1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标 1 卷）理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设i2z，则 |z（）A 0B C 1D 21.答案：C解答：2izi， z，选 C.2已知集合 20Ax，则 AR（）A
2、 1B 12xC |D |1|2x2.答案：B解答： |2x或 ，则 |RCA.3某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是（）A新农村建设后，种植收入减少B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入增加了一倍D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半3.答案：A解答：假设建设前收入为 a，则建设后收入为 2a，所以种植收入在新农村建设前为 60%a，新农村建设后
3、为 37%2a；其他收入在新农村建设前为 4%a，新农村建设后为 52，养殖收入在新农村建设前为 30a，新农村建设后为32故不正确的是 A.4记 nS为等差数列 na的前 项和.若 324S， 1a，则 5（）A 12B 0C 1 D4.答案：B解答：11111134() 96732022adadada603， 5(3)0.5设函数2()(1)fxax.若 ()fx为奇函数，则曲线 ()yfx在点 0,)处的切线方程为A 2yB yC 2yD 5.答案：D解答： ()fx为奇函数， ()(fxf，即 1a， 3()fx，(0)1f，切线方程为： ，选 D.6在 ABC 中， 为 边上的中线，
4、 E为 AD的中点，则 EB（）A34B134ACC14BD34AC6.答案：A解答：1()22E.7某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 到N的路径中，最短路径的长度为（）A 172B 52C3 D27.答案：B解答：三视图还原几何体为一圆柱，如图，将侧面展开，最短路径为 ,MN连线的距离，所以 24MN，所以选 B.8设抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为23的直线与 C 交于 M，N 两点，则 FMN=（）A5 B6 C 7 D88.答案：D解
5、答：由题意知直线 的方程为(2)3yx，设 12(,)(,)xy，与抛物线方程联立有2()34yx，可得1y或24， (0,)(,)FMN， 038FMN.9已知函数e0()lnxf， ， ， ()gxfa若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是（）A1，0） B0，+）C1，+）D1，+）9.答案：C解答： ()gxfa存在 2个零点，即 ()yf与 yx有两个交点，)(f的图象如下：要使得 yxa与 )(f有两个交点，则有 1a即 ，选 C.10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，A
6、C ABC 的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 p1，p 2，p 3，则（）Ap 1=p2Bp 1=p3Cp 2=p3 Dp 1=p2+p310.答案：A解答：取 2BC,则 2，区域的面积为 1S，区域的面积为231()S，区域的面积为23，故 12p.11已知双曲线 C：21xy，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M、 N.若 为直角三角形，则|MN|= （）A 32B3 C 3D411.答案：B解答：渐近线方程为：20xy，即3yx， OMN为直角三角形，假设ON，如图，
7、NMk，直线 方程为 3(2)yx.联立3(2)yx3(,)2，即 3O， N，故选 B.12已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（）A 34B 23C 324D12.答案：A解答：由于截面与每条棱所成的角都相等，所以平面 中存在平面与平面1D平行（如图） ，而在与平面 1AB平行的所有平面中，面积最大的为由各棱的中点构成的截面 EFGHMN，而平面 EFGHN的面积12364S.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若 x， y满足约束条件201xy，则 32zxy的最大值为_13.答案： 6解答：画出可
8、行域如图所示，可知目标函数过点 (2,0)时取得最大值，max3206z.14记 nS为数列 na的前 项和.若 21nSa，则 6S_14.答案： 解答：依题意， 12,n作差得 1n，所以 na为公比为 2的等比数列，又因为 aS，所以 a，所以12，所以661()32S.15从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种 （用数字填写答案）15.答案： 16解答：恰有 位女生，有124C种；恰有 2位女生，有2种，不同的选法共有 1246种.16已知函数 sinfxx，则 f的最小值是_16.答案：32解答： ()si2f， ()f最小
9、正周期为 2T，()co)(cos1fxxx，令 ()0fx，即2s10，或 .当c，为函数的极小值点，即 3x或5,当 o,x53()2f.3()2f， (0)2)0f， ()f ()fx最小值为 .三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17 （12 分）在平面四边形 ABCD中， 90， 45A， 2B， 5D.（1）求 cos；（ 2） 若 2， 求 .17.答案：（1）35；（2）5.解答：（1）在 ABD中，由正弦定理得：52sin4iA
10、DB,2sin5, 90,23cos1.（2）C,coscs()sinBC，coscs()in2BDAD,22oCBD,85. 5B.18 （12 分）如图，四边形 AC为正方形， ,EF分别为 ,ABC的中点，以 F为折痕把 DFC 折起，使点 到达点 P的位置，且 .（1）证明：平面 E平面 D；（2）求 P与平面 BF所成角的正弦值.18.答案：（1）略；（2）34.解答：（1） ,EF分别为 ,ADBC的中点，则 /EFAB， F，又 PB， P， 平面 P，平面 ，平面 E平面 .（2） ， /， ，又 ， ， 平面 D， PE，设 4AB，则 EF， 2P， 3E，过 P作 H交
11、于 点，由平面 平面 ABD， 平面 ，连结 H，则 D即为直线 与平面 F所成的角，由 PEF，234P，而 4，sinD， D与平面 AB所成角的正弦值34.19 （12 分）设椭圆2:1xCy的右焦点为 F，过 的直线 l与 C交于 ,AB两点，点M的坐标为 (,0).（1）当 l与 轴垂直时，求直线 AM的方程；（2）设 O为坐标原点，证明： OB.19.答案：（1）2()yx；（2）略.解答：（1）如图所示，将 1代入椭圆方程得21y，得2，2(,)A， 2AMk，直线 A的方程为：()x.（2）证明：当 l斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当 l斜率存在时，设其方程为 ()yk
12、x， 12(,)(,)AyBx，联立椭圆方程有2(1),ykx即22(1)40k，2141k， 21xk，121212(3()4AMBykxxkx 22124()0)(kx， Mk， OAB.20 （12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 )10(p，且各件产品是否为不合格品相互独立 （ 1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 (f,求 )pf的最大值点 0p（2）现对一箱产品
13、检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 0p作为的值已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X，求 EX;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？20.答案：略解答：（1）由题可知2180()()fpCp（ 0）.21872170() ()0)fpCCpp当,时， ()f，即 ()f在,)上递增；当(,时，()fp，即 p在,10上递减. 在点处取得最大值，即 01p.（2） （i）设余下产
14、品中不合格品数量为 Y，则 4025XY，由题可知1(80,)YB:，18EYnp. 4250425189EX（元）.（ii）由（i）可知一箱产品若全部检验只需花费 40元，若余下的不检验则要9元，所以应该对余下的产品作检验.21 （12 分）已知函数 1()lnfxax（1）讨论 的单调性；（2）若 ()f存在两个极值点 12,，证明： 12ffxa21.答案：（1）见解析；（2）见解析.解答：（1）()lnfxax，2()fx，当 2时，0， ()fx，此时 ()fx在 0,)上为单调递增. ，即 2a或 ，此时方程 210xa两根为2144,，当 时，此时两根均为负， ()fx在(0,)
15、上单调递减.当 2a时， 0，此时 ()fx在240,a上单调递减，fx在24,)a上单调递增， f在,)上单调递减.综上可得， 时， (fx在 ,)上单调递减； 2a时， (fx在2(0,)，2(,)a上单调递减， ()fx在4,)a上单调递增.（2）由（1）可得， 210xa两根 12,x得 a， 1212,ax，令20x，12，2()ln(ln)ffx11()(ln)ax.1 122()lx，要证2ffx成立，即要证 1ln成立，122ln0(1)x，221l0x即要证22l( 2)令()lngxx，可得 (gx在 1,)上为增函数，()10，12ln成立，即21(ffxa成立.（二）选
16、考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 xOy中，曲线 1C的方程为 |2ykx.以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2的极坐标方程为 cos30.（1）求 2C的直角坐标方程；（2）若 1与 有且仅有三个公共点，求 1的方程.22.答案：（1） 2()4xy；（2）423yx解答：（1）由 2cos30可得： 230xy，化为2()4xy.（2） 1C与 有且仅有三个公共点，说明直线 ()k与圆 2C相切，圆圆心为 (,0)，半径为 2，则 21k，解得43，
17、故 1的方程为43yx.23选修 45：不等式选讲 （10 分）已知 ()|1|fxax.（1）当 时，求不等式 ()1f的解集；（2）若 0,时不等式 成立，求 a的取值范围.23.答案：（1）|2x；（2） (0,.解答：（1）当 1a时，21)|1|xfx， ()fx的解集为|2x.（2）当 0时， ()|1f，当 (0,)x时， ()fx不成立.当 a时， ,1， 1fa，不符合题意.当 时， ， 成立.当 1a时，(),)112,axfxa， ()12，即 2a.综上所述， 的取值范围为 (0.参考答案：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C B A B D A B
18、D C A B A13.6 14. 6 15.16 16. 3217.（12 分）解：（1）在 中，由正弦定理得 siniAB.由题设知， 5sin4iADB，所以 25.由题设知， 90，所以 3cos1.（2）由题设及（1）知， 2in5CAB.在 BCD 中，由余弦定理得 2cosBD2585.所以 B.18.（12 分）解：（1）由已知可得，BFPF，BF EF，所以 BF平面 PEF.又 F平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD.（2）作 PHEF ，垂足为 H.由（1）得，PH平面 ABFD.以 H 为坐标原点，的方向为 y 轴正方向， |BF为单位长，建立如图所示的空间直
19、角坐标系 Hxyz.由（1）可得，DEPE .又 DP=2，DE=1，所以 PE= 3.又 PF=1，EF=2，故 PEPF.可得 3,2PHE.则 3(0,)(,),(1,0)(1,),22DP3(0,)2HP为平面ABFD 的法向量.设 DP 与平面 ABFD 所成角为 ，则34sin|HPD.所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 34.19.（12 分）解：（1）由已知得 (1,0)F，l 的方程为 x=1.由已知可得，点 A 的坐标为 2或 (1,).所以 AM 的方程为 yx或 2yx.（2）当 l 与 x 轴重合时， 0OMB.当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB
20、的垂直平分线，所以 OMAB.当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 (1)0k，12(,)(,)AyB，则 ，直线 MA，MB 的斜率之和为 21ABxy.由 12,kxkx得21(3)4MAB.将 )ykx代入 2y得22(1)40.所以，212,xkk.则31 3122241843() 0kkx .从而 0MAB，故 MA，MB 的倾斜角互补，所以 OMAB.综上， O.20.（12 分）解：（1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 2180()C()fpp.因此218172170 0()C()()fppp.令 ，得 当 ,.时， f；当 ,时，.所以 ()f的最大
21、值点为 0.（2）由（1）知， .1p.（i）令 Y表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 (180,.)YB:，05X，即 425XY.所以 (42)90EE.（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元.由于 ，故应该对余下的产品作检验.21.（12 分）解:（1） ()fx的定义域为 (0,)，2211(axfx.（i）若 2a，则 )f，当且仅当 a， 时 ()0f，所以 ()fx在(0,单调递减.（ii）若 ，令 ()0fx得，24或24ax.当224(, ,)aaxU时， ()0f；当 ,)时， (fx.所以 x在2244(0,),(,aa
22、单调递减，在224,)aa单调递增.（2）由（1）知， fx存在两个极值点当且仅当 .由于 ()fx的两个极值点 12,满足 10x，所以 12x，不妨设 12x，则 2.由于121212 122lnlnlnffaaax x，所以 12()fxf等价于 22l0x.设函数 lngx，由（1）知， ()g在 ,)单调递减，又 (1)0g，从而当 (,)x时， ()0g.所以 221l，即 12ffxa.22选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）解:（1）由 cosx， siny得 2C的直角坐标方程为2(1)4xy（2）由（1）知 2C是圆心为 (1,0)A，半径为 的圆由题设知， C是过点
23、 (0,)B且关于 y轴对称的两条射线记 轴右边的射线为 1l， y轴左边的射线为 2l由于 在圆 的外面，故 1与 2有且仅有三个公共点等价于 与 2只有一个公共点且 与2有两个公共点，或 l与 只有一个公共点且 1l与 有两个公共点当 1l与 C只有一个公共点时， A到 1l所在直线的距离为 ，所以 2|1k，故43k或 0经检验，当 时， 1l与 2C没有公共点；当43k时， 1l与 2C只有一个公共点，2l与 有两个公共点当 2l与 C只有一个公共点时， A到 2l所在直线的距离为 2，所以 2|1k，故0k或43经检验，当 时， 1l与 2C没有公共点；当43k时， 2l与 C没有公共点综上，所求 1的方程为4|3yx23选修 45：不等式选讲 （10 分）解：（1）当 1a时， ()|1|fxx，即,1,()2,.xf故不等式 ()fx的解集为2（2）当 0,时 |a成立等价于当 (0,1)x时 |1ax成立若 a，则当 ,1)时 1x；若 ， |x的解集为0，所以 a，故 2综上， 的取值范围为 (,2.
