1、第 1 页 共 4 页 2018届七校第一次联考理科数学参考答案与评分标准 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C B C D A A B C C D 12.【解析】D；画出图像，显然可以排除 A、B 选项.由题 xxf 2)( ，200)( xxf ，所以l的方程为2000)(2 xxxxy 2002 xxx ，因为l 也与函数 lny x 的图象相切，令切点坐标为 )ln,(11xx ，所以l的方程为y 1ln111 xxx，这样有20110ln112xxxx，所以2002ln1 xx ， 01,x ,
2、令12ln)(2 xxxg ， 1,x ，又因为xxxg12)( xx 122 ，所以 )(xg 在 1, 上单调增，又 02ln)1( g ， 022ln1)2( g ， ( 3) 2 ln2 3 0g ，从而02 3x ，选D. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分. 13.60 14. 24； 15. 32； 16. 5； 16.【解析】5；在ABC中，因为 2BD AD ，设AD x 0x ，则 2BD x 在BCD中，因为CD BC ，5CD ， 2BD x ，所以cosCDCDBBD 52x 在ACD中，因为AD x ， 5CD ， 5 3AC ， 由余弦定理得2 2
3、 2 2 2 25 (5 3)cos2 2 5AD CD AC xADCAD CD x 因为 CDB ADC ， 所以cos cosADC CDB ，即2 2 25 (5 3) 52 5 2xx x 解得 5x 所以AD的长为5. 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解析】()1 1 110 (2 1)( 2)a a a ，得21 12 5 2 0a a ，解得12a ，或112a 由于11a ，所以12a .1分 因为10 (2 1)( 3)n n nS a a ，所以210 2 5 2n n nS a a . 故2 21 1 1 1
4、10 10 10 2 5 2 2 5 2n n n n n n na S S a a a a ，.3分 整理，得2 21 12( ) 5( ) 0n n n na a a a ，即1 1( )2( ) 5 0n n n na a a a . 因为 na 是递增数列，且12a ，故10n na a ，因此152n na a 5分 则数列 na 是以2为首项，52为公差的等差数列. 所以5 12 ( 1) (5 1)2 2na n n .6分 （）满足条件的正整数 , , m n k不存在，证明如下： 假设存在*, , m n k N ，使得2( )m n ka a a ，8分 则15 1 5 1
5、 (5 1)2m n k 9分 整理，得32 25m n k ， 第 2 页 共 4 页 zyxGAEPCDBF显然，左边为整数，所以式不成立 故满足条件的正整数 , , m n k不存在12分 18.【解析】()底面ABCD是菱形， / /AB CD， 又AB面PCD，CD面PCD， / /AB 面PCD，2分 又A，B，E，F四点共面，且平面ABEF平面PCD EF ， / /AB EF；4分 () 取AD中点G，连接PG，GB，PA PD ，PG AD ， 又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD AD ， PG平面ABCD，PG GB ， 在菱形ABCD中，AB AD ， 6
6、0DAB ，G是AD中点， AD GB ，6分 如图，建立空间直角坐标系G xyz ，设 2PA PD AD ， 则 (0,0,0)G ， (1,0,0)A ， (0, 3,0)B ( 2, 3,0)C ， ( 1,0,0)D ， (0,0, 3)P ， 又 / /AB EF，点E是棱PC中点， 点F是棱PD中点， 3 3( 1, , )2 2E ，1 3( ,0, )2 2F ，3 3( ,0, )2 2AF ,1 3( , ,0)2 2EF ，8分 设平面AFE的法向量为 ( , , )n x y z，则有00n AFn EF ，333z xy x， 不妨令 3x ，则平面AFE的一个法向
7、量为 (3, 3,3 3)n，10分 BG平面PAD， (0, 3,0)GB是平面PAF的一个法向量， 6 13cos ,1339 2 3n GBn GB ， 平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为131312分 19.【解析】()设下周一无雨的概率为p，由题意，20.36, 0.6p p ，2分 基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5，则 ( 20) 0.36P X ， ( 15) 0.24P X ， ( 10) 0.24P X ， ( 7.5) 0.16P X 4分 基地收益X 的分布列为： ( ) 20 0.36 15 0.24 10 0.24 7.5 0.16 14.4
8、E X ，5分 基地的预期收益为14.4万元6分 ()设基地额外聘请工人时的收益为Y万元， 则其预期收益 ( ) 20 0.6 10 0.4 16E Y a a （万元），8分 ( ) ( ) 1.6E Y E X a ，9分 综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以12分 20.【解析】()由题意可知：动点M到定点 (1,0)F 的距离等于M到定直线 1x 的距离，根据抛物线的定义可知，点M的轨迹C是抛物线。 2分 2p ，抛物线方程为：24y x 3分 （）设 ,A B两点坐标分别为1 1( , )x
9、y ，2 2( , )x y ，则点P的坐标为1 2 1 2( , )2 2x x y y X 20 15 10 7.5 p 0.36 0.24 0.24 0.16 第 3 页 共 4 页 由题意可设直线1l 的方程为 ( 1)y k x ( 0)k ， 由24 , ( 1),y xy k x 得2 2 2 2(2 4) 0k x k x k . 2 2 4 2(2 4) 4 16 16 0k k k .5分 因为直线1l 与曲线C于 ,A B两点，所以1 2 242x xk ，1 2 1 24( 2)y y k x xk 所以点P的坐标为22 2(1 , )k k .6分 由题知，直线2l
10、的斜率为1k ，同理可得点Q的坐标为2(1 2 , 2 )k k .7分 当 1k 时，有2221 1 2kk ，此时直线PQ的斜率22222211 1 2PQkkkkkkk .8分 所以，直线PQ的方程为222 ( 1 2 )1ky k x kk ， 整理得2( 3) 0yk x k y . 于是，直线PQ恒过定点 (3, 0)E ； 当 1k 时，直线PQ的方程为 3x ，也过点 (3, 0)E 综上所述，直线PQ恒过定点 (3, 0)E 10分 （）可求的| | 2EF ， 所以 FPQ 面积1 2 1| | ( 2| |) 2( | |) 42 | | | |S FE k kk k .
11、 当且仅当 1k 时，“”成立，所以 FPQ 面积的最小值为412分 21.【解析】()函数 ( )f x 与 ( )h x 无公共点，等价于方程ln xax 在(0, ) 无解.2分 令ln( )xt xx ，则21 ln( ) ,xt xx 令 ( ) 0,t x 得x e x (0, )e e ( , )e ( )t x 0 ( )t x 增 极大值 减 因为x e 是唯一的极大值点，故max1( )t t ee 4分 故要使方程ln xax 在(0, ) 无解，当且仅当1ae 故实数a的取值范围为1( , )e 6分 （）假设存在实数m满足题意，则不等式lnxm exx x 对1( ,
12、 )2x 恒成立. 即 lnxm e x x 对1( , )2x 恒成立. 6分 令 ( ) lnxr x e x x ，则 ( ) ln 1xr x e x ， 令 ( ) ln 1xx e x ，则1( )xx ex ， 7分 第 4 页 共 4 页 因为 ( )x 在1( , )2 上单调递增，121( ) 2 02e ， (1) 1 0e ，且 ( )x 的图象在1( ,1)2上连续，所以存在01( ,1)2x ，使得0( ) 0x ，即0010xex ，则0 0lnx x 9分 所以当01( , )2x x 时， ( )x 单调递减；当0( , )x x 时， ( )x 单调递增，
13、则 ( )x 取到最小值00 0 001( ) ln 1 1xx e x xx 0012 1 1 0xx ， 所以 ( ) 0r x ，即 ( )r x 在区间1( , )2 内单调递增. 11分 1 12 21 1 1 1( ) ln ln 2 1.995252 2 2 2m r e e ， 所以存在实数m满足题意，且最大整数m的值为1. 12分 22.【解析】()曲线C的参数方程为sin51cos52yx(为参数) 曲线C的普通方程为 51222 yx 2分 将sincosyx代入并化简得： sin2cos4 即曲线C的极坐标方程为 sin2cos4 . 5分 （）在极坐标系中， sin2
14、cos4 ：C 由sin2cos46得到 132 OA 7分 同理 32OB . 9分 又6AOB 4358sin21 AOBOBOASAOB. 即 AOB 的面积为4358. 10分 23.【解析】() 当 2a 时，由 ( ) 3f x ，可得 2 2 1 3x x ， 1,22 2 1 3xx x 或12,22 2 1 3xx x 或2,2 2 1 3xx x 3分 解得142x ；解得122x ；解得 2x .4分 综上所述，不等式的解集为 4 2x x . 5分 （）若当 1,3x 时， ( ) 3f x 成立， 即 3 2 1 2 2x a x x . 6分 故 2 2 2 2x x a x ， 即 3 2 2x a x ，8分 2 3 2x a x 对 1,3x 时成立. 3,5a . 10分
