1、1第四讲 数学归纳法证明不等式专题检测试卷(四)(时间：90 分钟 满分：120 分)一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)1如果命题 P(n)对 n k 成立，那么它对 n k2 成立，又若 P(n)对 n1 成立，则 P(n)对所有( )A正整数 n 成立 B正偶数 n 成立C正奇数 n 成立 D大于 1 的自然数 n 成立答案 C2若等式 122 23 2 n2 (5n27 n4)，则( )12A n 为任何正整数时都成立B仅当 n1,2,3 时成立C当 n4 时成立， n5 时不成立D仅当 n4 时不成立答案 B解析 分别用 n1,2,3,4,5 验证即可3用数
2、学归纳法证明不等式 1 2 (n2， nN )时，第一步应验证不123 133 1n3 1n等式( )A1 2 B1 2123 12 123 133 13C1 2 D1 2123 13 123 133 14答案 A解析 第一步验证 n2 时不等式成立，即 1 2 .123 124已知数列 an中， a11， a22， an1 2 an an1 (nN )，用数学归纳法证明 a4n能被4 整除，假设 a4k能被 4 整除，然后应该证明( )A a4k1 能被 4 整除B a4k2 能被 4 整除C a4k3 能被 4 整除D a4k4 能被 4 整除2答案 D解析 假设当 n k(k1， kN
3、)时，即 a4k能被 4 整除，然后应证明当 n k1 时，即a4(k1) a4k4 能被 4 整除5设 f(n)1 ，则 f(k1) f(k)等于( )12 13 14 12n 1A. B. 12k 1 1 12k 12k 1 12k 1 1C. D. 12k 12k 1 1 12k 12k 1答案 D解析 当 n k(k1， kN )时， f(k)1 ，12 13 12k 1当 n k1 时，f(k1)1 ，12 13 12k 1 12k 12k 1所以 f(k1) f(k) .12k 12k 16用数学归纳法证明“4 2n1 3 n1 (nN )能被 13 整除”的第二步中，当 n k1
4、 时为了使用归纳假设，对 42k1 3 k2 变形正确的是( )A16(4 2k1 3 k1 )133 k1B44 2k93 kC(4 2k1 3 k1 )154 2k1 23 k1D3(4 2k1 3 k1 )134 2k1答案 A解析 假设当 n k(k1， kN )时，4 2n1 3 n1 能被 13 整除，则当 n k1 时，42k1 3 k2 164 2k1 33 k116(4 2k1 3 k1 )133 k1 .7已知 12333 243 3 n3n1 3 n(na b) c 对一切 nN 都成立，那么a， b， c 的值为( )A a ， b c B a b c12 14 14C
5、 a0， b c D a， b， c 不存在14答案 A解析 令 n 等于 1,2,3，得Error!3解得 a ， b c .12 148已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明：1 2 时，12 13 14 1n ( 1n 2 1n 4 12n)若已假设 n k(k2 且为偶数)时，等式成立，则还需要用归纳假设再证( )A n k1 时等式成立B n k2 时等式成立C n2 k2 时等式成立D n2( k2)时等式成立答案 B解析 偶数 k 的后继偶数为 k2，故应再证 n k2 时等式成立二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)9用数学归纳法证明 cos cos3 c
6、os(2 n1) (sin 0， nN )，sin2n2sin在验证当 n1 时，等式右边的式子是_答案 cos 解析 当 n1 时，右边 cos .sin22sin 2sin cos2sin10仔细观察下列不等式： ，(111) 3 ，(111)(1 13) 5 ，(111)(1 13)(1 15) 7 ，(111)(1 13)(1 15)(1 17) 9则第 n 个不等式为_答案 (nN )(111)(1 13)(1 15) (1 12n 1) 2n 111观察下列不等式：1 ，1 1,1 ，1 2,1 ，由此猜12 12 13 12 13 1732 12 13 115 12 13 131
7、52测第 n 个不等式为_答案 1 (nN )12 13 12n 1n2解析 12 11,32 21,72 31,152 41，4312 51，归纳第 n 个式子为 1 (nN )12 13 12n 1n212设 nN ， f(n)5 n23 n1 1，通过计算 n1,2,3,4 时 f(n)的值，可以猜想 f(n)能被数值_整除答案 8三、解答题(本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分)13用数学归纳法证明：当 nN 时， .113 135 12n 12n 1 n2n 1证明 (1)当 n1 时，左边 ，右边 ，左边右边，所以等式成113 13 121 1 13立(2)假设当 n
8、 k(k1， kN )时，等式成立，即 113 135 12k 12k 1.k2k 1则当 n k1 时， 113 135 12k 12k 1 12k 12k 3 k2k 1 12k 12k 3 2k2 3k 12k 12k 3 2k 1k 12k 12k 3 k 12k 3 .k 12k 1 1即当 n k1 时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切 nN 等式都成立14用数学归纳法证明： f(n)35 2n1 2 3n1 (nN )能被 17 整除证明 (1)当 n1 时， f(1)35 32 43911723，故 f(1)能被 17 整除(2)假设当 n k(k1， kN )时，命题成立
9、即 f(k)35 2k1 2 3k1 能被 17 整除，则当 n k1 时， f(k1)35 2k3 2 3k45 2352k1 5 223k1 5 223k1 2 3k425 f(k)172 3k1 .由归纳假设可知， f(k)能被 17 整除，又 1723k1 显然可被 17 整除，故 f(k1)能被 17 整除5综合(1)(2)可知，对任意正整数 n， f(n)能被 17 整除15设 an1 (nN )，是否存在关于 n 的整式 q(n)，使得等式12 13 1na1 a2 a3 an1 q(n)(an1)对于大于 1 的一切正整数 n 都成立？证明你的结论解 假设 q(n)存在，探索
10、q(n)当 n2 时，由 a1 q(2)(a21)，即 1 q(2) ，得 q(2)2.(112 1)当 n3 时，由 a1 a2 q(3)(a31)，即 1 q(3) ，得 q(3)3.(112) (1 12 13 1)当 n4 时，由 a1 a2 a3 q(4)(a41)，即 1 (112) (1 12 13)q(4) ，得 q(4)4.(112 13 14 1)由此猜想 q(n) n(n2， nN )下面用数学归纳法证明当 n2 且 nN 时，等式 a1 a2 a3 an1 n(an1)成立当 n2 时，左边 a11，右边2( a21)2 1，结论成立12假设当 n k(k2， kN )
11、时结论成立，即 a1 a2 a3 ak1 k(ak1)，则当 n k1 时， a1 a2 a3 ak1 ak k(ak1) ak( k1) ak k( k1) ak( k1)1( k1) (ak1k 1 1)( k1)( ak1 1)，所以当 n k1 时结论也成立由可知，对于大于 1 的一切正整数 n，都存在 q(n) n 使得等式a1 a2 a3 an1 q(n)(an1)成立16如果数列 an满足条件： a14， an1 (n1,2，)，证明：对任何正整数 1 3an2 ann，都有 an1 an且 an0.证明 (1)由于 a14，6a2 a1. 1 3a12 a1 1 122 4 1
12、36且 a10，因此，当 n1 时不等式成立(2)假设当 n k(k1)时， ak1 ak且 ak0，即ak1 0， 1 3ak2 akak2 ak1 1 3ak 12 ak 1 1 3ak2 ak 0.5ak 1 ak2 ak 12 ak所以当 n k1 时不等式也成立，由(1)(2)知，不等式对任何正整数 n 都成立因此，对任何正整数 n，都有 an1 an且 an0.17在数列 an， bn中， a12， b14，且 an， bn， an1 成等差数列， bn， an1 ， bn1 成等比数列( nN )(1)求 a2， a3， a4及 b2， b3， b4，由此猜测 an， bn的通项
13、公式，并证明你的结论；(2)证明： 2( n1) n.故 1a1 b1 1a2 b2 1an bn7 16 12 123 134 1nn 1 16 12(12 13 13 14 1n 1n 1) .16 12(12 1n 1)16 14 512故原不等式成立18已知 a， bR ， nN .求证： n.an bn2 (a b2 )证明 (1)当 n1 时， ，显然成立a b2 a b2(2)假设当 n k(k1， kN )时，不等式成立，即 k.ak bk2 (a b2 )要证 n k1 时，不等式成立，即证 k1 .ak 1 bk 12 (a b2 )在 k的两边同时乘以 ，得ak bk2 (a b2 ) a b2 k1 .a bak bk4 (a b2 )要证 k1 ，ak 1 bk 12 (a b2 )只需证 ，ak 1 bk 12 a bak bk4因为 ak 1 bk 12 a bak bk42(ak1 bk1 )( a b)(ak bk)2(ak1 bk1 )( ak1 abk akb bk1 )0ak1 abk akb bk1 0(a b)(ak bk)0.又 a b 与( ak bk)同正负(或同时为 0)，所以不等式( a b)(ak bk)0 显然成立所以当 n k1 时，不等式成立综合(1)(2)可知，对任何 nN ，不等式恒成立
