1、1,第八章 机械波,2,机械波：机械振动在连续介质中的传播形成机械波,电磁波：交变电磁场在空间的传播,引言,.,3,机械波,惠更斯原理,波动方程,波强,叠加干涉,多普勒效应,本章内容提要,波动式,4,8-1 机械波,1. 机械波的产生,2. 横波和纵波,3. 波面和波射线,4. 波长和波数,5. 波速,5,1. 机械波的产生,(1) 波源 (2) 媒质,6,2. 横波和纵波,横波： 质点的振动方向和波动的传播方向垂直,纵波： 质点的振动方向和波动的传播方向相平行,有波峰和波谷,存在相间的 稀疏和稠密区域。,7,8,质元并未“随波逐流”。,有的波既非横波又非纵波,注：,例:水波是纵波还是横波?,
2、振动状态（相位）的传播,9,3. 波面和波射线,10,4. 波长和波数,波长：沿波的传播方向两相邻同位相点之间的距离,周期T ：波前进一个波长的距离所需的时间。频率 =1/T, 角频率 =2 ,波数：,角波数：,11,按波面形状,按复杂程度,按持续时间,波的分类,12,按波形是否 传播,按质元之间 联系的力是否是弹性力,波动的共同特征：,具有一定的传播速度，且都伴有能量的传播。能产生反射、折射、干涉和衍射等现象。,13,波速：振动状态（或位相）在空间的传播速度。,5. 机械波的速度,14,1） 绳索中的波速,F为张力，为线密度。,绳波的传播,15,2） 固体纵波波速,Y 为杨氏弹性模量。 为体
3、密度,l0,l0 + l,长变,16,G为切变弹性模量。,固体中 G Y,切变, 横波纵波,地震时纵波先到达,S,3） 固体中的横波波速,17,4）气体和液体中的波速,K体积弹性模量，为密度。,体变V,液体和气体内只能传播纵波，不能传播横波。,18, = Cp/Cv , 摩尔质量,可以证明声波在空气中的速度,证：,由于声振动的频率较高(20-20000Hz),可以将空气的疏密过程看成绝热过程, 把空气当作理想气体,19,结论：波速由弹性媒质性质决定，频率（或周期）则由波源的振动特性决定。,得,得,20,一、平面简谐波波函数,8-2 平面简谐波,二、媒质质元的运动特征,三. 媒质质元振动的速度加
4、速度,21,一、平面简谐波波函数,问题：,x点的振动状态在时间上落后于o点：,O点的振动方程：,求 y=y(x, t),yo=y(0, t) & u 给定,(假设：媒质无吸收，所有质元振幅均为A),22,平面简谐波的波函数,或：在 t 时刻 x 点的振动状态与O点在(t-x/u) 时刻的振动状态相同,23,角波数 k：单位长度上波的相位的变化,波动方程的另外几种形式,24,二、媒质质元的运动特征,（1） 每一点在振动,相位随x 的变化,随着 x 值的增大，即在传播方向上，各质点的位相依次落后。,当 x = 时,25,（2） t=t0 时的位移分布：,某时刻的波形图,空间周期为,26,（3）沿x
5、 负方向传播的波函数,若平面简谐波沿x 负方向传播：,O点的振动方程：,在 t 时刻 x 点的振动状态与O点在(t+x/u) 时刻的振动状态相同,27,三. 媒质质元振动的速度加速度,28,例：一平面简谐波速度 u = 20 m/s，沿 x 轴的负向传播。已知A点的振动方程为y = 3cos4t ，则（1）以A点为坐标原点求波动式；（2）以距A点5m处的B为坐标原点求波动式。,解: (1),(2) B点振动式：x = - 5,波动式：,29,讨论题：原点处的简谐振动为,沿 x 正方向传播，,波函数为：,30,问：1）当P点在O点的左侧（x 0），上式是否仍成立？,【答】：仍成立。,2）若O点为
6、振源，当P点在O点的左侧（x 0），上式是否仍成立？,【答】：不成立。,31,例：已知 t=0时的波形曲线为，波沿ox方向传播，经 t = 1/2s后波形变为曲线。已知波的周期T1s，试根据图中绘出的条件求出波的表达式，并求A点的振动式。,1,2,3,4,5,6,解：,A,1,波速：,舍去u,32,求原点的振动：,初始条件：,33,波动式：,A点振动式：,34,固体中质元的动力学方程波动方程,8-3 波动方程,以纵波为例,35,波动方程,36,另一方面，由波函数,比较有：,37,同理：可证明弦上的横波满足相同的波动方程。设线密度 l，张力F,38,39,一、 机械波的能量密度,二、波的能流密度
7、 波的强度,三、声波 声强级,8-4 波的能量密度和强度,40,随着波的传播,能量也在传播,波的能量 = 振动动能 + 形变势能,波在弹性媒质中传播时,各质元都在振动,41,一、 机械波的能量密度,1. 线元x的动能,弦上x 处质元 m=lx的动能：,o,x,A,B,以横波为例，设,42,线元x的形变势能近似等于在形变过程中（弦静止）张力F做的功：,2. 线元x的形变势能,线元的长度从静止时的 x 变为：,43,3. 线元x的机械能,44,4. 波的能量密度,45,1）时间变化：固定x： k 、p均随 t 周期性变化,讨论:,2）空间变化：固定t：k 、p均随 x 周期分布,46,3）k 、p
8、均随 t 周期性变化, 两者同步变化 。,原因：同步的原因：速度大时形变亦大,47,1. 能量的传播,的圆频率为 2， 传播速度也是波速u.,二、波的能流密度 波的强度,48,S面的能流：,能流密度：,2.能流密度,49,波的强度：能流密度的时间平均值,平面简谐波：,3.波的强度,I 2，I A2,50,例：对无吸收媒质：利用,平面波,球面波,柱面波,和能量守恒,r 场点到波源的距离,可以证明：,51,点波源 各向同性介质,例：点波源，各向同性媒质中的波速为u，媒质无吸收，求球面简谐波的波函数 y(r, t),解：能量守恒,52,三、声波 声强级,声波是纵波,声强：,人的耳朵对空气中 1 kH
9、z 的声音：,-闻阈,-痛阈,正常人耳的听觉范围：,20 20000 HzI下 I I上,能引起人耳对声波听觉的声强与频率有关,53,声强级: 人耳听觉与声强的对数成正比，定义声强 I 的级为,单位: 分贝(dB),树叶沙沙响: 10 dB.,耳 语 : 20 dB.,正常谈话: 60 dB.,繁忙街道: 70 dB.,摇滚乐: 120 dB.,例:,聚焦超声波: 210 dB.,I = 10-12 W/m2作为基准声强 ，与1Hz时的闻阈接近,54,胎儿的超声像（计算机处理过的假彩色图）,超声波,55,蝙蝠超声波定位(10万赫兹),56,S和R的运动不在二者连线上,波源速度超过波速,多普勒效
10、应的应用,多普勒效应：当波源S和接收器R有相对运动时, 接收器所测得的频率 R不等于波源振动频率 S的现象,8-5 多普勒效应( Doppler Effect ),57,参考系为: 媒质,符号规定: S和R相互靠近时Vs , VR 为正,R,S,频率规定: 波源振动频率S波的频率(媒质的振动频率) 接收到的频率R,约定,58,2. 波源静止, 接收器运动 (VS =0, 设 VR0),波相对于观察者的速度：,波长：,媒质的振动频率 ： = S,但 R ,59,单位时间内 R 所接收的波的个数为(感觉到的频率)：,60,3. 接收器R静止, 波源运动 (VR=0, VS0),61,t=0时S发出
11、第一个“波峰”, 经历TS 时间，S 前进VSTS，再发第二个“波峰”，在t 时刻两波峰半径分别为,(当S离开呢?),62,4. 接收器、波源都运动,S R,设 VS 、VR均0,63,64,65,66,67,68,5. 若S和R的运动不在二者连线上,机械波无横向多普勒效应,分析表明，波源或接收器的横向运动，不影响接收器测得的频率R。,所以，对一般的运动，只要把上式中的VS 、VR换为它们在 SR 连线上的分量即可:,69,6. 冲击波,飞行速度与波速的比值VS/u (称马赫数) 决定 角,这时波前为以S为顶点的锥面（马赫锥）,顶角为：,波源速度超过波速 (VSu),70,子弹的-冲击波,71
12、,汽艇激起的V-形波,72,73,负频率,R逆序振动,74,相互接近时 R S 接收频率变高； 相互远离时 R S 接收频率变低（红移）。,星体光谱都有红移现象,-宇宙在膨胀,7. 光波的多普勒效应,光波也有多普勒效应.,75,8-6 波的反射、折射和衍射,一、惠更斯原理,四、波的反射,二、波的折射,三 、波的衍射,76,一、惠更斯原理,现象： 水面波的传播如图，小孔后的波形如同是位于小孔处有一个新的波源发出的波。,77,惠更斯原理：,波面上每一点都可以看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波波面的包迹决定了原波动的新的波前。,子波波源,波前,子波,78,荷兰物理学家(1629-169
13、5),79,二、波的折射,可用惠更斯原理作图解释波的折射定律：,80,衍射：波在传播的过程中遇到障碍物或小孔后，能够绕过障碍物的边缘继续传播的现象。,可用惠更斯原理作图解释波的衍射现象,a ,a ： 波可以到达阴影区,三、波的衍射,长波衍射现象明显，方向性不好；,短波衍射现象不明显，方向性好。,81,反射角等于入射角,A3,由惠更斯原理可确定反射波的传播方向：t 时刻波面 t+t 时刻波面波的传播方向波的反射定律,四、波的反射,1. 反射定律,82,2. 反射波的相位,媒质的波阻抗， z 大波密媒质；z 小波疏媒质,83,当Z1 Z2 时，波在界面处, 两波的振动反相 反射波有位相突变 ！,或
14、波在反射时有半波损失!,1) 半波反射,84,半波反射,85,Z1 Z2 (波疏到波密) 的反射波，在界面（x =0） 处, 反射波和入射波的振动同相. 反射波无位相突变（无位相损失）!,2）全波反射,86,全波反射,87,例：有一平面简谐波沿 x轴方向传播，设波速为u ，O点的振动规律为 y =Acos t，在L处的反射面B反射，反射时有半波损失，求反射波的波动式。,解：,入射波方程：,反射波方程：,88,一. 波的叠加,二. 波的干涉,三. 驻波,四. 简正模,8-6 波的叠加 波的干涉,89,1. 波传播的独立性,媒质中同时有几列波时 , 每列波都将保持自己原有的特性(传播方向、振动方向
15、、频率等), 不受其它波的影响 。,一. 波的叠加,* 彩色光束空间交叉相遇,* 乐队演奏,* 空中无线电波,2. 波的叠加原理,在波的相遇区域中，某点的振动是各列波单独传播时在该点引起的振动的合成。,90,波的叠加,91,波的叠加,92,二. 波的干涉,1. 干涉现象,当两列满足一定条件的波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布称为波的干涉现象*link,2. 相干条件,(1) 频率相同,(2) 有恒定的相位差,(3) 振动方向相同,93,为什么有稳定的振幅分布？,94,S1 y10 = A10cos( t+ 10) S2 y20 = A20cos( t+ 20),p点处两分振动为,y1
16、 = A1cos( t+ 10-kr1)y2 = A2cos( t+ 20-kr2),1) 波场中任一点的合振动,设振动方向屏面,相位差: = ( 20- 10) - k(r2-r1),3. 相长、相消干涉,95,波的强度,合振幅 A = (A12+A22 +2A1A2cos )1/2,p点合振动,位移:,96,2) 加强、减弱条件,相长干涉, = ( 20- 10) - k(r2-r1) = 2m,(m=0,1,2,),若 A1 = A2, 则 Imax = 4 I1, = ( 20- 10) - k(r2-r1) = (2m+1),若 A1=A2 ,则 Imin= 0,相消干涉,97,减弱
17、条件,特例： 20= 10,加强条件,波程差,非相干波叠加，由于相位的无规性没有干涉现象,I=I1+I2,98,例： 两相干波源S1和S2的间距为d=30m，且都在x轴上，设由两波源分别发出两列波沿x 轴传播，强度保持不变。x1 =9m和 x2=12m处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点。求两相干波的波长和两波源间相位差的最小值。,解：,O,S1,S2,x1,x2,d,x,设S1和S2的振动激发的波分别为,两波源在x1 、x2两点处的振动相位一定相反,y1 = Acos( t - kx + 1 ),y2 = Acos t k(d-x) + 2 ,设S1位于原点O。,99,O,S1,S2,x1,
18、x2,d,x,在x1点的两波的相位：,在x1点的两波的相位差反相：,同理, 在x2点两波相位,?,相邻,100,当n = -2，-3时相位差最小,联立 :,101,三、 驻波,两列相干波沿相反方向传播而叠加而形成驻波。 设x = 0处两波初相均为0,102,103,104,波腹处,波节处,驻波特点：,振幅A：,各处不等大，出现了波腹和波节,105,驻波是分段的振动。相邻间振动相位相同； 波节两侧振动相位相反。,相位：,驻波特点：,106,驻波特点：,107,总能流密度为,能量：,平均说来没有能量的传播。,能量在相邻波节和波腹间的/2的范围内，动能和弹性势能反复转化。,动能分布,弹性势能分布,驻
19、波特点：,108,入射波和反射波、波腹和波节的互求,波由波密媒质入射到波疏媒质时，则反射点处形成波腹。,例题,从波疏媒质入射到波密媒质时，反射波与入射波位相相反半波损失，反射点为波节；,109,例： 如图，入射波,处被反射（反射面固定），求驻波波动式及波节与波腹的坐标,在,解:,反射波在o点的振动较入射波 在o点的振动落后：,110,波节,波腹,驻波方程,111,四、 简正模式 (normal mode),如两端固定的弦，形成驻波时两端必是波节,112,或,系统的固有频率或简正频率,波速,驻波波长,驻波频率,113,一个驻波系统的固有频率可以有很多个，每种可能的稳定振动方式称作系统的一个简正模
20、。,任一波扰动，可以是一系列简正模式的叠加。,不同的波扰动，所对应的每一种简正模式成分的大小不同。,简正模式,边界情况不同，简正模式也不同,114,例 ：一端为自由端,115,末端封闭的笛中的驻波,末端开放的笛中的驻波,116,117,二维驻波,118,解,减弱,两反相相干波源呢？,r1,r2,119,例如假设,则有,此时总的仍可叫“驻波”，不过波节处有振动。,入射波振幅和反射波振幅不相等的情形*,120,例： 在绳上传播的入射波方程为 : y1=Acos (t+2 x /) ，入射波在 x =0 处反射，反射端为固定端，设反射波不衰减，求驻波方程及波腹和波节的位置。,解：入射波，在 x=0 处引起的振动方程为,因为反射端为固定端，反射波在x=0处的振动方程为,121,反射波方程为,驻波方程,波腹处,122,波节处,即,即,123,x,o,固定端,2/4,/4,3/4,124,例：入图所示，为一向右传播的简谐波在 t 时刻的波形图，当波从波疏介质入射到波密介质表面 BC，在 P 点反射时，反射波在 t 时刻波形图为：, A ,
