1、 一道让五万考生得零分的解析几何题的深入探究2011 年山东省高考理科解析几何压轴题集定值、最值问题于一体，让五万考生得零分，得知此情我对此题做了深入探究这么多的考生得零分，原因是此题起点较高，第一问就是定值问题，第二问是最值问题，第三问是探索性问题，下面我们研究其多种解题思路原题：已知直线 与椭圆 交于 ， 两不同点，且 的面积l2:13xyC1(,)Pxy12(,)QOPQ，其中 为坐标原点62OPQS（）证明： 和 均为定值21x21y（）设线段 的中点为 ，求 的最大值M|OPQ（）椭圆 上是否存在三点 ， ， ，使得 ？若存在，判断 的CDEG62ODEGOESSDEG形状；若不存在
2、，说明理由这个题目关键是做好第（）问，由于第（）问作为起点比前几年第（）问高了些（前几年第（）问多数为求曲线方程，比较简单） ，所以考生普遍感到较难事实上，第（）问完全可以通过特殊情况的研究获得正确的结果，做第（） ， （）问时只要充分利用第（）问的结果，是不难做好的探究第（）问的三种解法：解法：从直线方程入手，注意讨论 （1）当 斜率不存在时， 、 关于 轴对称， ， ，因为 在椭圆上，所以lPQx21x21y1(,)Pxy，又 ，所以 ， ，此时 ， 23xy16|2OSy16|1|21321（2）当 斜率存在时，设 ，l:(0)lkxm代入 得 ，213xy22(3)63其中 ，2226
3、()4()0kmkk， ，1223x123x， 222124()| 3kmPQk又 到直线 的距离 ，Ol2|1mdk所以 ，22 24(3)|6|2 1PQkmS k 所以 ，满足 ，3km0此时 ， 222163()()kxk22211()()3xy评注：（）这是大多数学生熟悉的解法，特别是从特殊情况讨论的办法，值得同学们重视一般地，定值问题都可以利用特殊情况确定这个定值，使对一般情况的研究有了方向（）若使用面积公式 ，其中 ，同样能得到16|22OPQSmx12|3xk，这个办法可以使运算量减小，应该适当考虑这个办法一般地，用割补法求三角形的面223km积时，分割线段最好在坐标轴上解法：
4、考虑利用三角形的面积公式 ，于是把点转化为向量，利用向量的夹角公式1sin2SabC证明： 221OPQSxyPOQ 22211cosxyPOQ22121 2()yxyx222112()()xy， ，21216()21216即 ，又 ， ，12112xyxy213xy236xy，22123)()46()9 ( 2211214936xxy， ，2120xy 120xy，整理得， ，(6)9 213x又 ， 22113()xy21y评注：（）解法中 还可以使用割补法（就是解法评注221121()|OPQSxxy中提到的方法）论证：先考虑 ， 两点确定的直线与 轴相交的情况，设交点为 ，则 ，1(,
5、)Pxy12(,) 0(,)Rx1210yx解得 ，所以 121210()yxyxx021121|OPQSxyxy显然，当 平行于 轴时， ，仍然有 综上，PQ12121|121|OSxy这个结论很好记忆（）解法优点是不需要分类讨论，但是计算比较麻烦，变形技巧较高，不容易掌握，若是利用三角换元法对 进行变形，可以避开较高的技巧，于是有下面的解法2121()6xy解法：推导 的过程同解法2xy根据椭圆的标准方程，令 ， ， ， ，13cos12siny23cosx2siny则 ，2121()(6in6ic)6()6xy， ，sin cs)0，2221 1os2s3(o3()x 32cos()s(
6、)3又 ， 212()y12y或者由 得 ， ，cs0kZ，2222213(ocs)3(osin)3x 又 ， 212()y12y做第（）问应该充分利用第（）问的结论：解法：直接坐标化可以顺利利用第（）问的结果，但是计算比较复杂： 222221111|()()()()xOMPQxy1212122()4xyy21112)( )xxyxy，122122(5)(5xyy2554(4当且仅当 时取等号，结合第（）问 可得 ，0130xy120xy此时 ， ， ， ，符合条件1|x2|31|y2|因此， 的最大值为 |OMPQ52解法：若能注意到 的结果为定值，则有下面的更简单的解法：4|P，22222
7、211114|()()()()xyxy2211()()0xy所以 ，| 5OMQP即 ，当且仅当 时取等号，因此 的最大值为 5|2OQ |P|OMPQ52评注：上面的解法较好地利用了第（）问的结果，若是不注意这一点，则可能继续使用第（）问的第一种解法的分类讨论，于是有下面的解法：解法：（1）当 斜率不存在时，由（）知 ， ，此时l 16|2Ox1|y|6OMPQ（）当 斜率存在时，由（）知：l， ，1223()xkm12121()yxkm，2 2211 23|()(3)xO，222 2431|()()kPQ， ，22215|()Mm ( 5|2OMPQ当且仅当 ，即 时，等号成立23综合（）
8、 （）得 的最大值为 |OPQ2评注：显然，这种解法事实上利用了第（）问的一些中间结果，而不是最终结果，过程麻烦一些是理所当然的了3探究第（）问的独立解法：假如第（）问是独立的一问，也就是如果没有第（）问作为铺垫，那么，我们发现这是一个弦中点问题，很容易用点差法求出直线 、 的斜率之间的关系，于是有下面的解法，这个解法不用第OMPQ（）问的结论由题意 ， ， ，213xy213xy22103xy12121212()()03xxyy（）当 即当 斜率不存在时，由（）知 ， ，12l 16|2OMx1|2PQy此时 |6OMPQ（）当 时，可得 ，12x23OMPQk设 ， ，直线 、 夹角为 ，
9、OMk3PQ，2|tan| 62113OPQkk =当且仅当 时，等号成立 ，6|3ksin,1)5又 ， ，16(|i)22OPQSM 6|sinOMPQ当 时， 的最大值为 6sin5|PQ5综合（） （）得 的最大值为 |2在上面的解法中使用了两条直线的夹角公式，由于现在有些版本的教材没有这个公式，所以我们再提供求 的取值范围的向量解法： sin设 ， ，于是取 的一个方向向量 ，OMk23PQkOM(1,)ak取 的一个方向向量 ， ，(1,)b,PQ则 ，223cos| 419ak 2 13351429k当且仅当 时，等号成立 ， 6|3kcos(0,5 6sin,1)54做第（）问
10、也应该充分利用第（）问的结论：答案：椭圆 上不存在三点 ， ， ，使得 CDEG62ODEGOESS证明：假设存在三点 ， ， 满足 1(,)xy2(,)3(,)xyDEGOE由（）得： ，22131,22231,yy解得 ， ，因此 ， ， 只能在 这四点中选取三个不同的2213x2213y 6(,)点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，不可能有 所以椭圆 上不存在三ODEGOESSC点 ， ， ，使得 DEG62ODEGOESS评注：本小题很容易让人联想起 2004 年全国高考卷（当年山东省还没有自主命题，也是用的这套试题）第 12 题：已知 则 的最小值为（ ） 2221,abcabcaA B 3313132这个题目也是要解出 ， ，从而 ， ， ，于是当2ab2cab62c， 时， 取到最小值为 ，本题的思维误区是想利用基本不等式解2ab6c13决，而不去求出 的值,ab总结：在这个高考题的探究中，涉及到利用四大数学思想方法即函数方程，数形结合，分类讨论，转化化归从数学工具上看主要利用了直线斜率，向量，三角换元法，基本不等式
