1、基础巩固强化一、选择题1如图，CD 是圆 O 的切线，切点为 C，点 A、B 在圆 O 上，BC1，BCD30，则圆 O 的面积为( )A. B 2C. D232答案 B解析 ABCD30，由 2R，得 R1，所以圆 O 的面BCsinA积为 R2 .2(文 )如图，在 ABC 中，A90，正方形 DEFG 的边长是6cm，且四个顶点都在ABC 的各边上，CE3 cm，则 BC 的长为( )A12cm B21cm C 18cm D15cm答案 B解析 四边形 DEFG 是正方形，GDBFEC90，GDDE EF6 cm，又BC90，BBGD90，CBGD ，BGD FCE， ，即 BD 12c
2、m，BDEF GDEC EFGDECBCBD DEEC21cm.(理 )如图所示，矩形 ABCD 中，AB 12， AD10，将此矩形折叠使点 B 落在 AD 边的中点 E 处，则折痕 FG 的长为( )A13 B.635C. D.656 636答案 C解析 过 点 A 作 AHFG 交 DG 于 H，则四 边形 AFGH 为平行四边形 AHFG.折叠后 B 点与 E 点重合，折痕为 FG，B 与 E 关于 FG 对称BEFG，BEAH.ABEDAH，RtABE RtDAH. .BEAB AHADAB 12，AD10， AE AD5，12BE 13，122 52FGAH .BEADAB 656
3、3(文 )如图，四边形 ABCD 中，DF AB，垂足为F，DF3， AF2FB2，延长 FB 到 E，使 BEFB，连接BD， EC.若 BDEC，则四边形 ABCD 的面积为( )A4 B5 C 6 D7答案 C解析 由条件知 AF 2，BFBE1，SADE AEDF 436，12 12CEDB，SDBCS DBE，S 四边形 ABCDS ADE6.(理) 已知矩形 ABCD，R 、P 分别在边 CD、 BC 上，E、F 分别为AP、PR 的中点，当 P 在 BC 上由 B 向 C 运动时，点 R 在 CD 上固定不变，设 BPx ，EFy，那么下列结论中正确的是( )Ay 是 x 的增函
4、数B y 是 x 的减函数C y 随 x 的增大先增大再减小D无论 x 怎样变化，y 为常数答案 D解析 E、F 分别为 AP、PR 中点，EF 是PAR 的中位线，EF AR，R 固定， AR 是常数，即 y 为常数12二、填空题4(文 )(2013广东) 如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上，延长 BC 到 D 使 BCCD，过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E.若AB6，ED2，则 BC_.答案 2 3解析 连 接 OC，则 OCCE，OCA ACE90，OACOCA，OACACE90.易知 RtACBRtACD，则OAC EAC.EACACE 90，AEC90，在 R
5、tACD 中，由射影定理得：CD 2EDAD ，又 CDBC ，ADAB，将 AB6，ED2 代入式，得 CD 2 ，BC2 .12 3 3(理) 如图所示，在矩形 ABCD 中，AE BD 于 E，S 矩形40cm 2，S ABE SDBA 1 5 ，则 AE 的长为 _答案 4cm解析 BAD90，AEBD， ABE DBA，SABE SDBAAB 2 DB2.SABE SDBA1 5 ，AB2 DB21 5 ，AB DB1 .5设 ABk，则 DB k，AD2k，5S 矩形 40cm 2，k2k40， k2 ，5BD k10， AD4 ，SABD BDAE20，5 512 10AE20，
6、 AE4cm.125(文 )如图，割线 PBC 经过圆心 O，OBPB1 ，OB 绕点 O 逆时针旋转 120到 OD，连 PD 交圆 O 于点 E，则 PE_.答案 377解析 POD120，ODOB1，PO2，PD ，PO2 OD2 2ODPOcos120 7由相交弦定理得，PEPDPB PC，PE .PBPCPD 137 377(理)(2013 广州调研 )如图，已知 AB 是O 的一条弦，点 P 为AB 上一点， PCOP ， PC 交O 于点 C，若 AP4，PB2，则PC 的长是_答案 2 2解析 如 图，延长 CP 交 O 于点 D，因 为 PCOP，所以 P 是弦 CD 的中点
7、，由相交弦定理知 PAPBPC 2，即 PC28，故 PC2.26(文 )(2013广东梅州联考 )如图，PAB、PCD 为O 的两条割线，若 PA 5，AB 7，CD 11，AC2，则 BD 等于_答案 6解析 设 PCx ，则 PDPCCD x 11，由割线定理知 PCPDPA PB，x(x 11)5(57)60，x0，x 4.PC4，PD15.PAC PDB，P 为 公共角，PACPDB， ，PAPD ACBDBD 6.ACPDPA 2155(理)(2012天津十二校联考) 如图所示，EA 是圆 O 的切线，割线 EB交圆 O 于点 C，C 在直径 AB 上的射影为 D，CD2，BD4，
8、则EA_.答案 52解析 解法 1：根据题意可得 BC2CD 2BD 22 24 220，即 BC2 .由射影定理得 BC2AB BD，即 204AB，解得 AB5，5所以 AC ，设 EAx，ECy，根据切割 线定理可得52 20 5x2y (y2 )，即 x2 y22 y，在 RtACE 中，x 2y 2( )2，故 25 5 5y 5，解得 y ，故 x2 5 ，得 x ，即 EA .552 54 254 52 52解法 2：连 AC，AB 为 直径， ACB90，CDAB，CD2，BD4，AD 1，CD2BD又 EA 切O 于 A，EAB90，EAB CDB， ，AE .EACD AB
9、BD ABCDBD 527(文 )(2013惠州三调 )如图，PA 切圆 O 于点 A，割线 PBC 经过圆心 O，OBPB 1，OA 绕点 O 逆时针旋转 60到 OD，则 PD的长为_答案 7解析 由 图可知，PA 2PB PCPB(PB BC )3， PA ，AOP60 ，3又AOD60， POD120，PO2，OD1，cosPOD ，PD .22 12 PD2221 12 7(理)(2013 天津 )如图，在圆内接梯形 ABCD 中，ABDC，过点A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E，若 ABAD 5，BE4，则弦 BD 的长为 _答案 152解析 因 为 AE 是圆 的切线，又
10、 ADAB，ABDC ，所以BAEADB ABDBDC，所以 AD ABBC5.由切割线定理可得 EA2EB EC4(5 4)36，所以 EA6.又BCDEBA，所以 ，则 BD .BDEA BCEB BCEAEB 564 1528.如图，在圆的内接四边形 ABCD 中，ABC90，ABD30，BDC45，AD1，则 BC_.答案 2解析 连 接 AC.因为 ABC90，所以 AC 为圆的直径又ACDABD 30，所以 AC2AD2.又 BAC BDC45，故BC .29(文 )(2013佛山二模 )如图，PA 与圆 O 相切于点 A，PCB 为圆 O 的割线，并且不过圆心，已知BPA 30，
11、PA2 ， PC1，则圆 O 的半径等于_3答案 7解析 由已知可得，PA 2PCPB，PB12，如图，连接 OA 并反向延长，交圆于点 E，交 BC 于 D，因为BPA30，在 RtAPD 中可以求得 PD4，DA2，故CD 3，DB8， 记圆的半径 为 R，由于 EDDACDDB ，因此，(2R2)238，解得 R7.(理)(2013 湖北 )如图，圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为D，点 D 在半径 OC 上的射影为 E，若 AB3AD，则 的值为CEEO_答案 8解析 连 接 AC、BC，则 ACBC.AB 3AD，AD AB，BD AB，OD AB.13 23 16又 AB
12、 是圆 O 的直径，OC 是圆 O 的半径，OC AB.12在ABC 中，根据射影定理有： CD2ADBD AB2.29在OCD 中，根据射影定理有：OD 2OEOC，CD 2CE OC，可得 OE AB，CE AB， 8.118 49 CEEO三、解答题10(文)(2012 哈三中模拟 )如图，O 是 ABC 的外接圆，过O 上一点 H 作O 的切线，BC 与这条线切线平行，AC、AB 的延长线交这条切线于点 E、F，连接 AH、CH .(1)求证： AH 平分EAF；(2)若 CH4，CAB60，求圆弧 的长BHC解析 (1)证明：连接 OH，则 OHEF.EFBC，OHBC，H 为弧 B
13、C 的中点，EAHFAH ，AH 平分EAF.(2)连接 CO、BO，CAB60，COB120，COH60，COH 为等边三角形，COCH 4，又BOC 120， 的长为 .BHC83(理)(2013 长春第二次调研)如图，过圆 E 外一点 A 作一条直线与圆 E 交于 B，C 两点，且 AB AC，作直线 AF 与圆 E 相切于点13F，连接 EF 交 BC 于点 D，已知圆 E 的半径为 2，EBC 30.(1)求 AF 的长；(2)求证： AD3ED.解析 (1)延长 BE 交圆 E 于点 M，连接 CM，则BCM90，又 BM2BE4，EBC 30，所以 BC2 .3又 AB AC，则
14、 AB BC ，13 12 3所以根据切割线定理得，AF 2ABAC 3 9，即 AF3.3 3(2)过点 E 作 EHBC 于点 H，则 EH 1，且EDHEB2 BH2与 ADF 相似，从而有 ，因此 AD3ED.EDAD EHAF 13能力拓展提升一、填空题11(文)(2013广州联考 )如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆上，CD AB 于 D，且 AD5DB ，设OCD ，则 cos2_.答案 19解析 设 BD1，则 AD5，OC AB (ADDB)12 123， ODOBBD 2，sin ，ODOC 23cos21 2sin21 2( )2 .23 19(理)如图所示，
15、已知圆 O 直径为 ，AB 是圆 O 的直径，C 为圆 O6上一点，且 BC ，过点 B 的圆 O 的切线交 AC 延长线于点 D，则2DA _.答案 3解析 AB 为直径，ACB 为直角，BC ，AB ，AC2，2 6DB 与O 相切，DBA 为直角，由射影定理 BC2ACCD， CD1，AD 3.12(文)(2013湖南 )如图，在半径为 的O 中，弦 AB、CD 相交于点7P，PA PB 2，PD 1，则圆心 O 到弦 CD 的距离为_答案 32解析 由相交弦定理得 APPBDPPC，从而PC 4，所以 DC5，所以圆心 O 到弦 CD 的距离等于APPBDP . 72 522 32(理
16、)(2012 天津， 13)如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点 F，AF3， FB1，EF ，则线段32CD 的长为_答案 43解析 如 图，由相交弦定理得 AFFBEFFC ，FC 2，AFFBEFFCBD， ，BD .FCBD AFAB FCABAF 83又由切割线定理知 BD2DCDA，又由 DA4CD 知 4DC2BD 2 ，DC .649 43明确相交弦定理、切割弦定理等是解题的关键13(文)(2012 湖北理， 15)如下图，点 D 在 O 的弦 AB 上移动，
17、AB4，连接 OD，过点 D 作 OD 的垂线交O 于点 C，则 CD 的最大值为_答案 2解析 解法 1：CDOD，OC2OD 2CD 2，当 OD 最小时，CD 最大，而 OE 最小(E 为 AB 的中点) ，CDmaxEB2.解法 2：由题意知，CD 2ADDB( )2 4.(当且仅AD DB2 AB24当 ADDB 时取等号 )CDmax2.(理)(2012广州测试 )如图，AB 是圆 O 的直径，延长 AB 至 C，使BC2OB ， CD 是圆 O 的切线，切点为 D，连接 AD、BD ，则 的ADBD值为_答案 2解析 连 接 OD，则 ODCD.设圆 O 的半径为 r，则OA O
18、B ODr， BC2r .所以 OC3r，CD 2 r.OC2 OD2 2由弦切角定理得， CDB CAD，又DCB ACD，所以CDB CAD.所以 .ADBD ACCD 4r22r 2二、解答题14(文)(2012 昆明一中测试 )如图，已知 A、B、C、D 四点共圆，延长 AD 和 BC 相交于点 E，AB AC .(1)证明： AB2AD AE；(2)若 EG 平分AEB，且与 AB、CD 分别相交于点 G、F，证明：CFGBGF .证明 (1)如图，连接 BD.因为 ABAC，所以ABC ACBADB.又因为BADEAB ，所以 ABD AEB，所以 ，即 AB2 ADAE.ABAD
19、 AEAB(2)因为 A、B、C、D 四点共圆，所以 ABCEDF.又因为DEFBEG，所以DFEBGF.又因为DFECFG，所以 CFGBGF.(理)(2013 石家庄模拟)如图，过圆 O 外一点 P 作该圆的两条割线 PAB 和 PCD，分别交圆 O 于点 A、B，C、D，弦 AD 和 BC 交于点 Q，割线 PEF 经过点 Q 交圆 O 于点 E、 F，点 M 在 EF 上，且BAD BMF.(1)求证： PAPBPMPQ ；(2)求证： BMD BOD.证明 (1)BAD BMF ，A、Q、M、B 四点共圆 ，PAPBPMPQ.(2)PAPBPCPD ，PCPDPMPQ，又CPQ MP
20、D，CPQMPD，PCQPMD，则BCDDMF，BADBCD，BMDBMF DMF2BAD，又BOD2 BAD，BMD BOD.15(文)(2013 黑龙江哈尔滨六校联考 )如图，已知四边形 ABCD内接于O，且 AB 是 O 的直径，过点 D 的O 的切线与 BA 的延长线交于点 M.(1)若 MD6，MB12，求 AB 的长；(2)若 AM AD，求DCB 的大小解析 (1)因为 MD 为O 的切线，由切割线定理知，MD2MAMB.又 MD6，MB 12， MBMA AB，所以 MA 3，AB12 39.(2)因为 AMAD ，所以 AMD ADM，连接 DB，又 MD 为O 的切线，由弦
21、切角定理知， ADMABD，又因为 AB 是 O 的直径，所以 ADB 为直角，即BAD90ABD.又BADAMD ADM2ABD，于是 90 ABD2ABD，所以ABD30.所以BAD60.又四边形 ABCD 是圆内接四边形，所以BADDCB180.所以DCB120.(理)(2012 河南商丘模拟)如图，在ABC 和ACD 中，ACB ADC90 ，BAC CAD， O 是以 AB 为直径的圆，DC 的延长线与 AB 的延长线交于点 E.(1)求证： DC 是O 的切线；(2)若 EB6，EC6 ，求 BC 的长2解析 (1) AB 是O 的直径，ACB 90，点 C 在O 上，连接 OC，
22、可得 OCA OACDAC， OCAD，又ADDC，DC OC，OC 为半径，DC 是O 的切线(2)DC 是 O 的切线 ，EC2EBEA.又EB 6，EC6 ，2EA 12，AB6.ECB EAC，CEB AEC，ECB EAC， ，AC BC.BCAC ECEA 22 2AC2BC 2AB 236， BC2 .3考纲要求1了解平行截割定理理解相似三角形的定义与性质2会证明并应用直角三角形射影定理3会证明并应用圆周角定理、圆的切线判定定理与性质定理4会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理补充说明1与平行线分线段成比例定理有关的推论与结论(1)经过三角形一边的中
23、点与另一边平行的直线必平分第三边(2)经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰(3)平行于三角形一边的直线截其他两边( 或两边的延长线) 所得的对应线段成比例(4)两条直线被三个平行平面所截得对应线段成比例2相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比(2)预备定理：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似(3)引理：如果一条直线截三角形的两边( 或两边的延长线) 所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边(4)直角三角形相似的判定有一个锐角对应相等的两个直角三角形相
24、似两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似(5)有关结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；内切圆的直径比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方备选习题1函数 f(x)( x2010)(x 2011)的图象与 x 轴、y 轴有三个交点，有一个圆恰好通过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是_答案 (0,1)解析 f(x)的图象与 x 轴交于点 A(2011,0) ，B(2010,0)，与 y 轴交于点 C(0， 20102011)，设经过 A、B、C 三点的圆与 y 轴另一个交点为 D(0，y0)，易知原点 O
25、 在圆的内部，y 00，由相交弦定理知，|OA|OB| |OC|OD|，201120102010 2011y0，y01.2.(2013北京西城模拟 )如图，正ABC 的边长为 2，点 M、N 分别是边 AB、 AC 的中点，直线 MN 与ABC 的外接圆的交点为P、Q ，则线段 PM_.答案 5 12解析 设 PMx， 则 QNx，由相交弦定理可得PMMQBM MA 即 x(x1) 1，解得 x .5 123如图，EB 、EC 是O 的两条切线，B、C 是切点，A、D 是O 上两点，如果E46，DCF32 ，则A 的度数是_答案 99解析 连 接 OB、OC、AC，根据弦切角定理得，EBCBA
26、C， CADDCF，可得A BACCAD (180E)DCF67321299.点评 可由 EBEC 及 E 求得ECB，由ECB 和DCF 求得BCD，由圆内接四边 形对角互补求得 A.4如图，圆 O 的直径 AB8，C 为圆周上一点，BC 4，过 C作圆的切线 l，过 A 作直线 l 的垂线 AD，D 为垂足，AD 与圆 O 交于点 E，求线段 AE 的长解析 连接 OC、BE、AC，则 BEAE.BC4，OBOCBC4，即OBC 为正三角形，CBOCOB60，又直线 l 切O 于 C，DCACBO60，ADl，DAC906030，而OAC ACO COB30，EAB60，12在 RtBAE
27、 中， EBA30， AE AB4.125(2013银川模拟 )如图，ABO 三边上的点 C、D 、E 都在O 上，已知 ABDE ，ACCB.(1)求证：直线 AB 是 O 的切线；(2)若 AD2，且 tanACD ，求O 的半径 r 的长12解析 (1) ABDE， ，OAOD OBOE又 ODOE，OA OB .如图，连接 OC，ACCB， OCAB.又点 C 在 O 上，直线 AB 是O 的切线(2)如图 ，延长 DO 交O 于点 F，连接 FC.由(1)知 AB 是O 的切线，弦切角ACD F，ACDAFC.tanACDtan F ，又 DCF90， .12 CDFC 12 ，而 AD2，得 AC4.ADAC CDFC 12又 AC2AD AF，2(22r )4 2，于是 r3.
