1、第十章 立体几何一基础题组1. 【2017 高考上海，4】已知球的体积为 36 ，则该球主视图的面积等于 .【答案】 9【解析】设球的半径为 R，则： 34 ，解得： 3R ，该球的主视图是一个半径为 3 的圆，其面积为： 29S .2. 【2017 高考上海， 7】如图，以长方体 1ABCD 的顶点 D 为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若 1B的坐标为 4,32 ，则1AC的坐标是 .【答案】 4,32【解析】将向量 1的起点平移至点 D ，则平移后的向量与向量 1DB 关于平面1CD对称，据此可得： 14,32AC.3. 【2016 高考上海文数】如图，在正
2、方体 ABCDA1B1C1D1中， E、 F 分别为 BC、 BB1的中点，则下列直线中与直线 EF 相交的是（ ）.(A)直线 AA1 (B)直线 A1B1 (C)直线 A1D1 (D)直线 B1C1【答案】D【解析】试题分析：只有 1BC与 EF在同一平面内，是相交的，其他 A，B，C 中的直线与 EF都是异面直线，故选 D【考点】异面直线【名师点睛】本题以正方体为载体，研究直线与直线的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，题目不难，能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、空间想象能力等.4.【2015 高考上海理数】若正三棱柱的所有棱长均为 a，且其体积为 163，则 a 【答案】 4
3、【解析】 233164aa【考点定位】正三棱柱的体积【名师点睛】简单几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类简单几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握平几面积计算方法.柱的体积为 VSh,区别锥的体积13VSh；熟记正三角形面积为234a，正六边形的面积为2364a.5. 【2015 高考上海理数 】若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2，则其母线与轴的夹角的大小为 【答案】 3【解析】由题意得：1:(2)2rlhlh母线与轴的夹角为 3【考点定位】圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积 rlS2，圆柱的表面
4、积 )(2lrS ，圆锥的侧面积 rlS，圆锥的表面积 )(，球体的表面积 4R，圆锥轴截面为等腰三角形.6. 【2014 上海,理 6】若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【答案】 1arcos3.【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.7. 【2014 上海,文 8】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .【答案】24【解析】由题意割去的两个小长方体的体积为 2(51)324.【考点】三视图，几何体的体积8. 【2013 上海,理 13】在 xOy 平面上，将两个半圆弧(
5、 x1) 2 y21( x1)和( x3)2 y21( x3)、两条直线 y1 和 y1 围成的封闭图形记为 D，如图中阴影部分记 D绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 .过(0， y)(|y|1)作 的水平截面，所得截面面积为2418.试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出 的体积值为_【答案】2 2169. 【2013 上海,文 10】已知圆柱 的母线长为 l，底面半径为 r， O 是上底面圆心， A、 B是下底面圆周上两个不同的点， BC 是母线，如图若直线 OA 与 BC 所成角的大小为 6，则lr _.【答案】 3 【解析】由题知， 3tan6rllr.10. 【2012 上
6、海,理 8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2 的半圆面，则该圆锥的体积为_【答案】 3【解析】如图，由题意知 21l， l=2.又展开图为半圆， l=2 r， r=1，故圆锥的高为 3，体积 213Vrh11. 【2012 上海,理 14】如图， AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱， BC2.若AD2 c，且 AB BD AC CD2 a，其中 a， c 为常数，则四面体 ABCD 的体积的最大值是_【答案】 213ca【解析】如图：当 AB=BD=AC=CD=a 时，该棱锥的体积最大作 AM BC，连接 DM，则 BC平面 ADM， 21AMa， 21Da.又 AD=2c，
7、 DSc. VD ABC=VB ADM+VC ADM= 23.12. 【2012 上海,文 5】一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2.该圆柱的表面积为_【答案】6【解析】由底面周长为 2 可得底面半径为 1.S 底 2 r22， S 侧 2 rh4，所以 S 表 S 底 S 侧 6.13. 【2011 上海,理 7】若圆锥的侧面积为 2，底面面积为 ，则该圆锥的体积为_【答案】 3【解析】14. 【2011 上海,文 7】若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为 3,3,2 的三角形，则该圆锥的侧面积是_【答案】3【解析】15. 【2010 上海,理 12】如图所示，在边长为 4 的正方形纸片
8、ABCD 中，AC 与 BD 相交于O，剪去 AB，将剩余部分沿 OC、OD 折叠，使 OA、OB 重合，则以 A（B） 、C、D、O 为顶点的四面体的体积为_；【答案】 823【解析】在折叠过程中 OCB， DA始终没有改变，所以最后形成的四面体()ABD中， A底面 ，故其体积 218()33V，故答案为： 823.【点评】本题属于典型的折叠问题，解题的关键是：抓住折叠前后哪些几何元素的位置关系发生了改变，哪些位置关系没有发生改变，本题中应用正方形的性质是解题的推手.16. 【2010 上海,文 6】已知四棱椎 PABCD 的底面是边长为 6 的正方形，侧棱 PA底面ABCD，且 PA8，
9、则该四棱椎的体积是_【答案】96【解析】底面正方形的面积 S6 236，又 PA底面 ABCD， PA8， VPABCD 13SPA 36896. 17. (2009 上海,理 5)如图,若正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边长为 2,高为 4,则异面直线BD1与 AD 所成角的大小是_.(结果用反三角函数值表示)【答案】 5arctn18. (2009 上海,理 8)已知三个球的半径 R1,R2,R3满足 R1+2R2=3R3,则它们的表面积S1,S2,S3满足的等量关系是_.【答案】 321S 【解析】由题意 S1=4R 12,S2=4R 22,S3=4R 32,则 S1S2=16
10、2（R 1R2)2, 46221.又 31R, 213)(RS= )4(942121= 621SS= )4(92= 1S= 2)(. 213.19. (本题满分 14 分)(2009 上海,理 19)如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,AA1=BC=AB=2,ABBC,求二面角 B1-A1C-C1的大小.【答案】 3【解析】如图,建立空间直角坐标系,则 A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2),设 AC 的中点为 M,BMAC,BMCC 1,BM平面 A1C1C,即 BM=(1,1,0)是平面 A1C1C 的一个法向量.设平面 A1B1
11、C 的一个法向量是 n=(x,y,z).=(-2,2,-2), 1=(-2,0,0), n 1=-2x=0,n =-2x+2y-2z=0,令 z=1,解得 x=0,y=1. n=(0,1,1),设法向量 n 与 BM的夹角为 ，二面角 B1-A1C-C1的大小为 ，显然 为锐角.cos=|cos|= 2|,解得 3,二面角 B1-A1C-C1的大小为 3.20. (2009 上海,文 6)若球 O1、O 2表面积之比 421S,则它们的半径之比 21R=_.【答案】2【解析】由 442121RS,得 21.21. (2009 上海,文 8)若等腰直角三角形的直角边长为 2,则以一直角边所在的直
12、线为轴旋转一周所成的几何体体积是_.【答案】 38【解析】由题意可知,该几何体是底面半径 r=2,高 h=2 的圆锥,则其体积 3812hrV.22. (2009 上海,文 16)如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直角顶点的侧棱长为 4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是（ ）【答案】B【解析】由于主视图是在几何体的正前方,用垂直于投影面的光线照射几何体而得到的投影,易知图形 B 符合题意.23. 【2008 上海,理 16】(12)如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 是 BC1的中点，求直线 DE 与平面 ABCD 所成角的大小（结果
13、用反三角函数表示24. 【2007 上海,理 10】平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两个相交平面 与两直线 12,l，又知 12,l在 内的射影为 12,s，在 内的射影为 12,t.试写出 12,s与 ,t满足的条件，使之一定能成为 12,l是异面直线的充分条件 25. 【2007 上海,文 7】如 图 ， 在 直 三 棱 柱 1CBA中 ， 90，21A， 1BC， 则 异 面 直 线 BA1与 所 成 角 的 大 小 是 （结果用反三角函数值表示）.【答案】 6arcos【解析】26. 【2007 上海,文 16】 （本题满分 12 分）在正四棱锥 ABCDP中， 2，
14、直线 PA与平面 BCD所成的角为 60，求正四棱锥 的体积 V.【答案】 23【解析】作 PO平面 ABCD，垂足为 O.连接 A， 是正方形 ABCD的中心，PAO是直线 与平面 ABCD所成的角. PAO 60， 2. 3PO， 1A， 2B， 3131ABCDSV.27. 【2006 上海,文 16】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（A）48 （B） 18 （C） 24 （D）36【答案】D28. 【2005 上海,理 11】有两个相同的直三棱柱，高为 a2，底面
15、三角形的三边长分别为)0(5,43a。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则 的取值范围是_.【答案】 103a【解析】两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况四棱柱有一种，就是边长为 a5的边重合在一起，表面积为 24 2a+28三棱柱有两种，边长为 4的边重合在一起，表面积为 24 +32边长为 a3的边重合在一起，表面积为 24 2a+36 两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况表面积为 12 2+48最小的是一个四棱柱，这说明 201481224aa315a29. 【2005 上海,理 17】 （本题满分 12 分）已知直四
16、棱柱 1ABCD中， 1A，底面 BCD是直角梯形， A为直角，/， 4， 2， C，求异面直线 1与 所成角的大小 （结果用反三角函数值表示）【答案】 .173arcos【解析】由题意 AB/CD， BAC1是异面直线 BC1与 DC 所成的角.连结 AC1与 AC，在 RtADC 中，可得 5，又在 RtACC 1中，可得 AC1=3.在梯形 ABCD 中，过 C 作 CH/AD 交 AB 于 H，得 13,2,90BHB又在 1Rt中，可得 71，在 .173arcos,172cos, 11211 ABCBCAAC中异而直线 BC1与 DC 所成角的大小为 .173arcos如图，以 D
17、 为坐标原点，分别以 AD、DC、DD 1所在直线为 x、y、z 轴建立直角坐标系.则 C1（0，1，2） ，B（2，4，0） ),23(BC与设 1),(所成的角为 ，则 ,17arcos.73|cos1DB异面直线 BC1与 DC 所成角的大小为 .3r二能力题组30. 【2016 高考上海文数】 （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 个小题满分 6 分，第 2 个小题满分 6 分.将边长为 1 的正方形 AA1O1O（及其内部）绕 OO1旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为 56 ， A1B长为 3，其中 B1与 C 在平面 AA1O1O 的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积
18、；（2）求异面直线 O1B1与 OC 所成的角的大小. 【答案】 （1） V， 2S；（2） 圆柱的体积 221Vrl，圆柱的侧面积 S（2）设过点 B1的母线与下底面交于点 B，则 1/O，所以 CO或其补角为 1与 C所成的角由 A1长为 3，可知 13A，由 长为 56，可知 56， 2OBACB，所以异面直线 1OB与 C所成的角的大小为 2【考点】几何体的体积、空间角【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答此类试题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本
19、运算能力等.31. 【2016 高考上海理数】 （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第一小题满分 6 分，第二小题满分 6 分.将边长为 1 的正方形 1AO（及其内部）绕的 1O旋转一周形成圆柱，如图， AC长为23， AB长为 3，其中 B与 C在平面 A的同侧.（1）求三棱锥 1的体积；（2）求异面直线 1BC与 1A所成的角的大小.【答案】 （1） 32；（2） 4.【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高 1h，底面半径 1r， 13，再由三角形面积公式计算 1S 后即得.（2）设过点 的母线与下底面交于点 ，根据 1/，知 1C或其补角为直线1C与 1所成的角，再结合题
20、设条件确定 3， 得出 14即可试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高 1h，底面半径 1r由 AB的长为 3，可知 131111sin24SA，113V32OABCh在 1C 中，因为 12C， 1， ，所以 14C，从而直线 与 所成的角的大小为 4【考点】几何体的体积、空间角【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本
21、运算能力等.32.【2015 高考上海理数】 （本题满分 12 分）如图，在长方体 1CDA中，1A， D2， 、 F分别是 、 的中点证明 、 、 F、 四点共面，并求直线 1C与平面 1A所成的角的大小.【答案】 15arcsin【解析】解：如图，以 D为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为 12,0A、1C0,2、 ,0、 F,2、 C0,、 1D0,因为 A， 1，所以 1/，因此直线 A与 共面，即 1A、 C、 F、 共面设平面 E的法向量为 (,)nuyw，则 Fn， 1C，又 ,0， 10，故uvw，解得 uv取 1，得平面 1CFA的一个法向量 )1,(n又 1CD0,
22、2，故 1D5n因此直线 1C与平面 FEA1所成的角的大小为 15arcsin【考点定位】空间向量求线面角【名师点睛】(1)设两条异面直线 a， b 的方向向量为 a， b，其夹角为 ，则 cos |cos | (其中 为异面直线 a， b 所成的角)(2)设直线 l 的方向向量为|ab|a|b|e，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的角为 ，两向量 e 与 n 的夹角为 ，则有 sin |cos | .(3) n1， n2分别是二面角 l 的两个半平面|ne|n|e| ， 的法向量，则二面角的大小 n1， n2(或 n1， n2)33.【2015 高考上海文数】 （本题满分 12
23、 分）如图，圆锥的顶点为 P，底面的一条直径为AB， C为半圆弧 AB的中点， E为劣弧 CB的中点.已知 O， A，求三棱锥OP的体积，并求异面直线 P与 所成角的大小.【答案】 10arcos【解析】因为 2PO， A，所以三棱锥 C的体积 312311331 OPSVAC因为 E/，所以异面直线 与 E所成的角就是 A与 C的夹角.在 P中， 2， 5A，过 作 CH，则 ，在 APRt中， 10cosAPH，所以异面直线 与 OE所成角的大小 arcos.【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角.【名师点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法” ，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有
24、的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行34. 【2013 上海,理 19】如图，在长方体 ABCD A B C D中，AB2， AD1， AA1.证明直线 BC平行于平面 D AC，并求直线 BC到平面 D AC 的距离【答案】 23因为 BC(1,0，1)，所以 nBC0，所以 n BC.又 BC不在平面 D AC 内，所以直线 BC与平面 D AC 平行由 (1,0,0)，得点 B 到平面 D AC 的距离d |n 2210()| 3，所以直线 BC到平面 D AC 的距离为 23.35. 【2013 上海,文 19】如图
25、，正三棱锥 O ABC 的底面边长为 2，高为 1，求该三棱锥的体积及表面积【答案】体积为 3，表面积为 3【解析】由已知条件可知，正三棱锥 O ABC 的底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，经计算得底面 ABC 的面积为 3.所以该三棱锥的体积为 1.设 O是正三角形 ABC 的中心由正三棱锥的性质可知， OO垂直于平面 ABC.延长 AO交 BC 于 D，得 AD 3， O .又因为 OO1，所以正三棱锥的斜高 OD 23.故侧面积为 26 3 2.所以该三棱锥的表面积为 3，因此，所求三棱锥的体积为 ，表面积为 .36. 【2012 上海,理 19】如图，在四棱锥 P ABCD 中，
26、底面 ABCD 是矩形， PA底面ABCD， E 是 PC 的中点已知 AB2， 2AD， PA2.求：(1)三角形 PCD 的面积；(2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小【答案】(1) 23 ;(2) 4【解析】(1)因为 PA底面 ABCD，所以 PA CD又 AD CD，所以 CD平面 PAD从而 CD PD因为 22()3PD， CD2，所以三角形 PCD 的面积为 1.(2)解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则 B(2,0,0)， C(2,2,0)， E(1, 2,1)AE(1, ,1)， B(0, ,0)设 与 的夹角为 ，则 42cosC，4.由此知，异面直线 BC
27、与 AE 所成的角的大小是 4.解法二：取 PB 中点 F，连接 EF， AF，则 EF BC，从而 AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角在 AEF 中，由 2EF， A， AE2，知 AEF 是等腰直角三角形所以 AEF 4.因此，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 4.37. 【2011 上海,理 21】已知 ABCD A1B1C1D1是底面边长为 1 的正四棱柱， O1为 A1C1与B1D1的交点(1)设 AB1与底面 A1B1C1D1所成角的大小为 ，二面角 A B1D1 A1的大小为 .求证：tan=2 t；(2)若点 C 到平面 AB1D1的距离为 43，
28、求正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的高【答案】(1)参考解析; (2) 2【解析】设正四棱柱的高为 h.(1)证明：连 AO1， AA1底面 A1B1C1D1， AB1A1是 AB1与底面 A1B1C1D1所成角， AB1A1 .在等腰 AB1D1中， AO1 B1D1.又 A1C1 B1D1， AO1A1是二面角 A B1D1 A1的一个平面角， AO1A1 .在 Rt AB1A1中， 1tanh；在 Rt AO1A1中， 1tan2hO.tan2t.得 u hw， v hw， n( hw， hw， w)令 w1，得 n( h， h,1)由点 C 到平面 AB1D1的距离为 20431A
29、Chd，解得高 h2. 解法二：连 AC， CB1， CD1.一方面， 22211 12SABDOhh 则四面体 AB1D1C 的体积 29V.另一方面，设正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的体积为 V1，三棱锥 C B1C1D1的体积为 V2，则1243Vh.据此，得 219，解得高 h2.38. 【2011 上海,文 20】已知 ABCDA1B1C1D1是底面边长为 1 的正四棱柱，高 AA12，求：(1)异面直线 BD 与 AB1所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；(2)四面体 AB1D1C 的体积【答案】(1) 0arcos; (2) 23【解析】(1)连结 BD， AB1， B
30、1D1， AD1. BD B1D1， AB1 AD1， AB1D1为异面直线 BD 与 AB1所成角，记为 .2210cosA，异面直线 BD 与 AB1所成角的大小为 1arcos.(2)连结 AC， CB1， CD1.设正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的体积为 V1，三棱锥 C B1C1D1的体积为V2，则四面体 AB1D1C 的体积 V V14 V2.V12， 23.所求体积 3.39. 【2010 上海,理 21】(本题满分 13 分)本题共有 2 个小题，第一个小题满分 5 分，第 2个小题满分 8 分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用
31、9.6 米铁丝，骨架把圆柱底面 8 等份，再用 S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径 r取何值时， 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到 0.01 平方米）;(2)在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为 0.3 米时，求图中两根直线 31BA与 5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示） . 【答案】 （1） （2）【解析】(1) 设圆柱形灯笼的母线长为 l，则 l1.22r(0r0.6)，23(0.4).8Sr，所以当 r0.4 时， S 取得最大值约为 1.51 平方米；(2) 当 r0.3 时， l0.6，建立空
32、间直角坐标系，可得 13(0.,.6)AB，35(0.,3.6)AB，设向量 13与 5的夹角为 ，则 1352cos|AB，所以 A1B3、 A3B5所在异面直线所成角的大小为 arcos【点评】本题以圆柱形灯笼为载体，考查二次函数的实际应用、异面直线所成角的概念与求法，由此看出，立体几何板块难度比去年有所上升.40. 【2010 上海,文 20】如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6 米铁丝骨架将圆柱底面 8 等分再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)(1)当圆柱底面半径 r 取何值时， S 取得最大值？并求出该最大值(结果
33、精确到 0.01 平方米)；(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为 0.3 米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)【答案】(1) 当半径 r0.4(米)时， Smax0.481.51(平方米) ;(2) 参考解析41. 【2007 上海,理 16】体积为 1 的直三棱柱 1ABC中， 90ACB，1ACB，求直线 1AB与平面 C所成角.【答案】 6arcsin42. 【2006 上海,理 19】 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2小题满分 8 分）在四棱锥 P ABCD 中，底面是边长为 2 的菱形， DAB60 ，对角
34、线 AC 与 BD 相交于点O， PO平面 ABCD， PB 与平面 ABCD 所成的角为 60（1）求四棱锥 P ABCD 的体积；（2）若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 【答案】 （1）2;（2） arccos 42【解析】(1) 在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO平面 ABCD,得 PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, PBO=60.在 Rt AOB 中 BO=ABsin30=1, 由 PO BO,于是, PO=BOtg60= 3,而底面菱形的面积为 2 3.四棱锥 P-ABCD 的体积 V= 12 =2.(2)解法
35、一：以 O 为坐标原点,射线 OB、 OC、 OP 分别为 x 轴、 y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系.在 Rt AOB 中 OA= 3,于是,点 A、 B、 D、 P 的坐标分别是 A(0, 3,0),B(1,0,0),D(1,0,0) P(0,0, ).E 是 PB 的中点,则 E( 21,0, ) 于是 E=( 23,0, ), P=(0, 3, ).设 AP与DE的夹角为 ,有 cos= 42349,= arccos 42,异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos 2.解法二：取 AB 的中点 F,连接 EF、 DF.由 E 是 PB 的中点,得 EF PA, F
36、ED 是异面直线 DE 与 PA 所成角(或它的补角).在 Rt AOB 中 AO=ABcos30= 3=OP,于是, 在等腰 Rt POA 中, PA= 6,则 EF= 2.在正 ABD 和正 PBD 中, DE=DF= 3.cos FED= 4621DEF= 2异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos 42.43. 【2006 上海,文 19】 （本题满分 14）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分。在直三棱柱 ABC中， 90,ABC. （1）求异面直线 1与 所成的角的大小；（2）若 1与平面 S 所成角为 45，求三棱锥 1ABC的体积.
