1、江苏省启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校 2019 届高三 12 月月考数学试题数学试题（I）卷 2018.12.21注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题第 20 题，共 20 题）.本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.4如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑
2、、加粗.一、填空题:本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分，把答案填写在答题卡上相应位置上.1.已知集合 ，若 ，则 .3,21aBA1BABA2.函数 的定义域为 .)lg()xxf3.已知复数 满足 （ 是虚数单位） ，则复数zi z的模为 .4.右图是一个算法流程图，则输出的 的值是 .k5.已知函数 ，则 .0,log2)(xxf )2(f6.若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则1|a实数 的取值范围为 .7.已知函数 的图象与直线 相切，则实数 的值为 .xyln1xya8.已知函数 在 时取得最大值，则 的值是 .)2)(2si69.在平面直角坐标系 中，已知角 的终
3、边经过点 ,将角 的终边绕原点按逆时O)2(A针方向旋转 与角 的终边重合 ,则 的值为 .sin(10.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的取值范围nanS156,31Sa12a（第 4 题）结束 kk+1 +1N输出 k Y开始k1240（第 11 题） （第 12 题）是 .11.如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右顶点分别为 、xOy)0(12bayx A，右焦点为 ，上顶点为 ，线段 的中点为 ，直线 与椭圆的另一个交点为BFCBMA，且 垂直于 轴，则椭圆离心率 的值为 .De12.如图，在 中，a 、 b、 c 分别是角 所对的边， 是 上的两个三等AAC、 、 FE
4、,B分点， 是 上的两个三等分点， ，则 的最小HG, 910)()(HGCbcos值为 .13.在平面直角坐标系 中，已知圆 ，直线 ，过直线 上点xOy1:2yxaxyl:l作圆 的切线 ，切点分别为 ，若存在点 使得 ，则实数PPBA, BA,PPOBA23的取值范围是 .a14.已知函数 （ 是自然对数的底数）恰有三个不同的零点 ，1,2|)(2xaxef e则实数 的取值范围是 .二、解答题:本大题共 6 小题，共计 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分 14 分)已知向量 ， 且a1,cos2()sin2,(b),0(（1 ） 若 ，求 的值；b/（
5、2）若 ，求 的值.5|16. (本小题满分 14 分)已知函数 是定义在 的奇函数（其中 是自然对数的底数）.xemxf2(1,e（1）求实数 的值；（2）若 ，求实数 的取值范围. 2(1)()0fafa（第 17 题）17. (本小题满分 14 分)如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的右准线方程xOy:C)0(12bayx，离心率 ，左右顶点分别为 ，右焦点为 ，点 在椭圆上，且位于4:xl21eBA,FP轴上方.（1 ） 设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 的最小值；PA1kP2k21（2 ） 点 在右准线 上，且 ，直线 交 负半轴于点 ，QlQFxM若 ，求点 坐标.6M
6、F18. (本小题满分 16 分)如图，港珠澳大桥连接珠海（A 点） 、澳门（B 点） 、香港（C 点） 线段 长度为AB，线段 长度为 ，且 .澳门（B 点）与香港（C 点）之间)10kmBC)(40km60A有一段海底隧道，连接人工岛 和人工岛 ，海底隧道是以 为圆心，半径EFO的一段圆弧 ，从珠海点 到人工岛 所在的直线 与圆 相切，)(3R EE切点为点 ， 记 .E)2,6,AB（1 ） 用 表示 、 及弧长 ；FE（2 ） 记路程 、弧长 及 四段长总和为 ，当 取何值时， 取得最小值？、 Cll)(310kmR)(10km19. (本小题满分 16 分)已知函数 （ 是自然对数的
7、底数）.xaxegxaxf )2()(,ln(2 e（1）若 ，求函数 的单调增区间；)(f（2）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围；x0x（3）若函数 在 处取得极大值，求实数 的取值范围.)()(gfh1a20. (本小题满分 16 分)已知数列 、 、 ，对于给定的正整数 ，记 ，nabnckknnab（ ）.若对任意的正整数 满足： ，且 是等差数列，则kncNn1c称数列 为“ ” 数列.)(H（1 ） 若数列 的前 项和为 ，证明： 为 数列；na2Snna)(kH（2 ） 若数列 为 数列，且 ，求数列 的通项公式；)1( 5,1,21cbana（3 ）若数列 为 数列
8、，证明： 是等差数列. n)(江苏省启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校 2019 届高三 12 月月考数学试题数学试题（II）卷 2018.12.2121(本小题满分 10 分)已知矩阵 的逆矩阵 ，设曲线 在矩阵 对应的变换作用下372aAabA721 FA得到曲线 ，求曲线 的方程.xyF（第 18 题）22(本小题满分 10 分)已知直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极latyx x轴建立极坐标系， 圆 的极坐标方程为 ，直线 与C)0(2)4sin(2l圆 相交于 、 两点.若弦长 ，求实数 的值.CABAa23. (本小题满分 10 分)已知点 是抛物
9、线 上的一点，过点 作两条直线 与 ，分别与抛物线相交于 、Pxy2P1l2 A两点.B（1）已知点 且 ，求证：直线 恒过定点；)0,(21lAB（2）已知点 ，直线 所在直线方程为 ，且 的垂心 在 轴上，bxyPABHx求实数 的值.b24. (本小题满分 10 分)已知数列 满足 .na121nna（1） ，求 ，并猜想数列 通项公式；23,（2）若 ，用数学归纳法证明1 na .4221 nn江苏省启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校 2019 届高三 12 月月考数学试题数学试卷（I）答案 2018.12.21一、填空题:1、1,2,3 2、 3、 4、 5 5、-2 6、 ),()
10、1,(21a7、2 8、 9、 10、 11、 12、165,13、 14、,(,)2二、解答题:15、解（1）因为 ，所以 ，所以 3 分ba/ 1cosin421sin又因为 ，所以 ，所以 或 ，所以 或 7 分),0()2,0(6525（漏 1 解扣 2 分）（2）因为 ，所以 ，所以 10 分5basinco1sinco所以 14 分5170)i2()1s2(| 2（忘记开根号扣 2 分）16、解（1）因为 是定义在 的奇函数，所以 ，所以 m=14 分xemxf)(,0)(f当 m=1 时， ，所以 6 分x121)(xefx（2） 21)(xef，所以 ，当且仅当 x=0 时 ，
11、所以 在 单调递增10 分xe0)(f 0)(xf)(xf1,所以 ，所以 14 分21a21（忘记定义域扣 2 分）17、解（1） 2 分34yx设点 P ，则 6 分),(021k02000 34yxyx因为 ，所以，当 时 的最小值为 7 分y31k（用结论 不证明扣 2 分）21abk（2）设点 P ，则 QF： ，所以点 Q 9 分),(0yx)(0xy)1(3,40yx因为点 P、Q、M 三点共线，所以 ，所以 11 分QMPk)5(302又因为 ，所以 或 ，因为 ，所以 P 14 分1342040x5,)57,(18.解（1）在 中，由正弦定理可知： 2 分ABE sin3si
12、n160iAE在 中， 4 分OF32sinR6 分A320（2） 8 分26,sin4sin5 l 2322 sin)4cos74co(5si3)conco( 10 分即 12 分2 in)4s)(12(5l由 ，则 14 分3,0cost 042cot当 时， ；当 时，360l230l在 上单调递减 ，在 上单调递增l),(),(答：当 时， 取得最小值.16 分l19. 解（1）当 时，a xxfxxf )1(21)(ln)(2 因为 ，所有 时， ； 时，0x10)(f0)(f则 在 上单调递增。 3 分)(f),（2） （法 1：不分参，分类讨论） )0(12)( xaxf若 时，
13、 ，则 在 上单调递减，0a0)(f)f,由 与 恒成立矛盾，所以 不合题意；5 分1)(fx0a（不举反例扣 1 分）若 时，令 ，则0a0)(f a481所以 当 时， ；当 时，0xf0x)(f则 在 单调递减，在 单调递增 7 分)(f, ),(0所以 的最小值为 （*） ，x02ln)xaxf又 带入（*）得： ，)1(1200a 0021ln)(xf由 恒成立，所以 ，记)(xf 2l0xxf xm又 ，则 在 单调递减，020 m00ln)(m),(又 ，所以 )1(10x10 分)1(20xa),0所以实数 的取值范围是 ,附：（法 2：分参）对 恒成立，0lnxa2lnxa令
14、5 分)()(2m31)(xm设 ， ， 在 单调递减，xxFl10 FxFln1)(),0(又 7 分0)(当 时， ，即 ；当 时， ，即1x0)(F0)(xm10)(xF0)(xm在 上递增，在 上递减 )(m,)(ma综上，实数 的取值范围是 10 分a)（3） ，12()( xexh0)(h设 ，0,G12 xeG则 在 上单调递减，)(x),0当 时，即121ea， ，则x)(G0)(xh在 单调递减与“ 在 处取得极大值”矛盾)(h,01不合题意；12 分21ea当 时，即)(G2ea则 0)(212121aeaee由 ， ，使得 14 分0)1(G0)21(ae)1,2(0ae
15、x0)(xG当 时， ，则x) eh当 时， ，则)( )( xx在 单调递增，在 单调递减，则 在 处取得极大值)(xh1,0),1h1综上 符合题意。 16 分2ea20. 解（1）当 时， 2 分n2)(21nnSan当 时， 符合上式， 则1 )1(a4,2kckbnn则 1对任意的正整数 满足 ，且 是公差为 4 的等差数列， 为 数列.4 分nbncna)(kH（3） 2,1aa由数列 为 数列，则 是等差数列，且 n)(Hnc5,321c12n即 6 分21aann)(则 是常数列 9 分na01验证： ， 对任意正整数 都成立 10 分1nnb1nbna附： 21a321-得：
16、 nkakkk )1(,)(212 na（3）由数列 为 数列可知： 是等差数列，记公差为 na2Hncddbaac nnnn 2)()(2422 dbn231则 0)(31 dbbn又 13 分1n数列 为常数列，则n 12ban12bacn由 16 分2)(11 ddnn 是等差数列.注意：请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤21(本小题满分 10 分)解：3 分10723aba134027ab，则 5 分,535A设曲线 上任一点 变换为 则F),(yxP),(yx，7 分xy3725代入曲线 得曲线 的方程 10 分xy3（不设任意点 变换为 扣 1 分）),
17、(yxP),(22(本小题满分 10 分)解：解：直线 ，圆 ，4 分al: 4)()(:22yxC由弦长 6 分AB2dr所以圆心 C（1，-1）到直线 的距离 ， 10 分l21ad40或（漏解扣 2 分）25. (本小题满分 10 分)解（1）由题可知直线 、 的斜率都存在，设 ，1l2 kxyl:1 xkyl1:22 分kxy2),(2kA同理可得 ,B则直线 所在的直线方程为 1),(12kxy当 时，直线 所在的直线方程为1kA综上，直线 恒过定点 5 分)0,(（不讨论 值扣 1 分）（2）由 可知垂心BPH),2(设点 ),(),(21yxA由 得： yb2 0)1(22bx0
18、4122bx由 )()(2211yxPBHA即 7 分0)(21 bbx将带入得： ，又042410 分（忘记 扣 1 分）026. (本小题满分 10 分)解（1） ，猜得 1 分4,3,21a1n（3）证明：（i）当 时， ，命题成立；1n3（ii）假设 命题成立，即),1(Nkn 2ka则 时，k 31)(2(akk时，命题也成立综合（i） （ii）可知 对一切正整数 都成立。4 分nNn（忘记 扣 1 分）),(Nk先用数学归纳法证明 2na（i）当 时， ，命题成立；n31（ii）假设 命题成立，即),(Nk12ka则 时，k 12)(1(1 kkkka时，命题也成立n综合（i） （ii）可知 对一切正整数 都成立。8 分21n Nn10 分42)1()()(3221 nakn（不用数学归纳法，用放缩扣 3 分）
