1、【题型综述】1.动点轨迹问题解题策略一般有以下几种:(1)直译法:一般步骤为:建系,建立适当的坐标系;设点,设轨迹上的任一点 P(x,y);列式,列出动点 P 所 满足的关系式;代换,依条件式的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为 x,y 的方程式,并化简;证明,证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.(2)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写 出动点的轨迹方程;(3)代入法(相关点法):动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x0, y0)的变化而变化,并且 Q(x0, y0)又在某已知曲线上,则可先用 x,y 的代数式表示 x0,y 0,再将 x0,y 0
2、代入已知曲线得要求的轨迹方程;(4)参数法:当动点 P(x,y) 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将 x,y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程2.解轨迹问题注意:(1)求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求,求轨迹时,应先求轨迹方程,然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.(2)要验证曲线上的点是否都满足方程,以方程解为坐标点是否都在曲线上,补上在曲线上而不满足方程解得点,去掉满足方程的解而不再曲线上的点.【典例指引】类型一 代点法求轨迹方程例 1 【2017 课标 II,理】设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C: 上,过 M 作 x 轴的
3、垂线,垂足21xy为 N,点 P 满足 。2N(1) 求点 P 的轨迹方程;(2)设点 Q 在直线 上,且 。证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F。 3x1PQ因此点 P 的轨迹方程为 。2xy(2)由题意知 。设 ,则1,0F3,QtPmn(3) , 。33OQtOFtn,3,OPmnQtn由 得 , 又由(1)知 ,故A22mtn2。所以 ,即 。又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点 P 且垂tnA直于 OQ 的直线 过 C 的左焦点 F。l类型二 定义法求轨迹方程例 2.【2016 高考新课标 1 卷】设圆 的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0)
4、且与 x 轴 不重合,2150xyl 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(I)证明 为定值,并写出点 E 的轨迹方E程;(II)设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围.则 , .所以 .34821kx341221kx 34)1(2|1| 12kxkMN过点 且与 垂直的直线 : , 到 的距离为 ,所以)0,(Blm)(xyAm2.故四边形 的面积 .1)12| 22kkPQPQ3412| 2kPQMNS可得当 与 轴不垂直时,四边形
5、 面积的取值范围为 .lxPN)38,1当 与 轴垂直时,其方程为 , , ,四边形 的面积为 12.x3|M|综上,四边形 面积的取值范围为 .学科& 网N)8类型三 参数法求轨迹方程例 32016 高考新课标文数已知抛物线 : 的焦点为 ,平行于 轴的两条直线 分别交C2yxFx12,l于 两点,交 的准线于 两点 (I)若 在线段 上, 是 的中点,证明 ;C,ABCPQ, ABRPQ/ARFQ(II)若 的面积是 的面积的两倍,求 中点的轨迹方程.FAB则 .2,1221 baSxabFDabSPQFABF 由题设可得 ,所以 (舍去) , .设满足条件的 的中点为 .1x011xAB
6、),(yxE当 与 轴不垂直时,由 可得 .而 ,所以 .DEABk)(ybayba212当 与 轴垂直时, 与 重合,所以,所求轨迹方程为 . 12 分ABx x类型四 直 译法求轨迹方程 例 4. 已知动圆 过点 ,且在 轴上截得的弦长为 ()求圆心 的轨迹方程;C1,0Qy.C()过点 的直线 交轨迹 于 两点,证明: 为定值,并求,lC12,AxBy221QAB出这个定值.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果
7、,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.【扩展链接】1.若一个圆 内含于另一个圆 ,则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆,两圆的圆心为1C2C焦点,其长轴长为两圆半径之和;在一个圆内有一点,则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆,且其长轴长为已知圆的半径。过两点的两条直线的斜率之积为一负常数 的点的轨迹为一椭圆(两点除外)。两定点为椭圆的顶点,m两定点间的距离为长轴长。( 时,焦点在 x 轴上;当 时,焦点在 y 轴上)101m将圆的横坐标(或纵坐标)拉伸或缩短为原来的 倍,该圆变成椭圆;连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到
8、圆心的连线的交点的轨迹为一椭圆。方椭圆的长半轴与圆的半径长相等;两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点,从大圆上该点作 x 轴的垂线, 则过小圆交点向该垂线作垂线,其垂足的点的轨迹为椭圆。【同步训练】1在平面直角坐标系 中,设点 (1,0) ,直线 : ,点 在直线 上xoyFl1xPl移动, 是线段 与 轴的交点, 异于点 R 的点 Q 满足: , RPRF.(1)求动点 的轨迹的方程;PQl(2) 记 的轨迹的方程为 ,过点 作两条互相垂直的曲线 的弦 . EEAB,设 . 的中点分别为 问直线 是否经过某个定点?如CDABMN,果是,求出该定点,如果不是,说明理由【思路引导】
9、 (1)由已知条件知,点 R 是线段 FP 的中点,RQ 是线段 FP 的垂直平分线,点 Q 的轨迹 E 是以 F 为焦点,l 为准线的抛物线,写出抛物线标准方程(2)设出直线 AB 的方程,把 A、B 坐标代入抛物线方程,再利用中点公式求出点 M 的坐标,同理可得 N 的坐标,求出直线 MN 的斜率,得到直线 MN 的方程并化简,可看出直线 MN过定点2.已知点 为圆 上一动点, 轴于点 ,若动点 满足 (其中 为非零常数) (1)求动点 的轨迹方程;(2)若 是一个中心在原点,顶点在坐标轴上且面积为 8 的正方形,当 时,得到动点 的轨迹为曲线 ,过点 的直线 与曲线 相交于 两点,当线段
10、 的中点落在正方形 内(包括边界)时,求直线 斜率的取值范围.【解析(1)设动点 ,则 ,且 ,3.在直角坐标系 中, 已知定圆 ,动圆 过点 且与圆 相切,xOy2:136MxyN1,0FM记动圆圆心 的轨迹为曲线 .(1)求曲线 的方程;NC(2)设 是曲线 上两点,点 关于 轴的对称点为 (异于点 ),若直线 分别交,APABP,ABP轴于点 ,证明: 为定值.x,STOST【详细解析】(1)因为点 在 内,所以圆 内切于圆 ,则1,0F2136Mxy: NM,由椭圆定义知,圆心 的轨迹为椭圆,且 ,则 ,6NM 26,1ac29,8ab4.已知圆 与直线 相切,点 为圆 上一动点, 轴
11、于点 ,且动点满足 ,设动点 的轨迹为曲线 .(1)求动点 的轨迹曲线 的方程(2)若直线与曲线 相交于不同的两点 、 且满足以 为直径的圆过坐标原点 ,求线段 长度的取值范围.【详细解析】 (1)设动点 ,由于 轴于点又圆 与直线 即 相切, 圆将(*)代入可得 ,即即 ,又将 代入,可得当且仅当 ,即 时等号成立又由 , ,若直线 的斜率不存在,因以 为直径的圆过坐标原点 ,故可设 所在直线方程为 ,联立解得 同理求得 故 综上,得 5.已知椭圆 ,过点 作直线 交椭圆于 两点, 是坐标原点214xy1,0Ml,ABO(1)求 中点 的轨迹方程;(2)求 的面积的最大值,并求此时直线 的方
12、程ABPOl(2)令 联立 得: 因为:1lxhy241xyh2430hy21630h所以 所以 1224hy12SOMy22344h令 则 在 上单调递减,当 ,即3t2tt3,t时,0h此时, 学科& 网max2S:1lx6.已知圆 与 轴交于 两点,点 为圆 上异于 的任意2:4Oy,ABMO,AB一点,圆 在点 处的切线与圆 在点 处的切线分别交于 ,直线MOCD和 交于点 ,设 点的轨迹为曲线 .(1)求曲线 的方程;ADBCPEE(2)曲线 与 轴正半轴交点为 ,则曲线 是否存在直角顶点为 的内EHH接等腰直角三角形 ,若存在,求出所有满足条件的 的两条RtGKRtGK直角边所在直
13、线的方程,若不存在,请说明理由. 时,得 得: 或0k2130kk1k352 时,得 得: 或综上,共分三种情况两条直角边所在直线方程为: ;1yx两 条直角边所在直线方程为: 5312yx两条直角边所在直线方程为: 7.在平面直角坐标系 中,点 ,圆 ,以动点 为圆心的圆经过xOy13,0F2:310xyxP点 ,且圆 与圆 内切.()求动点 的轨迹 的方程;1FP2PE()若直线 过点 ,且与曲线 交于 两点,则在 轴上是否存在一点 ,使得l,0,AB,0Dt轴平分 ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.xADBt8.已知点 、 ,动点 满足 ,设动点 的轨迹为曲线 ,将曲线 上所有
14、点的1,0A4,BP2BAPC纵坐标变为原来的一半,横坐标不变,得到曲线 .(1)求曲线 的方程;E(2) 是曲线 上两点,且 , 为坐标原点,求 面积的最 大值.,EAOOB9.已知点 的坐标分别为 ,直线 相交于点 ,且它们的斜率之积是 ,,AB2,0,AMB12点 的轨迹为曲线 .()求 的方程;ME()过点 作直线 交曲线 于 两点,交 轴于 点,若 , ,证1,0Fl,PQyR1PFRQF明: 为定值.2【解析】 (1)设点 ,由已知得 ,学科&网,xy122xx10.已知 为坐标原点, , 是椭圆 上的点,且 ,设动O1,Mxy2,Nxy214xy1220xy点 满足 .(1)求动
15、点 的轨迹 方 程;P2PC(2)若直线 与曲线 相交于 , 两个不同点,求 面积的最大值.:0lymABOAB【思路引导】(1)利用向量关系 可得动点 的轨迹 的方程为 .2O 210xy(2)联立直线与椭圆的方程可得面积函数 ,注ABCS2223305mm意等号成立的条件.【详细解析】 (1)设点 ,则由 ,得 ,即,PxyPMON12,xyxy(2)由曲线 与直线 联立得 ,消 得 ,因为直线 与曲线Cl20xymy22340xml交于 , 两点,所以 ,又 ,所以 .AB1640230m设 , ,则 , ,3,xy4,xy3x234x因为点 到直线 : 的距离 ,O0d,2341ABk
16、x2234341kxx22160(493,所以 ,来源:学#科#网 Z#X#X#K609m609ABCmS22m,当且仅当 ,即 时取等号,2253223215所以 面积的最大值为 .学科& 网O11.已知圆 : ( ) ,设 为圆 与 轴负半轴的交点,过点 作圆 的弦 ,221xyr1ACxACM并使弦 的中点恰好落在 轴上 ()求点 的轨迹 的方程;AMME()延长 交曲线 于点 ,曲线 在点 处的切线与直线 交于点 ,试判断以点 为圆心,CENEAB线段 长为半径的圆与直线 的位置关系,并证明你的结论B(2) 设直线 MN 的方程为 , , ,直线 BN 的方程为 ,13cosin2aQ
17、lP,可得 , ,则点 A ,所以直线 AM 的方程为30xya2xya/2xy/2xy,/24, ,可得 ,直线 BN 的方程为 ,xya02ky2yx联立 可得 ,所以点 , , 12,xy114,2Bmxy1,Bm24Cm, 与直线 MN 相切22241mdB圆12.已知点 ,点 在 轴上,点 在 轴的正半轴上,点 在直线 上,且满足3,0MPyQxNPQ(1)当点 在 轴上移动时,求点 的轨迹 的方程;.PNyC(2)过点 做直线 与轨迹 交于 两点,若在 轴上存在一点 ,使得 是以,2TlC,ABx0,ExAEB点 为直角顶点的直角三角形,求直线 的 斜率 的取值范围.Elk来源:Z&xx&k.Com