三次函数的所有题型.doc

1、三次函数的基本题型由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数 )0()(23adcxbaxf其导函数为二次函数: ，023)(/ cbaxf判别式为：= ，设 的两根为 、 ，结合函数草图易得：)4124cb)(/xf1x2(1) 若 ，则 恰有一个实根；032a0)(xf(2) 若 ,且 ，则 恰有一个实根；c21 0)(xf(3) 若 ,且 ，则 有两个不相等的实根；2b)(xf(4) 若 ,且 ，则 有三个不相等的实根.03ac021)(xf说明:(1)(2) 含有一个实根的充要条件是曲线 与 轴只相交一次

2、，即 在 R 上为)(xf )(fyx)(xf单调函数（或两极值同号） ，所以 （或 ，且 ）;32acb032acb0)(21f(3) 有两个相异实根的充要条件是曲线 与 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以0)(xf )(xfy，且 ;32acb0)(21xf(4) 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 与 轴有三个公共点，即 有一个极)(xf )(xfy)(xf大值，一个极小值，且两极值异号.所以 且 . 032acb0)21f【例题 1】：设函数 ，求函数 的单调区间。1-31)(2+=xxf )(xf【变式 1】：设函数 ，求函数 的单调区间。mf-)(2)(f【变式 2】：设函数 ，

3、求函数 的单调区间。131)(2+=xxf )(xf【变式 3】：设函数 在 （- ，+ ）为单调函数，求 m 的取值范围。)(2mf 【变式 4】：设函数 ，求函数 的单调区间。1)(13)(2+=xxf )(xf【变式 5】：设函数 ，求函数 的单调区间。cxmxf +=23)1(1)( )(xf【变式 6】：设函数 ，求函数 的单调区间。f 23 f【例题 2】：设函数 ，求 的极值。11)(23xxf )(xf【例题 3】：设函数 ，求 在0,4的最值。131)(23xxf )(xf【变式 1】：【2005 高 考北京 文第 19 题改编】 已知函数 f(x)= x33 x29 x a

4、, 若 f(x)在区间2，2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值【变式 2】：【2012 高 考北京 文第 19 题改编】已知函数 ， 。2()1(0)fa3(gb当 时，若函数 在区间 上的最大值为 ，求 的取值范围。3,9ab()fxg,2k8k【例题 4】：设函数 ， 在0,4的满足 恒成立，求 c 的取值范围。131)(23xxf )(f cxf)(【变式】：设函数 ， 在0,4的满足 恒成立，求 c 的取值范围。3)(2xxf )(f cxf)(【例题 5】：【2014 高考北京文第 20 题改编】已知函数 3()2fx.若过点 (1,)Pt存在 3 条直线与曲线 ()yfx相

5、切，求 t 的取值范围；【变式】(1)已知函数 3()2fx.若过点 (1,)Pt存在 2 条直线与 ()yfx相切，求 t 的取值范围；(2)已知函数 .若过点 存在 1 条直线与 相切，求 t 的取值范围(3）问过点 A(1，2)，B(2，10) ，C (0，2)分别存在几条直线与曲线 yf(x) 相切？【变式】：已知函数 f(x)= 在 处有极值. 321xabx（）求函数 f(x)的单调区间；（）若函数 f(x)在区间-3,3上有且仅有一个零点，求 b 的取值范围。【例题 6】：设 若函数 在区间 内单调递减，求 的取值范围；32()13fxax()fx1,4a【变式】已知函数 1(2

6、3mf） (0).若函数 )(f在区间 (21,)m上单调递增，求实数 m的取值范围【例题 7】已知函数 当 时，若 在区间 上不单调，321()(1)(,)fxaxxbaR0()fx(1,)求 的取值范围a【例题 8】 axxf213)(，若 )(f在 ),32上存在单调递增区间，求 a的取值范围；【例题 9】已知函数 ，其中 求 ()fx在区间 上的最小值32()()1f0a2,3答案：【例题 1】：设函数 ，求函数 的单调区间。13-1)(2+=xxf )(xf解析： 的定义域为 R，)(xf 2f,此时为 的单调递增区间；03-2+= ），或 （ 1,-3)(x)(xf，此时为 的单调

7、递减区间。)(+= ），或 （ 1,-3)(x)(xf，此时为 的单调递减区间。)(2（2）m=1, ,即 ，所以函数 在 上单调递增 ; 1x=0f()fxR（3）m 1, ,即 -)-,（ 或 （ 为单调递增， -,（ ） 为单调递减；1,m ， ，1(,)-,)m或 （单调递增，1(,)m单调递减；1012x综上可知， m ,1()-,)或 （单调递减，(,)m单调递增；0m【老吴帮你解后反思】：这道题目与【变式 4】区别在于，最高次前边的系数不能确定，所以讨论的第一个分界点为 m=0，然后在讨论两个根的大小， 但是一定注意导函数图像的开口方向，这是易错点。【变式 6】：设函数 ，求函数

8、 的单调区间。cxxf+=231)( )(xf提示：求导后，分析二次函数的最高幂系数不确定，所以要讨论 m 与 0 的关系，在 0 的情况下，讨论 的正负。【例题 2】：设函数321()1fxx，求 ()fx的极值。解析：定义域为 R，依据题意可知2()3f，令2()30fx， 12,3xx(,1)-1 (1,3)3 (3,)()ffx00 fx0x单调递增 极大值 8(1)3f单调递减 极小值(3)8f单调递增附图：【例题 3】：设函数321()1fxx，求 ()fx在0,4的最值。解析：定义域为 R，依据题意可知2()3f，令2()30fx，1x（舍） 2x0 (0,3)3 (,4)4()

9、fx fx0(0)1f单调递减 极小值(3)8f单调递增 7()3f通过表格可以发现，最大值为 (0)1f，最小值【老吴帮你解后反思】：本题主要注意求出 导数值为零点时， 1x不在给定范围。附图：【变式 1】：【2005 高 考北京 文第 19 题改编】 已知函数 f(x)= x33 x29 x a, 若 f(x)在区间2，2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值解析： 依据题意，2()369fxx， ()0f， 12,3x（舍）x-2 (2,1)-1 (1,2)2()f fx0x2a单调递减 ()5fa单调递增 ()fa由表可知 f(x)的最大值为 (2)f=20，所以 =-2.f(x)

10、的最小值为 15=-7.附图：【变式 2】：【2012 高 考北京 文第 19 题改编】已知函数 ， 。2()1(0)fxa3(gxb当 时，若函数 在区间 上的最大值为 ，求 的取值范围。3,9ab()fxg,2k8k解析： 依据题意，32()()9hfxgx，2()369hx，12()0,3hxx(,)-3 (3,1)-1 (1,2)2)fxf00 fx0(单调递增 极大值(3)28f单调递减 极小值(1)2f单调递增 ()3f结合函数单调性可知，要使 hx最大值为 ，必须使 3k。【老吴帮你解后反思】： 在解决函数问题时，一定要结合函数的单调区间及极值大致绘出函数图像（如下图),通过图像

11、一目了然就可以观察出 3k。【例题 4】：设函数321()1fxx， ()f在0,4的满足 ()fxc恒成立，求 c 的取值范围。解析：定义域为 xR，依据题意可知2()3fx，令2()30f，1x（舍） 230 (0,3)3 (,4)4()fx fx0(0)1f单调递减 极小值(3)8f单调递增 7()3f通过表格可以发现，最大值为 (0)1f，最小值在0,4的满足 ()fxc恒成立，必须使 c1.【变式】：设函数3211fx， ()fx在0,4的满足 ()fxc恒成立，求 c 的取值范围。解析：定义域为 xR，依据题意可知23，令230，1x（舍） 23x0 (0,3)3 (3,4)4()

12、fx fx0(0)1f单调递减 极小值(3)8f单调递增 7()3f通过表格可以发现，最大值为 (0)1f，最小值在0,4的满足 ()fxc恒成立，必须使 c 8.【老吴帮你解后反思】： 此类题目为恒成立问题，可以总结为 ()fxc恒成立，满足 min()fxc；()fxc恒成立，满足 max()fc。【例题 5】：【2014 高考北京文第 20 题改编】已知函数 3()2fx.若过点 (1,)Pt存在 3 条直线与曲线 ()yfx相切，求 t 的取值范围；方法一：方法二： 32046xt，设32()46gx， ()hxt，则“过点 (1,)Pt存在 3 条直线与曲线()yf相切 ”等价于“

13、()y与 图像有三个交点” 。g(x) 12x 212x12x(x1) 当 x变化时，g(x) 与 g(x)的变化情况如下：x (，0) 0 (0，1) 1 (1，)g(x) 0 0 g(x) 单调递增 3 单调递减 1 单调递增所以，g(0)3 是 g(x)的极大值，g(1)1 是 g(x)的极小值结合图像知，当 y=g(x)与 ()yh有 3 个不同交点时，有 1-1 或 t0, 令 ，得-2x0, ()0fx()0fxf(x)的单调递增区间是（-，-2）和（0，+ ） ，单调递减区间是（-2 ，0） 。（）解法一：由（）知，f(x)= ，321bf(-2)= 为函数 f(x)极大值，f(

14、0)=b 为极小值。43b函数 f(x)在区间 -3,3上有且仅有一个零点， 或 或 或 或 ，()0f(3)20f(3)0f(2)0f(3)0f即 ， ，即 b 的取值范围是 。 18403b4183418,)3解法二：由（）知，f(x)= ，令 =0， ， ()gxb， （以下32x321x2()hx略解）求出 在-3,3 的最值与单调区间，结合函数图像即可求解。321()hx附图：【例题 6】：设 若函数 在区间 内单调递减，求 的取值范围；32()13fxax()fx1,4a【解析】 函数 在区间 内单调递减，23131fxaxxafx1,4 ， (4)0 4,【变式】已知函数 23m

15、f） (0).若函数 )(f在区间 (21,)m上单调递增，求实数 m的取值范围解析由于 0m， )(xf， f的变化情况如下表： )3,(m),3(m),()xf+ 0 0 +(单调增 极大值 单调减 极小值单调增所以函数 )xf的单调递增区间是 (,3)m和 (,). 【例题 7】已知函数 当 时，若 在区间 上不单调，321()(1)(,)fxaxxbaR0()fx(1,)求 的取值范围a解析：因为函数 在区间 不单调，所以函数 在 上存在零点而 的两根为()fx(1,)()fx1,)()0fx， ，区间长为 ，在区间 上不可能有 2 个零点所以 ，即12(,)(1)f ， 又 ，2()

16、0aa20,aa02,a【例题 8】 xxf3(，若 f在 )3(上存在单调递增区间，求 的取值范围；解析： )(xf在 ),32上存在单调递增区间【例题 9】已知函数 ，其中 求 ()fx在区间 上的最小值32()()1fxxa0a2,3解：方程 的判别式 ， ()0f 80令 ，得 ，或 fx12ax21ax和 的情况如下： ()x1(,)x112(,)x2x2(,)x()f00x 故 的单调增区间为 ， ；单调减区间为 ()f 2(,1)a(,)2(1,)a 当 时， ，此时 fx在区间 上单调递增，02ax,3所以 ()fx在区间 上的最小值是 ,37(2)a 当 时， ，此时 fx在区间 上单调递减，在区间 上单调8123x2(,)x2(,3)x递增，所以 ()fx在区间 上的最小值是 ,325()3afx 当 时， ，此时 f在区间 上单调递减，8a12(,)所以 ()fx在区间 上的最小值是 ,3()7a综上，当 时， ()f在区间 上的最小值是 ；当 时， ()fx在区间 上02,238a2,3的最小值是 ；当 时， ()fx在区间 上的最小值是 53a8,73