1、第二章 一元二次方程2.1.1 认识一元二次方程,幼儿园某教室矩形地面的墙长8m，宽5m现准备在地面中心铺设一块面积为m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度相同,你能求出这个宽度吗？,你怎么解决这个问题?,数学与生活,解：如果设花边的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为 m,根据题意,可得方程：,你能化简这个方程吗?,（82x）,（52x）,(8 2x) (5 2x) = 18.,5,x,x,x,x,（82x）,（52x）,8,18m2,做一做,观察下面等式：,你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？,如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后
2、面四个数依次可表示为：,根据题意，可得方程：,， ， ， ,X1,X2,X3,X4,想一想,如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？,解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m. 如果设梯子底端滑动X m，那么滑动后梯子底端距墙 m; 根据题意，可得方程：,你能化简这个方程吗?,6,x6,72(x6)2102,xm,8m,10m,7m,6m,1m,做一做,上面的方程都是只含有 的 ，并且都可以化为 的形式，这样的方程叫做一元二次方程,由上面两个问题，我们可以得到两个方程：,把axbxc(a，b，c为常数,a)称为一
3、元二次方程的一般形式，其中ax ， bx ， c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数,(8-2x)(-x)=18;,即2x2 13x 11=0,(x6)7=10,即x2 12 x 150,上述两个方程有什么共同特点？,一个未知数x,整式方程,axbxc(a，b，c为常数, a),X （X）（X）,即 x2 8x 200,（X）（ X）,判一判 下列方程哪些是一元二次方程?,(1)7x26x0,(2)2x25xy6y0,(3)2x2 1 0,(4) 0,(5)x22x31x2,解: (1)、 (4),把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项
4、系数和常数项：,方 程,一般形式,二次项 系 数,一次项 系 数,常数项,3x25x1,(x2)(x 1)6,47x20,3x25x10,x2 x80,7x2 0 x40,3,1,7,5,1,0,1,8,4,练一练,1.关于x的方程(k3)x2 2x10,当k 时，是一元二次方程,3,2.关于x的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20,当k 时，是一元二次方程,当k 时，是一元一次方程,1,1,想一想:,3、写出方程 的二次项系数、一次相系数和常数项。,4、把方程(3x2)24(x3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项,5、从前有一天，一个醉汉拿着
5、竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽尺，竖着比门框高尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程,4尺,2尺,x,x4,x2,随堂练习：,练习,6根据题意，列出方程：,（）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？,（）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？,解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x5) m，宽为(x2) m，依题意得方程：,(x5) (x2) 54,解：设第一个数为X，则另两个数分别为X+1 ， X+2
6、,依题意得方程：,x (x1) x(x2) (x1) (x2) 242,即,x2 7x44 0,即,3x2 6x24 00,x2 2x8 00,在这个问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102，把这个方程化为一般形式为x2+12x-15=0 （1）小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗?为什么?（2）底端滑动的距离可能是2m吗?可能是3m吗?为什么?,不正确，因为x=1不满足方程,不正确，因为x=2，3不满足方程,（3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗? （4）x的整数部分是几?十分位部分是几? 请同学们自己算一算，注意组内同学交流哦！,下面是小亮的求解过程：,
7、由此，他猜测1x1.5,进一步计算：,所以1.1x1.2，由此他猜测x整数部分是1，十分位部分是1,你的结果是怎样的呢？,用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤： 在未知数x的取值范围内排除一部分取值； 根据题意所列的具体情况再次进行排除； 对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选； 最终得出未知数的最小取值范围或具体数据,【规律方法】上述求解是利用了“两边夹”的思想,五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和。你能求出这五个整数分别是多少吗？,【跟踪训练】,A同学的做法： 设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1,x+2,x+3,x+4.根据题意，可得方程
8、： x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2 即：x2-8x-20=0,所以x=-2或10.因此这五个连续整数依次为-2， -1，0，1，2；或10，11，12，13，14.,B同学的做法： 设五个连续整数中的中间一个数为x，那么其余四个数 依次可表示为x-2,x-1,x+1,x+2.根据题意，可得方程：(x-2)2+(x-1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2 即：x2-12x=0,所以x=0或12.因此这五个连续整数依次为-2，-1，0，1，2；或10，11，12，13，14.,7.一名跳水运动员进行10米跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5米以前完成规定
9、的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误。假设运动员起跳后的运动时间t(秒)和运动员距水面的高度h(米)满足关系：h=10+2.5t-5t2，那么他最多有多长时间完成规定动作?,【解析】根据题意，得10+2.5t-5t2=5,即 2t2-t-2=0列表：,所以1t2,进一步列表计算：,所以1.2t1.3,因此他完成动作的时间最多不超过1.3秒,3.学习了估算ax2bxc0（a，b，c为常数，a0）近似解的方法：“两边夹”； 4.知道了估算的步骤；（1）先确定大致范围（2）再取值计算，逐步逼近 5.想一想：有没有更便捷的方法求一元二次方程的解呢？,1学习了什么是一元二次方程，以及它的一般形式ax2bxc0（a，b，c为常数，a0）和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数 2会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系.,小结,不要轻言放弃，否则对不起自己!,
