1、哈尔滨三中 2015年第四次模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第 I卷（选择题）和第 II卷（非选择题）两部分，满分 150分，考试时间 120分钟（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用 2B铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀 第 I卷 （选择题, 共 60分）一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出
2、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知复数 ，则集合 中元素的个数是 *()nfiN|()zfnA4 B3 C2 D无数2. 函数 的图像关于直线 对称，且在()yfx1x1,单调递减， ，则 的解集为0()0fA B (1,),C D(1)(,)3执行如图程序框图其输出结果是A 29B 1C 3D 54. 已知平面 ，则“ ”是“ ”成立的,mnmnA充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件5. 某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是 ，该几何体的体积为2否开始结束1a230?a输出是A 43B 8C 4D 1636. 直线 被圆 所截得
3、弦的长度为 ，则实数 的:830lxy2:0Oxya3a值是A B C D11127 是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒5.2PM物，也称为可入肺颗粒物如图是根据哈尔滨三中学生社团某日早 6点至晚 9点在南岗、群力两个校区附近的监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出5.2的茎叶图，南岗、群力两个校区浓度的方差较小的是 A南岗校区 B群力校区 C南岗、群力两个校区相等 D无法确定8. 三棱锥 中， 为等边三角形， ， ，三棱锥PABC2PABCPAB的外接球的表面积为BA. B. C. D. 48124339用数学归纳法证明不等式“ ”时，由2,123*nNn不等式成立，推证 时，左
4、边应增加的项数是 2knknA. B. C. D.11k k12k10双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，双曲线 与抛物线CyC的准线交于 ， 两点， ，则双曲线 的实轴长为 24yxAB4A. B C D323南岗校区群力校区2 0.04 1 2 3 69 3 0.05 96 2 1 0.06 2 93 3 1 0.07 96 4 0.08 77 0.09 2 4 6正视图 侧视图俯视图11. 定义在 R上的奇函数 ，当 时， ，则关于 的()fx013log(),02()4xfx函数 的所有零点之和为()(01)FxfaA B C D31a3a31a3a12已知数列 满足 ，且
5、 ，则n41 Nnnn1的整数部分是201521aamA0 B1 C2 D3哈尔滨三中 2015年第四次模拟考试数学试卷（理工类）第卷 （非选择题, 共 90分）二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，将答案填在答题卡相应的位置上 ）13. 在等比数列 中， ， ，则 na81534a714. 现要将四名大学生分配到两所学校实习，则不同分配方法有 种15我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点 ，且法向量为 的直线（点法式）A)4,3()2,1(n方程为 ，化简得 类比以上方法，在空0)(2)3(1yx 02y
6、x间直角坐标系中，经过点 ，且法向量为 的平面（点法式）方程3,1)1,(n为 16. 向量 ， ， ，函数 的最大值为 (1,)AB(1,3)CDx(fxABCD()fx 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17.（本小题满分 12分）已知函数 223sincosfxxxR（）求函数 的最小正周期及在区间 上的最大值和最小值；f 0,（）将函数 图像向左平移 个单位，再向上平移 个单位，得到函数 fx61gx图像，求 的对称轴方程和对称中心坐标g18.（本小题满分 12分）某企业有 位员工.拟在新年联欢会中，增加一个摸球兑奖的环节，规定：每位员
7、工从10一个装有 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 个球，球上所标的面值之和为该员42工所获的中奖额.企业预算抽奖总额为 元，共提出两种方案.60方案一：袋中所装的 个球中有两个球所标的面值为 元，另外两个标的面值为 元；1050方案二：袋中所装的 个球中有两个球所标的面值为 元，另外两个标的面值为42元40（）求两种方案中，某员工获奖金额的分布列；（）在两种方案中，请帮助该企业选择一个适合的方案，并说明理由.19.（本小题满分 12分）如图，在三棱柱 中，面 为矩形， ， ， 为1CBA1A1B2AD的中点， 与 交于点 ， 面 1ADO（）证明： ；1（）若 ，求二面角 的余弦值OC1A
8、BC20.（本小题满分 12分）已知椭圆 : 的焦点分别为 、 ，点 在椭C21(0)xyab1(3,0)F2(,)P圆 上，满足 ， 127PF12tn4P（）求椭圆 的方程；（）已知点 ，试探究是否存在直线 与椭圆 交于 、 两点，且(,0)A:lykxmCDE使得 ？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.|DE21.（本小题满分 12分）已知函数 ， 21()(0)fxabx(1lngx（）若 ，且 存在单调递减区间，求 的取值范围；bFfa1B1CA1ADO（）设函数 的图象 与函数 的图象 交于点 、 ，过线段 的()gx1C()fx2CMN中点 作 轴的垂线分别交 、 于
9、点 、 ，是否存在点 ，使 在点T2PQT1CP处的切线与 在点 处的切线平行？如果存在，求出点 的横坐标，如果不2Q存在，说明理由. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10分）选修 4-1：几何证明选讲如图, 是圆 的直径， 是半径 的中点， 是 延长线上一点，且 ，ABOCOBDBBDO直线 与圆 相交于点 、 （不与 、 重合） ， 与MDTAN圆 相切于点 ，连结 ， ， NM（）求证： ；（）若 ，求 T 30TMC23.（本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知点 ， ，点 在曲线 ： 上.)sin,
10、co1(P,0QC)4sin(210（）求点 的轨迹方程和曲线 的直角坐标方程；C（）求 的最小值.Q24.（本小题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲已知正实数 ， 满足： .ab2（）求 的最小值 ；1m（）设函数 ，对于（）中求得的 ，是否存在实数 ，)0(|1|)(txtxf mx使得 成立，若存在，求出 的取值范围，若不存在，说明理由 哈尔滨三中 2015 年第四次模拟考试数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A B B A A C A C C D D C二、填空题：13. 14.15. 16. 181420xy
11、z2三、解答题：17. ， ，()2sin()6fx,2x7,6x的最大值为 -6 分f3（2） ,()cos2gx对称轴为直线 , 对称中心为 ， -12分2kx()Z(,2)4k()Z18. (1) 设方案一某员工获奖金额为 ，则 的可能取值为X0,61, 241(0)6PXC24(60)3PC24()6PXC则 的分布列为20 60 100163-4分设方案二某员工获奖金额为 ，则 的可能取值为Y40,68,241(0)6PYC24(60)3PC241()6PYC则 的分布列为40 60 80163-8分(2) ,0EXY1640,3DXY若回答由于两种方案的奖励额的期望相等，希望奖金分
12、配更集中，方案二的方差比方案一的方差小，所以应该选择方案二 -12 分若回答由于两种方案的奖励额的期望相等，希望奖金分配差距大一些，方案一的方差比方案二的方差大，所以应该选择方案一 -12 分19 （1）由 与 相似，知 ，又 平面 ，BA1D1ABCD1AB，C平面 ， ；-6 分1C1（2）以 为坐标原点 、 、 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角OAODCxyz坐标系，则 ， ， ， ，)0,3()0,36(B)3,()0,32(1B， ， ，),6(BC),(A),6(1设平面 ，平面 的法向量分别为 ， ，ABC1 ),(11zyxn),(22zyxn则 ， ；036111y
13、xnz),2(1， ， 036221yxnBzC)2,1(2n， 二面角的余弦值为 -12 分11227cos, 5n357020.(1) , 所求 的方程为 .-4分234,3cabaC214xy（2）假设存在直线 满足题设，设 ，l12(,)(,)DxyE将 代入 并整理得ykxm24y， -6 分22(14)80由 ，26(1)4)16(41)0kkmk得 -22m又 设 中点为 ，12284kx,DE0(,)Mxy223(,)14km，得 -10分AMk213k将代入得224()k化简得 ，解得 或4222010(1)50k5k所以存在直线 ，使得 ，此时 的取值范围为l|ADEk-1
14、2 分5(,)(,)21. 解：（1） 时，设函数1b 21()(ln(0)hxgfxax则21()ahx因为函数 存在单调递减区间，所以 有解，()0hx即 ，有 的解。210axx 时， 为开口向上的抛物线， 总有 有解；21ya210yaxx 时， 为开口向下的抛物线，而 总有 的0a2x 2解；则 ，且方程 至少有一个正根，此时，140a210yax。综上所述， 的取值范围为 -4分a1(,0)(,)4（2）设点 、 的坐标是MN2121,xyx则点 、 的横坐标为PQ2x点在 处的切线斜率为1C,|1212xkx点 处的切线斜率为2 babax)(|221假设 点 处的切线与 在点
15、处的切线平行，则 k1=k21CP2CQ即 则,)(211bxax2211212 21()()()lnxaxbxbyx. 设 ，则 1212)(lnx12xt ,1)(ltt令 则.,)(l)(ttr 22)()(4)( tttr因为 时， ，所以 r(t)在 上单调递增.故1t0)(tr1,0)1(r则 .这与矛盾，假设不成立.t2ln故 在点 处的切线与 在点 处的切线不平行. -12 分1CP2CQ22.（1）连接 ， , ,ON90D1BNON为等边三角形，则 ，B可证 与 相似，得 ；C2D又 ，则 -分2NTM C（2）由（1）知， ， 与 相似，则 -分DOCBOTM因为 ，所以152BT15C23.（1）1:2yxC5分0l（2） 2sin11cosin1042PQ10 分min24 （1） ，2)(21)(2baba 5 分（2） ， mttxtxf )(当且仅当 时成立，此时 ，1t 1x存在 使 成立 10 分,f)(
