9. 立体几何考查特点及预测.pdf

1、 立 体 几 何 的 微 观 深 入 和 宏 观 把 握 9. 立 体 几 何 考 查 特 点 及 预 测考 查 特 点 ： 空 间 想 象 、 几 何 分 析 、 向 量 法一 、 注 重 对 几 何 体 结 构 的 认 知例 1.（ 2013新 课 标 1文 ） 如 图 ， 三 棱 柱 1 1 1ABC ABC 中 ， CA CB ， 1AB AA ， 1 60BAA 。（ ） 证 明 ： 1AB AC ；（ ） 若 2AB CB ， 1 6AC ， 求 三 棱 柱 1 1 1ABC ABC 的 体 积 。点 评 ： 这 是 倒 放 的 三 棱 柱 ， 底 面 是 ABC 而 不 是 面

2、11AABB 。二 、 突 出 作 图 能 力例 2.（ 2015新 课 标 2文 ） 如 图 ， 长 方 形 1 1 1 1ABCD ABC D 中 ， AB=16， BC=10， 1 8AA ,点 E,F 分 别 在 1 1 1 1,AB DC 上 ， 1 4AE DF .过 点 E,F 的 平 面 与 此 长 方 体 的 面 相 交 ，交 线 围 成 一 个 正 方 形 .（ ） 在 图 中 画 出 这 个 正 方 形 （ 不 必 说 明 画 法 和 理 由 ） ；（ ） 求 平 面 把 该 长 方 体 分 成 的 两 部 分 体 积 的 比 值 .点 评 ： 第 （ ） 也 需 要 借

3、 助 棱 柱 的 概 念 对 几 何 体 进 行 准 确 的 认 知 。例 3.（ 2016全 国 1 卷 文 第 19 题 ） 如 图 ， 在 已 知 正 三 棱 锥 P-ABC 的 侧 面 是 直 角 三 角 形 ， PA=6，顶 点 P 在 平 面 ABC 内 的 正 投 影 为 点 D， D在 平 面 PAB的 正 投 影 为 E， 连 接 PE 并 延 长 交AB 于 点 G.（ I） 证 明 G 是 AB 的 中 点 ；（ II） 在 答 题 卡 第 （ 18） 题 图 中 作 出 点 E 在 平 面 PAC 内 的 正 投 影 F（ 说 明 作 法 及 理 由 ） ， 并求 四

4、面 体 PDEF 的 体 积 立 体 几 何 的 微 观 深 入 和 宏 观 把 握 三 、 三 视 图 和 球 考 查 频 率 高 ， 很 好 地 考 查 学 生 空 间 想 象 能 力 （ 略 ）四 、 突 出 长 方 体 模 型借 助 长 方 体 ， 让 空 间 想 象 能 力 有 一 个 落 脚 地 ， 降 低 其 难 度 ， 有 利 于 空 间 观 念 的 建 立 ， 在全 国 卷 得 到 多 次 考 查 。 在 2013年 新 课 标 2卷 两 次 考 查 。例 4 （ 2013 年 新 课 标 第 4 题 ） 已 知 nm, 为 异 面 直 线 , m 平 面 , n 平 面 .

5、直 线 l 满 足 , , ,l m l n l l ,则 （ ）A / ,且 /l B ,且 lC 与 相 交 ,且 交 线 垂 直 于 l D 与 相 交 ,且 交 线 平 行 于 l点 评 ： 此 题 虽 然 简 单 ， 但 发 现 还 是 有 些 同 学 做 错 ， 或 者 做 的 时间 较 长 ， 如 果 我 们 在 长 方 体 中 标 出 平 面 , ， 找 到 相 应 的 lnm , ，如 图 ， 正 确 答 案 很 快 就 出 来 了 。例 5.（ 2013新 课 标 第 7题 ） 一 个 四 面 体 的 顶 点 在 空 间 直 角 坐 标 系O xyz中 的 坐 标 分 别

6、是 (1,0,1)， (1,1,0)， (0,1,1)， (0,0,0)， 画 该 四 面 体 三 视 图 中 的 正视 图 时 ， 以 zOx平 面 为 投 影 面 ， 则 得 到 的 正 视 图 可 以 为 ( )点 评 ： 借 助 正 方 体 ， 作 三 视 图 更 为 容 易 。五 、 几 何 分 析 和 向 量 法 并 重例 6.（ 2017全 国 3） 如 图 ， 四 面 体 ABCD 中 ， ABC 是 正 三 角 形 ， ACD 是 直 角 三 角形 ABD CBD = ， AB BD= （ 1） 证 明 ： 平 面 ACD平 面 ABC；（ 2） 过 AC 的 平 面 交 B

7、D 于 点 E ， 若 平 面 AEC 把 四 面 体 ABCD分 成 体 积 相 等 的 两 部分 求 二 面 角 D AE C- - 的 余 弦 值 点 评 ： 除 了 第 （ 1） 问 垂 直 的 证 明 ， 需 要 几 何 分 析 ， 在 第 （ 2）问 用 向 量 法 之 前 ， 还 需 要 再 证 明 垂 直 ， 向 量 法 把 立 体 几 何的 思 维 过 程 变 成 了 程 序 化 的 计 算 ， 展 示 了 其 强 大 的 威 力 ，全 国 卷 非 常 注 重 这 个 现 代 化 强 大 的 工 具 。六 、 引 入 运 动 变 化 ， 理 解 动 点 产 生 的 轨 迹例

8、6 .（ 2 0 1 7 全 国 3 ） ba, 为 空 间 中 两 条 互 相 垂 直 的 直 线 ， 等腰 直 角 三 角 形 ABC的 直 角 边 AC 所 在 直 线 与 ba, 都 垂 直 ， 斜 边 AB 以 直 线 AC 为 旋 转 轴旋 转 ， 有 下 列 结 论 ： 当 直 线 AB 与 a成 60角 时 ， AB 与 成 30角 ； 当 直 线 AB 与 a成 60角 时 ， AB 与 成 60角 ； 直 线 AB与 a所 成 角 的 最 小 值 为 45； 直 线 AB与 a所 成 角 的 最 大 值 为 60其 中 正 确 的 是 _（ 填 写 所 有 正 确 结 论

9、的 编 号 ） 立 体 几 何 的 微 观 深 入 和 宏 观 把 握 点 评 ： 理 解 斜 边 AB旋 转 所 成 的 轨 迹 是 破 题 的 关 键 。立 体 几 何题 目 位 置 大 题 ： 18或 19； 小 题 ： 易 中 难 都 有考 查 趋 势1： 延 续 以前 考 查 风格 注 重 对 几 何 体 结 构 的 认 知 ， 长 方 体 模 型 的 合 理 运 用 ； 三 视 图 和 球 是 考 查 空 间 想象 能 力 很 好 的 载 体 。（ 理 科 ） 已 知 一 倒 立 的 圆 锥 形 容 器 的 轴 截 面 为 正 三 角 形 ， 高 为 h， 容 器 内 盛 有部 分

10、 水 ， 在 其 内 放 入 一 小 玻 璃 球 后 ， 再 放 入 一 大 玻 璃 球 （ 与 小 玻 璃 球 及 容 器 壁都 相 切 ） ， 此 时 液 面 正 好 与 容 器 口 平 齐 ， 并 与 大 球 上 面 相 切 ， 若 取 出 大 球 ， 则液 面 下 降 的 高 度 为 。考 查 趋 势2： 延 续 以前 考 查 风格 通 过 几 何 分 析 证 明 和 作 图 ， 考 查 推 理 论 证 能 力 。样 题 1： 如 图 ， 四 棱 锥 ABCDP 是 底 面 为 1的 正 方 形 ， 侧 棱 PA 面 ABCD，且 3PA ，（ 1） 在 PA上 取 一 点 E， 使

11、得 /PC 平 面 BDE（ 作 出 图 ， 并 说 明 理 由 ）样 题 2： 棱 长 为 2的 正 方 体 1111 DCBAABCD 中 ， E为 棱 AD的 中 点 ， 过 1B点 ， 且 与 平 面 BEA1 平 行 的 正 方 体 截 面 的 面 积 为 （ ）A. 5 B. 52 C. 62 D.6样 题 3： 如 图 ， AB 是 圆 O 的 直 径 ， 点 C 是 圆 O 上 异 于 ,A B的 点 ， 直 线 PC 平面 ABC ， E， F 分 别 是 PA， PC 的 中 点 。 作 出 BEF与 平 面 ABC 的 交 线 为 l，并 说 明 理 由 。样 题 4 ：

12、 如 图 ， 侧 棱 与 底 面 垂 直 的 四 棱 柱1 1 1 1ABCD ABC D 的 底 面 是 梯 形 ， AB CD， AB AD ，1 4AA ， 2DC AB ， 3AB AD ， 点 E是 直 线 CD 的 一 点 ， 且 1CE ， . 立 体 几 何 的 微 观 深 入 和 宏 观 把 握 ( )在 11BA 上 取 点 M ， 使 得 /AM 平 面 1BEC ， 说 明 作 图 的 理 由 ； 并 求 三 棱 锥1M BC E 的 体 积 .( )在 11CB 上 取 点 Q， 使 得 CBDQ 1 ， 并 说 明 作 图 理 由 。考 查 趋 势3： 延 续 以前

13、 考 查 风格 （ 理 科 ） 重 视 向 量 法 ， 立 体 几 何 第 2问 常 常 考 查 。考 查 趋 势4： 延 续 以前 考 查 风格 突 出 运 动 变 化 的 观 点 ， 立 体 几 何 中 的 轨 迹 问 题 。样 题 1： 点 E, F, G 分 别 是 正 方 体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1的 棱 AB, BC, B 1 C 1的 中 点 ,如 图 所 示 ,则 下 列 命 题 中 真 命 题 是 (写 出 所 有 真 命 题 的 编 号 ) . 以 正 方 体 的 顶 点 为 顶 点 的 三 棱 锥 的 四 个 面 中 最 多 只 有 三 个 面 是 直

14、角 三 角 形 ; 过 点 F,D1,C 的 截 面 是 正 方 形 ; 点 P 在 直 线 FG 上 运 动 时 ,总 有 AP DE; 点 Q 在 直 线 BC1上 运 动 时 ,三 棱 锥 A-D1QC 的 体 积 是 定 值 ; 点 M 是 正 方 体 的 面 A1B1C1D1内 到 点 D 和 C1距 离 相 等 的 点 ,则 点 M 的 轨 迹是 一 条 线 段 .样 题 2： 如 图 ， 在 棱 长 为 的 正 方 体 的 对 角 线 上 任 取一 点 ， 以 为 球 心 ， 为 半 径 作 一 个 球 .设 ， 记 该 球 面 与 正 方 体 表面 的 交 线 的 长 度 和

15、为 ， 则 函 数 的 图 象 最 有 可 能 的 是 （ ） 立 体 几 何 的 微 观 深 入 和 宏 观 把 握 样 题 3： 如 图 ， 已 知 正 方 体 棱 长 为 ， 点 在 棱 上 ， 且。 在 侧 面 内 作 边 长 为 的 正 方 形 ， 是 侧 面 内一 动 点 ， 且 点 到 平 面 距 离 等 于 线 段 的 长 ， 且 当 点 运 动 时 ，的 最 小 值 是 （ ） 。A: B: C: D:考 查 趋 势5： 求 变 以 立 体 几 何 为 载 体 考 查 数 学 文 化 ， 如我 国 古 代 数 学 家 祖 暅 是 著 名 数 学 家 祖 冲 之 之 子 , 祖

16、 暅 原 理 叙 述 道 ： “夫 叠 棋 成 立积 , 缘 幂 势 既 同 , 则 积 不 容 异 。 ”意 思 是 ： 夹 在 两 个 平 行 平 面 之 间 的 两 个 几 何 体被 平 行 于 这 两 个 平 行 平 面 的 任 意 平 面 所 截 , 如 果 截 得 的 两 个 截 面 面 积 总 相等 , 那 么 这 两 个 几 何 体 的 体 积 相 等 。 其 最 著 名 之 处 是 解 决 了 “牟 合 方 盖 ”中 的 体积 问 题 , 其 核 心 过 程 为 ： 如 下 图 正 方 体 1111 DCBAABCD ， 求 图 中 四 分 之 一圆 柱 体 1111 DAACBB 和 四 分 之 一 圆 柱 体 1111 CDDBAA 公 共 部 分 的 体积 V, 若 图 中 正 方 体 的 棱 长 为 2,则 V=( )( 在 高 度 h 处 的 截 面 ： 用 平 行 于 正 方 体 上 下 底 面 的 平 面 去 截 , 记 截 得 两 圆 柱 体公 共 部 分 所 得 面 积 为 1S , 截 得 正 方 体 所 得 面 积 为 2S , 截 得 锥 体 所 得 面 积 为3S , 221 hRS , 22 RS 312 SSS ) 立 体 几 何 的 微 观 深 入 和 宏 观 把 握 A. 316 B. 38 C. 8 D. 38