1、函数补充知识【初等函数】1、抽象函数的周期（1）f（ax)=f(bx) T=|b-a|（2）f（ax)=-f(bx) T=2|b-a|（3）f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a（4）f(x-a)=f(x+a) T=2a（5）f(x+a)=-f(x) T=2a2奇偶函数概念的推广及其周期：（1）对于函数 f（x） ，若存在常数 a，使得 f（a-x）=f（a+x） ，则称 f（x）为广义（）型偶函数，且当有两个相异实数 a，b 同时满足时，f（x）为周期函数 T=2|b-a|（2）若 f（a-x）=-f（a+x） ，则 f（x）是广义（）型奇函数，当有两个相异实数 a，b同时满足时，f
2、（x）为周期函数 T=2|b-a|3.抽象函数的对称性（1）若 f（x)满足 f（a+x）+f（b-x）=c ，则函数关于（ ， ）成中心对称（充要）（2）若 f（x）满足 f（a+x）=f（b-x） ，则函数关于直线 x= 成轴对称（充要）4、函数 的图像按向量 平移后，得函数 的图像.()yf(,)akh()yhfxk5、形如 的图像是等轴双曲线，双曲线两渐近线分别直线0,axbcdbc(由分母为零确定)、直线 (由分子、分母中 的系数确定)，双曲线的中心dxcyx是点 .,【三角函数】1.三角形恒等式（1）在中， （2） 正切定理和余切定理：在非 Rt中，有 tanA+tanB+tanC
3、=tanAtanBtanC（3） （4）2、任意三角形射影定理（又称第一余弦定理）：在ABC 中，有： abcosCccosB；bccosAacosC；c=acosBbcosA3、 （1）任意三角形内切圆半径 r= （S 为面积） ，（2）外接圆半径（3） 欧拉不等式：R2r4、和差化积公式（只记忆第一条）sin +sin =2sin cos sin -sin =2cos sin cos +cos =2cos cos cos -cos =-2sin sin5、积 化 和 差 公 式sin sin =- cos cos =sin cos = cos sin =6、万能公式 2tan1t,2tan
4、1cos,2tan1si 27、三角混合不等式：若 x（0， ),sinxxtanx 当 x0 时 sinx x tanx8、三角形变形公式 9、在中，sinAsinB cos2Acos2B10、三角形三边 a.b.c成等差数列，则 11、正弦平方差公式)sin()si(insi22 【洛必达法则】【法则 1】 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) 及 ； lim0xafli0xag(2)在点 a的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g(x)0； (3) ，limxaflg那么 = 。 limxafglixafl【法则 2】 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(
5、1) 及 ； li0xfli0xg(2) ，f(x) 和 g(x)在 与 上可导，且 g(x)0； 0A,A,(3) ，limxflg那么 = 。 lixflixflg法则 3 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) 及 ； limxaflixag(2)在点 a的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g(x)0； (3) ，lixafl那么 = 。limxafglixafl利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 将上面公式中的 xa，x换成 x+，x-， ， 洛必达法则 1 xa也成立。 洛必达法则可处理 ， ， ， ， ， ， 型。 2 010在
6、着手求极限以前，首先要检查是否满足 ， ， ， ， ， ， 型 3 0定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 4【双绝对值函数图像】【中值定理与函数凹凸性】中值定理名称 条件 结论罗尔中值定理： （1）在 上连续； )(xfya,b（2）在 内可导；（ 3）a,b)(ff至少存在一点 使得)(a,b0)(/f拉格朗日中值定理： （1）在 上连续； xya,b（2）在 内可导)(a,b至少存在一点 使得)b,a()(/ff柯西中值定理、 ： （1）在 上连续，xfg,在 内可导；（ 2）在 内每点处)(, )(ab0/x至少存在一点 使得)(,abfgf)(/1、曲线凹凸性的概念：设 在区间 内连续，如果对 上任意两点 ，恒有)(fII21,x，则称 在 上的图形是凹的；2)()2(11xffxf)(xfI如果恒有 ，则称 在 上的图形是凸的。)(211fff)(fI2、拐点的概念：连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。3、曲线凹凸性的判别法：设 在 上连续，在 内具有一阶和二阶导数，则)(xfa,b)(a,b（1）若在 内 ，则 在 上的图形是凹的；)(a,b(0f(fy,（2）若在 内 ，则 在 上的图形是凸的。x)x
