1、13.1.2 复数的几何意义学习目标 1.了解复数 z、复平面内的点 Z、向量 之间的一一对应关系.2.理解并掌握复OZ 数的几何意义.3.通过对复数的几何意义的学习，了解“数与形”之间的联系，提高用数形结合思想解决问题的能力知识点一 复平面的定义思考 1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答案 任何一个复数 z a bi，都和一个有序实数对( a， b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系思考 2 判断下列命题的真假：在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数
2、；在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限答案 正确，错误因为原点在虚轴上，而其表示实数，所以错因为非纯虚数包括实数，而实数对应的点在实轴上，所以错梳理 如图所示，点 Z 的横坐标为 a，纵坐标为 b，复数 z a bi 可用点 Z(a， b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数知识点二 复数的几何意义思考 平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？答案 向量的起点是原点梳理 复数 z a bi(a， bR)与复平面内的点 Z(a， b)
3、及以原点为起点，点 Z(a， b)为终点的向量 是一一对应的OZ 2知识点三 复数的模思考 (1)复数的模一定是正数吗？(2)若复数 z 满足| z|1，则在复平面内，复数 z 对应的点 Z 的轨迹是什么？答案 (1)不一定，复数的模是非负数，即| z|0.当 z0 时，| z|0；反之，当| z|0 时，必有 z0.(2)点 Z 的轨迹是以原点为圆心，1 为半径的一个圆梳理 复数 z a bi(a， bR)，对应的向量为 ，则向量 的模 r 叫做复数 z a bi 的OZ OZ 模，记作| z|或| a bi|.由模的定义可知：| z| a bi| r (r0， rR)a2 b21在复平面内
4、，对应于实数的点都在实轴上( )2若| z1| z2|，则 z1 z2.( )类型一 复平面的相关概念例 1 (1)对于复平面，下列说法错误的是( )A实轴上的点都表示实数，表示实数的点都在实轴上B虚轴上的点都表示纯虚数，表示纯虚数的点都在虚轴上C第一象限的点都表示实部为正数的虚数D实部为正数、虚部为负数的虚数对应的点必定在第四象限考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系(2)下列命题为假命题的是( )A复数的模是非负实数B复数等于零的充要条件是它的模等于零C两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件D复数 z1z2的充要条件是| z1|z2|3考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复
5、数的模(3)向量 (0，3)对应的复数是_OZ 考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系(4)已知复数 z2i(i 是虚数单位)，则| z|_.考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 (1)B (2)D (3)3i (4) 5解析 (1)原点是虚轴上的点，但它表示实数(2)D 中两个复数不一定能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故 D 错(3)易知向量 对应的复数为3i.OZ (4)|z| .4 1 5反思与感悟 确定复数对应的点在复平面内的位置时，关键是理解好复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，据此可建立复数的实部与虚部
6、应满足的条件，通过解方程或不等式求解跟踪训练 1 已知复数 z m2(4 m2)i，且复数 z 在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数 m 的值为( )A0B2C2D2考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 B解析 当点在虚轴上时，实部 m20， m2.类型二 复数的几何意义例 2 实数 x 分别取什么值时，复数 z( x2 x6)( x22 x15)i 对应的点 Z 在：(1)第三象限；(2)直线 x y30 上考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系解 因为 x 是实数，所以 x2 x6， x22 x15 也是实数(1)当实数 x 满足Error!即当3 ， 2 A B，且 A
7、 ， ， 2 (0， 2) ( 2 B) (0， 2)sin Asin ，( 2 B)即 sinAcosB，cos Bsin AcosA，sin Bcos A0， z 在复平面内所对应的点位于第二象限二、填空题8设 z a bi(a， bR)和复平面内的点 Z(a， b)对应，当 b_时，点 Z 位于实轴上考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系11答案 0解析 当 b0 时，复数 z a bi a 为实数，其在复平面内对应的点落在实轴上9若复数 35i,1i 和2 ai 在复平面内对应的点在同一条直线上，则实数 a 的值为_考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 5解析 由点(
8、3，5)，(1，1)，(2， a)共线可知 a5.10设复数 z 的模为 17，虚部为8，则复数 z_.考点 复数的模的定义与应用题点 由复数模的定义求复数答案 158i 或 158i解析 设复数 z a8i( aR)， 17， a2225，a2 82 a15， z158i 或 158i.11复数 z512i 在复平面内对应的点到原点的距离为_考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 13解析 复数 z512i 在复平面内对应的点为(5，12)，所以所求距离 d13.三、解答题12.在复平面内， A， B， C， D， E， F 六个点的位置如图所示(每个小正方形的边长为 1)指出各点
9、表示的复数，并对这些复数进行归类考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系解 由图中所给点的位置可得 A 点对应的复数为 1i， B 点对应的复数为 3i， C 点对应的复数为22i， D 点对应的复数为22i， E 点对应的复数为2i， F 点对应的复数为 2.对复数进行分类可得，虚数有 A 点对应的复数 1i， B 点对应的复数 3i， C 点对应的复数22i， D 点对应的复数22i， E 点对应的复数2i.其中，纯虚数有 B 点对应的复数123i 和 E 点对应的复数2i.实数有 F 点对应的复数 2.13设全集 UC， A z|z|1|1| z|， zC， B z|z|1；(3)|z|2，且 ab.考点 复数的几何意义的综合应用题点 利用几何意义解决轨迹、图形问题13解 (1)在复平面内，满足不等式| a|1 的点的集合所组成的图形是直线 y1 以上及直线 y1 以下的点组成的图形，两者的公共部分即为所求，即以原点为圆心，以 2 为半径的圆被直线 y1 所截得的两个弓形区域，但不包括弦上的点，如图所示(3)方程| z|2 的解集对应的点的集合所组成的图形是以原点为圆心，以 2 为半径的圆周，满足条件 ab 的点组成的图形是位于直线 y x 下方的半平面，其中不包括直线 y x 上的点，两者的公共部分即为所求，如图所示
