码 最常用的模/数变换方法：脉冲编码调制 (PCM),2,4.2 模拟信号的抽样4.2.1 低通模拟信号的抽样 通常是在等间隔T上抽样 理论上，抽样过程 周期性单位冲激脉冲 模拟信号 实际上，抽样过程 周期性单位窄脉冲 模拟信号 抽样定理：若一个连续模拟信号s(t)的最高频率小于fH，则以间隔时间为T 1/2fH的周期性冲激脉冲对其抽样时，s(t)将被这些抽样值所完全确定。,3,抽样定理的证明：设： s(t) 最高频率小于fH的信号，T(t) 周期性单位冲激脉冲，其重复周期为T，重复频率
2、 为fs = 1/T 则抽样信号为：设sk(t)的傅里叶变换为Sk(f) ，则有：式中，Sk(f) sk(t)的频谱S(f) s(t)的频谱( f ) T(t)的频谱(f )是周期性单位冲 激脉冲的频谱，它可以求 出等于：,4,将 代入 ，得到由上式看出：由于S(f - nfs)是信号频谱S(f)在频率轴上平移了nfs的结果，所以抽样信号的频谱Sk(f)是无数间隔频率为fs的原信号频谱S(f)相叠加而成。因已经假设s(t)的最高频率小于fH，所以若上式中的频率间隔fs 2fH，则Sk(f)中包含的每个原信号频谱S(f )之间互不重叠，如图所示。这样就能够从Sk(f )中分离出信号s(t)的频谱
3、S(f)，并能够容易地从S(f)得到s(t)；也就是能从抽样信号中恢复原信号，或者说能由抽样信号决定原信号。这里，恢复原信号的条件是：2fH称为奈奎斯特(Nyquist)速率。与此相应的最小抽样时间间隔称为奈奎斯特间隔。,5,由抽样信号恢复原信号的方法 ： 从频域看：当fs 2fH时，用一个截止频率为fH的理想低通滤波器就能够从抽样信号中分离出原信号。 从时域中看，当用抽样脉冲序列冲激此理想低通滤波器时，滤波器的输出就是一系列冲激响应之和，如图所示。这些冲激响应之和就构成了原信号。 理想滤波器是不能实现的。实用滤波器的截止边缘不可能做到如此陡峭。所以，实用的抽样频率fs 必须比 2fH 大较多
4、。 例如，典型电话信号的最高频率限制在3400 Hz，而抽样频率采用8000 Hz。,6,4.2.2 带通模拟信号的抽样 带通信号的频带限制在fL和fH之间，即其频谱低端截止频率明显大于零。 要求抽样频率fs ： 式中，B 信号带宽， n 小于fH/B的最大整数，0 k 1。 由图可见，当fL = 0时，fs 2B，当fL很大时，fs2B。图中的曲线表示要求的最小抽样频率fs，但是这并不意味着用任何大于该值的频率抽样都能保证频谱不混叠。,7,4.2.3 模拟脉冲调制脉冲振幅调制PAM 脉冲宽度调制PDM 脉冲位置调制PPM,8,4.3 抽样信号的量化4.3.1 量化原理 量化的目的：将抽样信号
5、数字化。 量化的方法： 设s(kT) 抽样值， 若用N位二进制码元表示，则只能表示M = 2N个不同的抽样值。 共有M个离散电平，它们称为量化电平。 用这M个量化电平表示连续抽样值的方法称为量化。 例：见图，图示为均匀量化。,9,4.3.2 均匀量化 设：模拟抽样信号的取值范围：ab量化电平数 M则均匀量化时的量化间隔为：量化区间的端点为：若量化输出电平qi 取为量化间隔的中点，则有量化噪声量化输出电平和量化前信号的抽样值 之差 信号功率与量化噪声之比（简称信号量噪比）,10,求量化噪声功率的平均值Nq ：式中，sk为信号的抽样值，即s(kT)sq为量化信号值，即sq(kT)f(sk)为信号抽
6、样值sk的概率密度E表示求统计平均值M为量化电平数求信号sk的平均功率 ：由上两式可以求出平均量化信噪比。,11,【例4.1】设一个均匀量化器的量化电平数为M，其输入信号抽样值在区间-a, a内具有均匀的概率密度。试求该量化器的平均信号量噪比。解： 或 （dB）,12,4.3.3 非均匀量化 均匀量化的缺点：量化噪声Nq是确定的。但是，信号的强度可能随时间变化，例如语音信号。当信号小时，信号量噪比也就很小。非均匀量化可以改善小信号时的信号量噪比。非均匀量化原理：用一个非线性电路将输入电压 x 变换成输出电压 y： y = f (x)当量化区间划分很多时，在每一量化区间内压缩特性曲线可以近似看作
7、为一段直线。因此，这段直线的斜率可以写为 或设x和y的范围都限制在0和1之间，且纵座标y在0和1之间均匀划分成N个量化区间，则有区间间隔为：,13,由有为了保持信号量噪比恒定，要求： x x即要求： dx/dy x 或 dx/dy = kx, 式中 k =常数由上式解出：为了求c，将边界条件(当x = 1时，y = 1)，代入上式，得到k + c =0， 即求出： c = -k， 将c值代入上式，得到由上式看出，为了保持信号量噪比恒定，在理论上要求压缩特性为对数特性 。对于电话信号，ITU制定了两种建议，即A压缩律和压缩律，以及相应的近似算法 13折线法和15折线法。,14,A压缩率式中，x为
8、压缩器归一化输入电压；y为压缩器归一化输出电压；A为常数，决定压缩程度。A律中的常数A不同，则压缩曲线的形状不同。它将特别影响小电压时的信号量噪比的大小。在实用中，选择A等于87.6。,15,13折线压缩特性 A律的近似 A律是平滑曲线，用电子线路很难准确地实现，但很容易用数字电路来近似实现。 13折线特性就是近似于A律的特性。 图中x在01区间中分为不均匀的8段。1/2至1间的线段称为第8段；1/4至1/2间称为第7段；1/8至1/4间称为第6段；依此类推，直到0至1/128间的线段称为第1段。 纵坐标y则均匀地划分作8段。将这8段相应的座标点(x, y)相连，就得到了一条折线。 除第1和2
9、段外，其他各段折线的斜率都不相同： 折线段号 1 2 3 4 5 6 7 8 斜 率 16 16 8 4 2 1 对交流信号，正负第1和2段斜率相同，故共有13段折线。,16,A律和13折线法比较i 8 7 6 5 4 3 2 1 0 y =1-i/8 0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1 A律x值 0 1/128 1/60.6 1/30.6 1/15.4 1/7.79 1/3.93 1/1.98 1 13折线法 0 1/128 1/64 1/32 1/16 1/8 1x=1/2i 折线段号 1 2 3 4 5 6 7 8 折线斜率 16 16 8 4 2 1 从表中
10、看出，13折线法和A = 87.6时的A律压缩法十分接近。,17,压缩律和15折线压缩特性 A律中，选用A=87.6有两个目的: 1. 使曲线在原点附近的斜率16，使16段折线简化成13段； 2. 使转折点上A律曲线的横坐标x值 1/2i (i = 0, 1, 2, , 7)。 若仅要求满足第二个目的：仅要求满足当 x = 1/2i 时，y = 1 i/8，则可以得到律：15折线：近似律,18,15折线法的转折点坐标和各段斜率i 0 1 2 3 4 5 6 7 8y = i/8 0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1x=(2i - 1)/255 0 1/255 3/25
11、5 7/255 15/255 31/255 63/255 127/255 1斜率 255 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256 1/512 1/1024段号 1 2 3 4 5 6 7 8 由于其第1段和第2段的斜率不同，不能合并为一条直线，故考虑交流电压正负极性后，共得到15段折线。,19,13折线法和15折线法比较比较13折线特性和15折线特性的第一段斜率可知，15折线特性第一段的斜率（255/8）大约是13折线特性第一段斜率（16）的两倍。所以，15折线特性给出的小信号的信号量噪比约是13折线特性的两倍。但是，对于大信号而言，15折线特性给出的信号量噪比要比13折
12、线特性时稍差。这可以从对数压缩式(4.3-22)看出，在A律中A值等于87.6；但是在m律中，相当A值等于94.18。A值越大，在大电压段曲线的斜率越小，即信号量噪比越差。,20,非均匀量化和均匀量化的比较现以13折线法为例作一比较。若用13折线法中的（第1和第2段）最小量化间隔作为均匀量化时的量化间隔，则13折线法中第1至第8段包含的均匀量化间隔数分别为16、16、32、64、128、256、512、1024，共有2048个均匀量化间隔，而非均匀量化时只有128个量化间隔。因此，在保证小信号的量化间隔相等的条件下，均匀量化需要11比特编码，而非均匀量化只要7比特就够了。,21,4.4 脉冲编
13、码调制4.4.1脉冲编码调制（PCM）的基本原理 抽样 量化 编码 例：见右图3.15 3 0113.96 4 100 方框图：,22,4.4.2 自然二进制码和折叠二进制码折叠二进制码的特点： 有映像关系，最高位可以表示极性，使编码电路简化； 误码对小电压影响小，可减小语音信号平均量化噪声。,23,13折线法中采用的折叠码 共8位：c1至 c8 c1：极性 c2 c4：段落码 8种段落斜率 c5 c8：段内码 16个量化电平,24,4.4.3 PCM系统的量化噪声在4.3.2节中，已求出：均匀量化时的信号量噪比为S / Nq = M 2当采用N位二进制码编码时，M = 2N , 故有S /
14、Nq = 22N由抽样定理，若信号为限制在 f H的低通信号，则抽样速率不应低于每秒 2 f H次。对于PCM系统，这相当于要求传输速率 2NfH b/s，故要求系统带宽 B = NfH，即要求：N = B/fH，代入上式，得到上式表明，PCM系统的输出信号量噪比随系统的带宽B按指数规律增长。,25,4.5 差分脉冲编码调制 4.5.1差分脉冲编码调制(DPCM)的原理 线性预测基本原理 利用前面的几个抽样值的线性组合来预测当前的抽样值，称为线性预测。 当前抽样值和预测值之差，称为预测误差。由于相邻抽样值之间的相关性，预测值和抽样值很接近，即误差的取值范围较小。 对较小的误差值编码，可以降低比
15、特率。,26,线性预测编解码器原理方框图： 编码器：见右图s(t) 输入信号；sk s(kT) s(t)的抽样值；sk 预测值；ek 预测误差；rk 量化预测误差；s*k 预测器输入； s*k 的含义：当无量化误差时, ek = rk，则由图可见：故s*k是带有量化误差的sk。预测器的输入输出关系：式中，p是预测阶数，ai是预测系数 。,相加器,27,解码器：见下图编码器中预测器和相加器的连接电路和解码器中的完全一样。故当无传输误码时，即当编码器的输出就是解码器的输入时，这两个相加器的输入信号相同，即rk=rk。所以，此时解码器的输出信号sk*和编码器中相加器输出信号sk*相同，即等于带有量化
16、误差的信号抽样值sk。 DPCM基本原理：当 p = 1，a1 = 1时， sk = s*k-1，预测器简化成延迟电路，延迟时间为T。这时，线性预测就成为DPCM。,28,4.5.1 DPCM系统的量化噪声和信号量噪比 量化噪声：即量化误差qk，其定义为 式中，sk 编码器输入模拟信号抽样值；sk* 量化后带有量化误差的抽样值。设： (+, -) 预测误差ek的范围；M 量化器的量化电平数；v 量化间隔；则有设：量化误差qk在(- v, +v)间均匀分布则qk的概率分布密度f (qk)可以表示为：,29,并且，qk的平均功率可以表示成：设： fs 抽样频率，N = log2 M 每个抽样值编码
17、的码元数，Nfs DPCM编码器输出的码元速率，E(qk2)在( 0, Nfs )间均匀分布， 则E(qk2)的功率谱密度为：此量化噪声通过截止频率为fL的低通滤波器之后，其功率等于： DPCM系统输出的量化噪声,30,信号功率： 当预测误差ek的范围限制在(+, -)时，同时也限制了信号的变化速度。这就是说，在相邻抽样点之间，信号抽样值的增减不能超过此范围。一旦超过此范围，编码器将发生过载。若抽样点间隔为T 1 / fs，则将限制信号的斜率不能超过 / T。 设：输入信号是一个正弦波：式中，A 振幅； 0 角频率其斜率为 最大斜率等于 A0 为了不发生过载，信号的最大斜率不应超过/T，即要求
18、故最大允许信号振幅为：最大允许信号功率为：,31,将代入得到信号量噪比：上式表明，信号量噪比随编码位数N和抽样频率fs的增大而增加 。,32,4.6 增量调制4.6.1 增量调制(DM)原理 增量调制：当DPCM系统中量化器的量化电平数取为2，且预测器仍是一个延迟时间为T 的延迟线时，此DPCM系统就称作增量调制系统。,33,原理方框图预测误差ek = sk sk被量化成两个电平 + 和 。 值称为量化台阶。 rk只取两个值+ 或 。 例如，可以用“1”表示“+”，及用“0”表示“”。 当无传输误码时，sk* = sk*。,34,在实用中，为了简单起见，通常用一个积分器来代替上述“延迟相加电路
19、”，如下图所示。,35,解码原理：在解码器中，积分器只要每收到一个“1”码元就使其输出升高 V，每收到一个“0”码元就使其输出降低 V，这样就可以恢复出图中的阶梯形电压。这个阶梯电压通过低通滤波器平滑后，就得到十分接近编码器原输入的模拟信号。,36,4.6.2 增量调制系统中的量化噪声 量化噪声的产生 两种产生原因：1. 由于编解码时用的阶梯波形本身的电压突跳产生的，见图(a)。这是基本量化噪声，称为e1(t)。它伴随着信号永远存在，即只要有信号，就有这种噪声。2. 过载量化噪声，见图(b)。它发生在输入信号斜率的绝对值过大时。若信号上升的斜率超过阶梯波的最大可能斜率，则阶梯波的上升赶不上信号
20、的上升，就发生了过载量化噪声e2(t)。 图中示出的这两种量化噪声是经过低通滤波器前的波形。,37,降低量化噪声的途径 基本量化噪声：减小量化台阶。 过载量化噪声：设抽样周期为T，抽样频率为fs = 1/T，量化台阶为，则一个阶梯台阶的斜率k为： 最大跟踪斜率 当输入信号斜率 最大跟踪斜率时，将发生过载量化噪声。 避免发生过载量化噪声的途径：使 fs的乘积足够大。 因若取值太大，将增大基本量化噪声。所以，只能用增大 fs 的办法增大乘积 fs，才能保证基本量化噪声和过载量化噪声两者都不超过要求。 实际中增量调制采用的抽样频率fs值比PCM和DPCM的抽样频率值都大很多。 当输入电压 /2 时，
21、输出为“1”和“0”交替序列。 起始编码电平： /2,38,量化噪声功率 假设：无过载量化噪声，仅考虑基本量化噪声。低通滤波前，基本量化噪声e(t)为均匀分布：则e(t)的平均功率为：假设此功率均匀分布在0fs 间，则其功率谱密度为：故通过截止频率为fL的低通滤波器之后，量化噪声功率为 由上式看出，它只和量化台阶与(fL / fs)有关，和输入 信号大小无关。,39,量化信噪比 求信号功率：设输入信号为：则其斜率为： 斜率最大值等于A0为了保证不发生过载，要求 ： 保证不过载的临界振幅Amax应该等于：由上式得最大信号功率 ： 求出量化信噪比： 上式表明，最大量化信噪比和 fs3成正比，而和f02成反比。所以，提高抽样频率 fs 将能显著增大量化信噪比。,40,4.7 小结,
