1、冲刺 985：2018 届高三数学暑期班讲义（ 07）年 月 日立体几何专题 1. 2017 届山东烟台二中 12 月测试第 14 题 已知球的直径 ， ,AB在球面上， 2A，4PC， 则棱锥 的体积为 .45CPABPAB2. 2017 届四川成都七中高三月考第 11 题 在棱长为 2 的正方体 中， 为底面正方形 内1DCBAPABCD一个动点， 为棱 上的一个动点，若 ，则 的中点 的轨迹所形成图形的面积是（ ）Q1APQMA B C 3 D 24243 2017 届河北武邑中学高三上期中第 11 题 已知边长为 的菱形 中， ，现沿对角线 折23ABCD06BD起，使得二面角 为 1
2、20，此时点 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）ABD,ABA B C D2024284. 2017 届海南海口一中高三 10 月月考第 16 题 已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，所有棱长都相等，1ABC若该三棱柱的顶点都在球 的表面上，且三棱柱的体积为 ，则球 的表面积为 . O94O5. 16.10 月广东实验中学月考第 7 题 正方体 ABCDA 1B1C1D1 中 E 为棱 BB1 的中点（如图），用过点A，E， C1 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）A BC D6. 2017 届河北唐山开滦第二中学高三上期中第 15 题 在三棱柱 中，各棱长相等，侧棱垂直
3、于底面，1ABC点 是侧面 的中心，则 与平面 所成角的大小是 .D1BA1B7. 已知 为三条不同直线， 为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ）,lmn,A . 若 ，则 B. 若 ，则/,/n,/mnmnC. 若 ，则 D. 若 ，则,l/ml ,ll8. 2016 年全国 II 卷 ,是两个平面， ,n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果 /mn，那么 .（2）如果 ,，那么 m.（3）如果 /，那么 /.（4）如果 ,/，那么 与 所成的角和 n与 所成的角相等.其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）9将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为34 . 再将它们卷成两
4、个圆锥侧面，则两圆锥体积之比为（ ）A 34 B916 C2764 D都不对10. 2017 河北衡水六调 已知三棱锥 平面 ，其中 ， ，四点均在球的表面上，则球的表面积为 .11如图所示，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD，M、N 分别是 AB、PC 的中点，PAAD（1）求证：MN 平面 PAD；（2）求证：平面 PMC平面 PCD12. 如图，三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点 D，E 分别在棱PB，PC 上，且 DEBC()求证：BC 平面 PAC；()当 D 为 PB 的中点时，求 AD 与平面 PAC 所
5、成角的余弦值；()试问在棱 PC 上是否存在点 E，使得二面角 ADEP 为直二面角?若存在，求出 PEEC 的值；若不存在，说明理由13. 2016 浙江十二校联考第 17 题 如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，PABCDAB， ， ， ， ，且09ADCB2C3D4P60平面 平面 P（）求证： ；（）在线段 上是否存在一点 M，使二面角 的大小为 ，ABCD6若存在，求 的值；若不存在，请说明理由P14.如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 ，且 .1ABC1ABC112AB(1) 求证： ；(2) 若 ，求锐二面角 的大小.2115.2016 大连一模文 18 如图（1） ，在等腰梯形
6、 中， ， 分别为 和 的中点，且ABCDA,EFABCD， ， 为 中点，现将梯形 沿 所在直线折起，使平面 平面 ，2ABEF6CDMEFA如图（2）所示， 是 上一点，且 .N12N（）求证： 平面 ；AFE（）求三棱锥 的体积. (1) (2)DFEBCAMF DECAMBN15如图，四棱锥 PABCD中 ， 90BAD， 2CA， PBAD与 都是边长为 2 的等边三角形.()证明: ; ()求点 .到 平 面 的 距 离 BCADPB A1 C A B1 C1 立体几何高考题选讲（注意：小题文理通用，大题文理分做）1. 2016 高考新课标 1 卷文 平面 过正文体 ABCDA1B
7、1C1D1 的顶点 A 1/CBD平 面 , ABCm平 面 ,ABn平 面,则 m,n 所成角的正弦值为（ ）（A） 32（B） 2（C ） 3（D） 31. 2016 年天津卷理 如图，正方形 ABCD 的中心为 O，四边形 OBEF 为矩形，平面 OBEF平面 ABCD，点 G 为AB 的中点，AB=BE =2.（I）求证：EG平面 ADF；（II）求二面角 O-EF-C 的正弦值；（III）设 H 为线段 AF 上的点，且 AH= 23HF，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值.【解析】 （）证明：找到 AD中点 I，连结 FI，矩形 OBEF, B G、 I是中点， GI是
8、A的中位线 且 12 是正方形 ABCD中心 O EFGI 且 I=四边形 是平行四边形 I 面 AD E面 F（） OC正弦值解：如图所示建立空间直角坐标系 OxyzIzyx ABC DEFGHO02B， ， 20， ， ， 2E， ， ， 02F， ，设面 CEF的法向量 1nxyz， ，1 0202nxyzxz， ， ， ， ， ， ，得：201yz 2n， ， OC面 EF，面 的法向量 210n， ，11226cos 3n，126si3，（） AHF 2240055， ， ， ，设 xyz， ，得： 126475cos 213BHn，2. 2016 年全国卷 如图，在以 A，B，C
9、，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF =2FD，且二面角 D AF E 与二面角 C BE F 都是 90AFD-60（I）证明：平面 ABEF 平面 EFDC；（II）求二面角 E BC A 的余弦值-【解析】 为正方形ABF 90D =FE 面 面ACAFBE平面 平面B 由知 60DFEC AB平面平面 平面 C平面ABD面 面EF , 四边形 为等腰梯形C以 为原点，如图建立坐标系，设 FDa002EBa， ， ， ， 30202CaAa， ， ， ， ， ， ， ， B， ，设面 法向量为 .Cmxyz， ，即0mEB1120302aaz1113xyz，
10、，0， ，设面 法向量为ABC22nxyz， ，.即=0n2300aax22234xyz， ，n， ，设二面角 的大小为 .EBCA4219cos316mn二面角 的余弦值为 EBA3. 2016 年全国 II 卷 如图，菱形 BCD的对角线 A与 BD交于点 O， 5,6ABC，点 ,EF分别在,ADC上， 54EF， 交 于点 H将 EF沿 折到 EF位置， 10D（）证明： H平面 A；（）求二面角 的正弦值【解析】证明： ， ，54AECFAECFD F四边形 为菱形， ，BDB ， ， EFBDHEFD ， ；6AC3O又 ， ， ，54B ，1H ，3D ，222O 又 ，HEFI
11、 面 DABC建立如图坐标系 xyz， ， ， ，50B130C3D130A， ， ，4AurAur 6Cur设面 法向量 ，D1nxyz， ，由 得 ，取 ，10n30z345xyz 1345ur同理可得面 的法向量 ，ADC2301nur ，12975cos51nru i28、 （2016 年全国 III 高考）如图，四棱锥 PABC中， 地面 ABCD， A，3ABDC， 4， M为线段 上一点， 2M， N为 PC的中点（I）证明 MNA平面 PB；（II）求直线 与平面 所成角的正弦值.设 ),(zyxn为平面 PMN的法向量，则 0PNnM，即 0254zyx，可取 )1,20(n
12、，于是 258|,cos| An.4. 2016 年浙江卷 如图, 在三棱台 中,平面 平面ABCDEFBCE, ,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.ABC90(I)求证：EF平面 ACFD；(II)求二面角 B-AD-F 的平面角的余弦值.（II）方法一：过点 作 ，连结 FQA因为 平面 ，所以 ，则 平面 ，所以 CFAQFA所以， 是二面角 的平面角D在 中， ， ，得 Rt3231在 中， ， ，得 tQF1F3cosF4所以，二面角 的平面角的余弦值为 DA4. 【2016 高考新课标 1 文数】平面 过正文体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A 1/CBD平 面 , A
13、Cm平 面 ,1ABn平 面,则 m,n 所成角的正弦值为（ ）（A） 32（B ）（ C） 3（D）【答案】A考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理, 异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.6. 【2016 高考上海文科 】如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别为 BC、BB 1 的中点，则下列直线中与直线 EF 相交的是（ ）(A)直线 AA1 (B)直线 A1B1 (C)直线 A1D1 (D)直线 B1C1【答案】D【解析】试题分析：只有 1BC与 EF在同一平面内，是相交
14、的，其他 A，B，C 中直线与 EF都是异面直线，故选 D考点：1.正方体的几何特征；2.直线与直线的位置关系.【名师点睛】本题以正方体为载体，研究直线与直线的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，题目不难，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等.11.【2015 高考山东，文 9】 已知等腰直角三角形的直角边的长为 ，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )（A） 23（B） 423（ ） 2（ ） 42【答案】【解析】由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为 ，斜边上的高为 ，所得旋转体为同底等高的全等圆锥，所以，其体积为 214(),33，
15、故选 B.【考点定位】1.旋转体的几何特征；2.几何体的体积.【名师点睛】本题考查了旋转体的几何特征及几何体的体积计算，解答本题的关键，是理解所得旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何量.本题属于基础题，在考查旋转体的几何特征及几何体的体积计算方法的同时，考查了考生的空间想象能力及运算能力，是“无图考图”的一道好题.15. 2016 高考新课标文数如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A） 18365 （B） 4185 （C）90 （D）81【答案】B【解析】试题分析：由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表
16、面积 236235418S，故选 B考点：空间几何体的三视图及表面积【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解16. 【2014 全国 2，文 7】正三棱柱 1ABC的底面边长为 2，侧棱长为 3， D为 BC中点，则三棱锥1ABDC的体积为( )（A） 3 （B） 32 （C） 1 （D） 2 DA 1 C1AB1BC【答案】C【解析】如下图所示，连接 A，因为 BC是正三角形，且 D为 BC中点，则 ADBC，又因为1面 A，故 1，且
17、1，所以 A面 1，所以 是三棱锥 1的高，所以 1133BDCBCVS【考点定位】棱柱、棱锥、棱台的体积【名师点睛】本题考查几何体的体积的求法，属于中档题，求解几何体的底面面积与高是解题的关键，对于三棱锥的体积还可利用换底法与补形法进行处理25. 2016 高考新课标文数在封闭的直三棱柱 1ABC内有一个体积为 V的球，若 ABC，6AB， 8C， 13A，则 V的最大值是（ ）（A）4 （B） 92 （C）6 （D） 32 【答案】B【解析】试题分析：要使球的体积 V最大，必须球的半径 R最大由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值 32，此时球的体积为 3349()2
18、R，故选 B考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解41. 【2015 新课标 2 文 10】已知 BA,是球 O的球面上两点, 90AOB,C为该球面上的动点.若三棱锥ABCO体积的最大值为 36,则球 的表面积为（ ）A. 36 B. 4 C. 1 D. 56【答案】C【解析】试题分析：设球的半径为 R,则AOB 面积为 21R,三棱锥 OABC 体积最大时,C 到平面 A
19、OB 距离最大且为 R,此时 316V ,所以球 O 的表面积 241S.故选 C.【考点定位】本题主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力.【名师点睛】由于三棱锥 ABC底面 AOB 面积为定值,故高最大时体积最大,本题就是利用此结论求球的半径,然后再求出球 O的表面积,由于球与几何体的切接问题能很好的考查空间想象能力,使得这类问题一直是高考中的热点及难点,提醒考生要加强此方面的训练.4. 【2016 高考浙江文数】如图，已知平面四边形 ABCD，AB=BC =3，CD =1，AD= 5，ADC=90沿直线 AC 将ACD 翻折成 CDA，直线 AC 与 所成角的余弦的最大值是_【答案】
20、69【解析】试题分析：设直线 AC与 BD所成角为 设 O是 AC中点，由已知得 6AC，如图，以 OB为 x轴， A为 y轴，过 O与平面 ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由 (0,)2， 30(,)， 6(,0)2C，作 DH于 ，翻折过程中， DH始终与 AC垂直， 216DHCA，则 3， 15306，因此可设30630(cos,sin)，则 300(cos,sin)26Bur，与 CAur平行的单位向量为,1)nr，所以 cos,BDnurr6395cos，所以 cs1时， cos取最大值 69 HDDCB AzyxO考点：异面直线所成角.【思路点睛】先建立空间直角坐标系
21、，再计算与 CA平行的单位向量 n和 D，进而可得直线 CA与 D所成角的余弦值，最后利用三角函数的性质可得直线 与 所成角的余弦值的最大值6.【2015 高考四川，文 14】在三棱住 ABCA 1B1C1 中，BAC90 ，其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形，设点 M，N ，P 分别是 AB，BC，B 1 C1 的中点，则三棱锥PA 1MN 的体积是_.【答案】 24【解析】由 题意，三棱柱是底面为直角边长为 1 的等腰直角三角形，高为 1 的直三棱柱，底面积为 2如图，因为 AA1PN，故 AA1面 PMN，故三棱锥 PA 1MN 与三棱锥
22、PAMN 体积相等，三棱锥 PAMN 的底面积是三棱锥底面积的 14，高为 1故三棱锥 PA 1MN 的体积为 132【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、图形分割与转换的能力，考查基本运算能力.【名师点睛】解决本题，首先要正确画出三棱柱的直观图，包括各个点的对应字母所在位置，结合条件，三棱锥PA 1MN 的体积可以直接计算，但转换为三棱锥 PAMN 的体积，使得计算更为简便，基本上可以根据条件直接得出结论.属于中档偏难题.三、解答题1 【2016 高考新课标 1 文数 】 （本题满分 12 分）如图,在已知正三棱锥
23、 P-ABC 的侧面是直角三角形,PA=6,顶点 P在平面 ABC 内的正投影为点 E,连接 PE 并延长交 AB 于点 G.（I）证明 G 是 AB 的中点；（II）在答题卡第（18）题图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由）,并求四面体 PDEF 的体积PA BDCGE【答案】 （I）见解析（ II）作图见解析, 体积为 43【解析】试题分析：先证明 .ABPG由 B可得 G是 A的中点. （II）在平面 PAB内,过点 E作 P的平行线A1A BCC1B1MNP交 PA于点 F, 即为 E在平面 PAC内的正投影.要求四面体 PDEF的体积可先证明 DE平面 PA
24、B,把DE看作高,求出高及底面积, 即可确定体积.试题解析：（I ）因为 在平面 B内的正投影为 ,所以 .AB因为 D在平面 PAB内的正投影为 E,所以 .ABD所以 平面 E,故 .G又由已知可得, ,从而 是 的中点. （II）在平面 内,过点 作 P的平行线交 于点 F, 即为 E在平面 PAC内的正投影.理由如下：由已知可得 BA, C,又 /PB,所以 ,因此 EF平 面 PAC,即点F为 E在平面 AC内的正投影.连接 G,因为 在平面 内的正投影为 D,所以 是正三角形 的中心.由（I）知, 是 B的中点,所以 在 G上,故 2.3由题设可得 PC平面 A, E平面 PAB,
25、所以 /EPC,因此 21,.3PGDEC由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且 6,可得 2,.D 在等腰直角三角形 EF中,可得 2.F所以四面体 PD的体积 1433V考点：线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大, 以中档题为主.5. 2016 高考新课标文数如图，四棱锥 PABC中， 平面 ABCD， A，3ABDC， 4PAB， M为线段 D上一点，
26、2M， N为 P的中点（I）证明 MNA平面 PB；（II）求四面体 C的体积.【答案】 （）见解析；（） 453【解析】试题分析：（）取 PB的中点 T，然后结合条件中的数据证明四边形 AMNT为平行四边形，从而得到MNAT，由此结合线面平行的判断定理可证；（）由条件可知四面体 BC的高，即点 N到底面的距离为棱 的一半，由此可顺利求得结果试题解析：（）由已知得 23ADM，取 BP的中点 T，连接 ,，由 为 P中点知 BCT/，21BCTN. 3 分又 AD/，故 TA，四边形 NT为平行四边形，于是 AMN/.因为 平面 P， 平面 PAB，所以 /平面 PB. 6 分（）因为 PA平
27、面 BCD， N为 P的中点，所以 N到平面 的距离为 A21. 9 分取 BC的中点 E，连结 .由 3得 BCE， 52BEA.由 AM 得 到 BC的距离为 5，故 5421MS，所以四面体 N的体积 331PVBCBMN. .12 分考点：1、直线与平面间的平行与垂直关系；2、三棱锥的体积【技巧点拨】 （1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又推出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解9.【2015 高考湖南，文 18】 （本小题
28、满分 12 分）如图 4，直三棱柱 1ABC的底面是边长为 2 的正三角形， ,EF分别是 1,BC的中点。（I）证明：平面 A平面 1；（II）若直线 1与平面 1所成的角为 45，求三棱锥 FAEC的体积。【答案】 （I）略； (II) 612 .【解析】（II）设 AB的中点为 D，连接 1,AC，因为 AB是正三角形，所以 CDAB，又三棱柱 1CAB是直三棱柱，所以 ，因此 平面 1，于是 1直线 1与平面 1所成的角，由题设知 145C，所以 1ADC3AB，在 1Rt中， 21312D，所以 12FCA故三棱锥 FAEC的体积 6AECVSF。【考点定位】柱体、椎体、台体的体积；
29、面面垂直的判定与性质【名师点睛】证明面面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础由于“线线垂直”“ 线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核 心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在求锥的体积关键在于确定其高，即确定线面垂直.11. 【2016 高考山东文数 】 （本小题满分 12 分）在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EFDB.（I）已知 AB=BC，AE =EC.求证：ACFB；（II）已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点.求证：GH平面 ABC.【答案】
30、 （） ）证明：见解析；（）见解析.【解析】（）设 FC的中点为 I，连 HIG,，在 CEF中， G是 的中点，所以 EFGI/，又 DB/，所以DBGI/；在 中， 是 B的中点，所以 BI/，又 HI，所以平面 HI平面 AC，因为 H平面 I，所以 /平面 A.IFEHGBDCA考点：1.平行关系；2.垂直关系.【名师点睛】本题主要考查直线与直线垂直、直线与平面平行.此类题目是立体几何中的基本问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给出规范的证明.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力及转化与化归思想等.12. 【2015
31、 高考山东，文 18】 如图，三棱台 DEFABC中， 2DEGH， ， 分别为 ACB， 的中点.（I）求证： /BD平面 FGH；（II）若 CAC， ， 求证：平面 平面 GH. 【答案】证明见解析【解析】（I）证法一：连接 ,.DGC设 FM,连接 H，在三棱台 DEFABC中， 2DEG， 分别为AC的中点，可得 /F，所以四边形 CG是平行四边形，则 M为 的中点，又 H是B的中点，所以 HB,又 M平面 ， 平面 ，所以 /B平面 F.来源:学. 科.网 Z.X.X.K证法二：在三棱台 DEFABC中，由 2,EFH为 BC的中点，可得 /,BH所以 为平行四边形，可得 /.F在
32、 AC中， G， 分别为 ， 的中点，所以 /,又 F，所以平面 F平面 ABED，因为 BD平面 ，所以 /平面 GH.(II)证明：连接 HE.因为 G， 分别为 ACB， 的中点，所以 /,GHAB由 ,C得 GHB，又为 BC的中点，所以 /,FEH因此四边形 EFC是平行四边形，所以 /.FE又 F，所以 B.又 ,E平面 ， ，所以 B平面 ，又 B平面 D，所以平面 C平面 .EG【考点定位】1.平行关系；2.垂直关系.【名师点睛】本题考查了空间几何体的特征及空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系和垂直关系，从证明方法看，起点低，入口宽，特别是第一小题.证明过程中，关键
33、是注意构造线线的平行关系、垂直关系，特别是注意利用平行四边形，发现线线关系，进一步得到线面关系、面面关系.本题是一道能力题，属于中等题，重点考查两空间几何体的特征及空间直线、平面的平行关系和垂直关系等基础知识，同时考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力思维的严密性、函数方程思想及应用数学知识解决问题的能力.16. 【2014 全国 2，文 18】 （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 PABCD中，底面 为矩形， PA平面 BCD， E是 P的中点.（）证明： /平面 E；（）设 1,3，三棱锥 BD的体积 34V，求 到平面 的距离. A DB CP E【答案】 （）详见解析；（） 31OA
34、DB CP EH【考点定位】1.直线与平面平行；2.点到平面的距离.【名师点睛】本题考查了直线与平面平行的判断与证明，等体积的求法求距离，属于中等题，考查学生分析解决问题的能力，要证线面平行，由判定定理可知，只需在面内作一直线与已知直线平行即可，如何作出这条面内线就是平时的经验积累与分析思维的能力了，求点到平面的距离，可用等体积法25. 【2014 年.浙江卷.文 20】 （本小题满分 15 分）如图，在四棱锥 BCDEA中，平面 ABC平面 DE； 90CBED， 2AC，1DE， 2.（1）证明： 平面 ；（2）求直线 A与平面 所成的角的正切值.【答案】 （1）详见解析；（2） 13.试
35、题解析：（1）连结 BD，在直角梯形 BCDE中，由 1BE， 2CD得 2BC，由 2,AC得 22A，即 A，又平面 平面 E，从而 平面 .（2）在直角梯形 B中，由 BC， 2得 BC，又平面 A平面 D，所以 平面 A.作 EF/于 C的延长线交于 F，连结 ，则 EF平面 A，所以 是直线 E与平面 所成的角.在 BEFRt中，由 1， 4EBF，得 2， BF，在 ACT中， 2， 3C，得 6A，在 EFRt中，由 ， 26F得 13tanEF，所以直线 A与平面 BC所成的角的正切值是 .考点：空间点、线、面的位置关系，线面所成的角.【名师点睛】传统方法证明直线和平面垂直的常
36、用方法：(1)利用判定定理；(2)利用判定定理的推论(ab， ab)；(3)利用面面平行的性质(a ， a )；(4)利用面面垂直的性质当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面有关线面是成角问题主要通过线在面内的射影，三垂线定理构造直角三角形求解.28.【2014 ，安徽文 19】 （本题满分 13 分）如图，四棱锥 ABCDP的底面边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 172.点 HFEG,分别是棱B,上共面的四点，平面 GEFH平面 ABCD， /平面 .（I）证明： ;/EFGH（II）若 2，求四边形 的面积.【答案】 （I） /GHEF；（II） 18.【解析】
37、试题分析：（I ）要证线线平行，通过线面证明线线平行，再根据平行的传递性即可证明.因为 BC平面EF， BC平面 P，且平面 BC平面 GEFH，所以 G .同理可证 ，因此 GH EF.（II）要求出四边形 的面积，首先需要确定四边形的形状，求出四边形一些量的大小即可求出.连接 ,ACBD交于点 O， 交 EF于点 K，连接 ,OPG.因为 APC， O是AC的中点，所以 P，同理可得 PB.又 DAC，且 BD都在底面内，所以PO底面 .又因为平面 GEFH平面 ，且 平面 EFH，所以 平面 EFH.因为平面 B平面 K，所以 ，且 底面 ，从而 K.所以GK是梯形 EF的高.由 8,2
38、AB得 :BAK= :1:4，从而 142BO，即为 OB的中点.再由 P G得 1PO，即 G是 的中点，且 2HC.由已知可得24, 6832B，所以 3，故四边形 GEF的面积412GHEFSK.试题解析：（I ）证明：因为 C平面 GEFH， BC平面 P，且平面 BC平面 HG，所以 B.同理可证 ，因此 .（2 ） 连接 ,ACBD交于点 O， 交 EF于点 K，连接 ,OPG.因为 APC， O是 的中点，所以PO，同理可得 P.又 BDAC，且 BD都在底面内，所以 底面 ABCD.又因为平面 GEFH平面 ，且 平面 H，所以 平面 EFH.因为平面 平面K，所以 ，且 G底
39、面 ，从而 .所以 K是梯形 GEF的高.由 8,2AB得 :BA= :1:4K，从而 142KBO，即 为 B的中点.再由PO G得 1PO，即 是 的中点，且 HC.由已知可得24, 6832BB，所以 3G，故四边形 EFH的面积412HEFSK.考点：1.线面平行的性质定理；2.平行的传递性；3.四边形面积的求解 .【名师点睛】解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；求四边形面积出现的很少，做好这类问题需要分析四边形是何种类型的，各参数是多少即可求出.29. 【20
40、15 高考安徽，文 19】如图，三棱锥 P-ABC 中， PA 平面 ABC，1,2,60PABCAo.（）求三棱锥 P-ABC 的体积；（）证明：在线段 PC 上存在点 M，使得 AC BM，并求 MC的值.【答案】 （） 36 （） 13PMC（）证：在平面 ABC内，过点 B 作 ACN，垂足为 N，过 作 PAM/交 C于 ，连接 BM.由 PA面 BC知 AP，所以 ACMN.由于 NMB，故 AC面 MBN，又 面MN，所以 .在直角 中， 21cosB，从而 23.由 P/，得 31CA .【考点定位】本题主要考查锥体的体积公式、线面垂直的判定定理和其性质定理.【名师点睛】本题将正弦定理求三角形的面积巧妙地结合到求锥体的体积之中，本题的第（）问需要学生构造出线面垂直，进而利用性质定理证明出面面垂直，本题考查了考生的空间想象能力、构造能力和运算能力.
