1、1第二章 推理与证明章末复习学习目标 1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明1合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理：由特殊到特殊的推理(3)合情推理：合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理2演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提 提供了一个一般性的原理；小前提 指出了一个特殊对象；结论 揭示了一般原理与特殊对象的内在联系3
2、直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法综合法是从已知条件推出结论的证明方法；分析法是从结论追溯到条件的证明方法(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法.类型一 合情推理与演绎推理2例 1 (1)观察下列等式：2 2 12；(sin 3) (sin23) 432 2 2 2(sin 5) (sin25) (sin35) (sin45) 23；432 2 2 2 34；(sin 7) (sin27) (sin37) (sin67) 432 2 2 2 45；(sin 9) (sin29) (sin39) (sin89) 43照此规律，2 2 2
3、 2 _.(sin2n 1) (sin22n 1) (sin32n 1) (sin2n2n 1)考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 n(n1)( nN *)43解析 第一个等式中 1 ，2 ；3 12 3 12第二个等式中，2 ，3 ；5 12 5 12第三个等式中，3 ，4 .7 12 7 12由此可推得第 n 个等式等于 n(n1)( nN *)43 2n 1 12 2n 1 12 43(2)下列推理正确的是_(填序号)把 a(b c)与 loga(x y)类比，则 loga(x y)log axlog ay；把 a(b c)与 sin(x y)类比，则 sin(x
4、 y)sin xsin y；把( ab)n与( x y)n类比，则( x y)n xn yn；把( a b) c 与( xy)z 类比，则( xy)z x(yz)答案 (3)有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是_3考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在其他方面的应用答案 1 和 3解析 由题意可知丙不拿 2 和 3.若丙拿 1 和 2，则乙拿 2 和 3，甲拿 1 和
5、 3，满足题意；若丙拿 1 和 3，则乙拿 2 和 3，甲拿 1 和 2，不满足题意故甲的卡片上的数字是 1 和 3.反思与感悟 (1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的推理证明(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确跟踪训练 1 若数列 an为等差数列，
6、 Sn为其前 n 项和，则有性质“若 Sm Sn(m， nN *且m n)，则 Sm n0.”类比上述性质，相应地，当数列 bn为等比数列时，写出一个正确的性质：_.考点 类比推理的应用题点 等差数列与等比数列之间的类比答案 数列 bn为等比数列， Tm表示其前 m 项的积，若 Tm Tn(m， nN *， m n)，则Tm n1解析 由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时，加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘由此，等差数列 an的性质类比到等比数列 bn中为：数列 bn为等比数列， Tm表示其前 m 项的积，若 Tm Tn(m， nN *， m n)，则 Tm n1.类型二
7、 证明方法命题角度 1 综合法与分析法例 2 (1)已知 a， b， c 为互不相等的非负数求证： a2 b2 c2 ( )；abc a b c4(2)证明：2cos( ) .sin2 sin sinsin证明 (1)因为 a2 b22 ab， b2 c22 bc，a2 c22 ac，又因为 a， b， c 为互不相等的非负数，所以上面三个式子中都不能取“” ，所以 a2 b2 c2ab bc ac，因为 ab bc2 ， bc ac2 ，ab2c abc2ab ac2 ，a2bc又 a， b， c 为互不相等的非负数，所以 ab bc ac ( )，abc a b c所以 a2 b2 c2
8、( )abc a b c(2)要证原等式成立，只需证：2cos( )sin sin(2 )sin .因为式左边2cos( )sin sin( ) 2cos( )sin sin( )cos cos( )sincos( )sin sin( )cossin 右边，所以式成立，即原等式成立反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件跟踪训练 2 已知 x0， y0，求证：12()xy13().
9、证明 要证明12()13()，只需证( x2 y2)3(x3 y3)2，只需证 x63 x4y23 x2y4 y6x62 x3y3 y6，只需证 3x4y23 x2y42x3y3.又 x0， y0， x2y20，只需证 3x23 y22xy.53 x23 y2x2 y22 xy，3 x23 y22xy 成立，故1()13().命题角度 2 反证法例 3 若 x， y 都是正实数，且 x y2，求证： 0 且 y0，所以 1 x2 y 且 1 y2 x，两式相加，得 2 x y2 x2 y，所以 x y2.这与已知 x y2 矛盾故 2ac，即 ac0)，则 g( x)lnx 1ex 1x ln
10、x 1ex 1x 0，所以 g(x)在(0，)上单调递减，而 g(1)0，所以当 x(0,1)时， g(x)1x2 1x0，此时， f( x)0，当 x(1，)时， g(x)0，此时 f( x)0，所以 f(x)在(0,1)上单调递增， f(x)在(1，)上单调递减，故 f(x)max f(1) ，又函数 f(x) ，且1e lnx 1ex恒有 fK(x) f(x)，结合新定义可知， K 的最小值为 .1e二、解答题12设数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 an2 Sn(nN *)(1)求 a1， a2， a3， a4的值并写出其通项公式；(2)用三段论证明数列 an是等比数列考点 三段
11、论题点 三段论的结构(1)解 由 an2 Sn，得 a11； a2 ； a3 ；12 14a4 ，猜想 an n1 (nN *)18 (12)(2)证明 对于数列 an，若 q， q 是非零常数，则 an是等比数列，大前提an 1an因为通项公式 an n1 ，又 ，小前提(12) an 1an 12所以通项公式为 an n1 ， nN *的数列 an是等比数列结论(12)13设 a， b， c 为任意三角形三边长， I a b c， S ab bc ca，试证：3 S I2k)总成立，则称数列 an是“ P(k)数列” (1)证明：等差数列 an是“ P(3)数列” ；(2)若数列 an既是
12、“ P(2)数列” ，又是“ P(3)数列” ，证明： an是等差数列证明 (1)因为 an是等差数列，设其公差为 d，则 an a1( n1) d，从而，当 n4 时，an k an k a1( n k1) d a1( n k1) d2 a12( n1) d2 an， k1,2,3，所以 an3 an2 an1 an1 an2 an3 6 an，因此等差数列 an是“ P(3)数列” (2)数列 an既是“ P(2)数列” ，又是“ P(3)数列” ，因此，当 n3 时， an2 an1 an1 an2 4 an，当 n4 时， an3 an2 an1 an1 an2 an3 6 an.由知， an3 an2 4 an1 ( an an1 )，an2 an3 4 an1 ( an1 an)将代入，得 an1 an1 2 an，其中 n4，所以 a3， a4， a5，是等差数列，设其公差为 d.在中，取 n4，则 a2 a3 a5 a64 a4，所以 a2 a3 d，在中，取 n3，则 a1 a2 a4 a54 a3，所以 a1 a32 d，所以数列 an是等差数列
