1、专题 8 立体几何 高频考点一 空间几何体与三视图例 1、将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为 ( )高频考点二 空间几何体的表面积和体积例 2、如图所示,某几何体的正视图是平行四边形,侧视图和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为( ) A6 B93 3C12 D183 3高频考点三 球与空间几何体的“切”“接”问题例 3、一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的外接球的表面积为_高频考点四 空间线线、线面位置关系例 4、如图,在四面体 PABC 中,PC AB,PA BC ,点 D,E,F,G 分别是 棱 AP,AC ,BC,PB 的中点 (1)求证:DE 平面 BCP;
2、 (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由 高频考点五 空间面面位置关系例 5、如图,在四棱锥 PABCD 中,平面 PAD平面 ABCD,ABAD ,BAD60,E,F 分别是AP,AD 的中点求证: (1)直线 EF平面 PCD; (2)平面 BEF平面 PAD. 高频考点六 利用空间向量证明位置关系例 6、如图,平面 PAC平面 ABC,ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形,E,F,O 分别为 PA,PB,AC 的中点,AC 16,PA PC 10. (1)设 G 是 OC 的中点,证明:FG平面 BOE;
3、(2)证明:在ABO 内存在一点 M,使 FM平面 BOE. 高频考点七 利用空间向量求角例 7、如图,在四棱锥 PABCD 中, PA平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形, AB2,BAD 60. (1)求证:BD 平面 PAC; (2)若 PAAB,求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (3)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长 高频考点八 利用空间向量解决探索性问题例 8、如图 ,在三棱锥 P ABC 中,ABAC ,D 为 BC 的中点, PO平面 ABC,垂足 O 落在线段 AD上 已知 BC8,PO4,AO 3,OD2. (1)证明:APBC; (2)在线段 A
4、P 上是否存在点 M,使得二面角 AMCB 为直二面角?若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明理由 1正棱锥的性质侧棱相等,侧面是全等的等腰三角形,斜高相等;棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形;某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形;侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形2三视图(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高(2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的
5、下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视图的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样3几何体的切接问题(1)球的内接长方体、正方体、正四棱柱等关键是把握球的直 径即棱柱的体对角线长(2)柱、锥的内切球找准切点位置,化归为平面几何问题4常用面积和体积公式(1)S 圆柱侧 2 rl, S 圆锥侧 rl.(2)V 柱 Sh, V 锥 Sh.135规则的空间几何体(柱、锥、台、球)都有其表面积和体积的计算公式,不规则的空间几何体要通过分割、补形等转化为规则的空间几何进行求解(1)“分割”指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的规则几何体,便于计算(2)“补形”指的是将小几何体嵌入一个大几何体中,如一个三
6、棱锥还原成一个三棱柱、一个正方体再补一个相同的正方体、还台为锥6直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理: a , b , a ba .(2)线面平行的性质定理: a , a , ba b.(3)面面平行的判定定理: a , b , a b P, a , b .(4)面面平行的性质定理: , a, ba b. 7平行关系的转化两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行,而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行,所以要注意转化思想的应用,以下为三种平行关系的转化示意图8直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理: m , n , m n P, l m, l nl .(2)
7、线面垂直的性质定理: a , b a b.(3)面面垂直的判定定理: a , a .(4)面面垂直的性质定理: , l, a , a la . 9垂直关系的转化与平行关系之间的转化类似,它们之间的转化如下示意图在垂直的相关定理中,要特别注意记忆面面垂直的性质定理:两个平面垂直,在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面,当题目中有面面垂直的条件时,一般都要用此定理进行转化(201 3辽宁理)(10)已知三棱柱 16.34ABCOABC 的 个 顶 点 都 在 球 的 球 面 上 若 , ,,ABC12O, 则 球 的 半 径 为A 37 B 0 C 32 D 310 (2013上海理)
8、19.(本题满分 12 分)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AD=1,A 1A=1,证明直线 BC1 平 行于平面 DA1C,并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离.(2013广东理)6设 ,mn是两条不同的直线, ,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若 , , ,则 B若 /,m,n,则 /n来源:学科网C若 n, , ,则 D若 , /, ,则 (2013大纲理)19.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中, 09ABC, 2BCA, PB和 AD都是等边三角形.()证明: PBCD;()求二面角 A-PD-C 的大小.(201
9、3大纲理)10.已知正四棱柱 1ABCD中, 12AB,则 CD 与平面 1BDC所成角的正弦值等于( )A 23 B C 23 D来源:Zxxk.Com(2013北京理)17. (本小题共 14 分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA 1C1C 是边长为 4 的正方形.平面ABC平面 AA1C1C,AB=3,BC=5.()求证:AA 1平面 ABC;()求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值;()证明:在线段 BC1 存在点 D,使得 ADA 1B,并求 1DC的值.(2013北京理)14.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,点 P
10、 在线段 D1E上,点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为 .(2013安徽理)15.如图,正方体 1ABCD的棱长为 1, P为 BC的中点, Q为线段 1C上的动点,过点 ,APQ的平面截该正方体所得的截面记为 S,则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号) 。当 102CQ时, S为四边形当 时, 为等腰梯形当 34时, 与 1D的交点 R满足 13C当 CQ时, S为六边形当 1时, 的面积为 62(2013福建理)19.(本小题满分 13 分)如图,在四棱柱 1DCBA中,侧棱 1A底面 BCD,)0(,6,5,4,3,1,/ kkkDCAB求证: CD平面 1A若直线 1A与
11、平面 B所成角的正弦值为 76,求 k的值现将与四棱柱 1DC形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱,规定:若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案,问共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为 )(kf,写出 )(kf的解析式。 (直接写出答案,不必说明理由)(2013新课标 I 理)8、某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( )A、18+8 B、8+8C、16+16 D、8+16(2013新课标 I 理)6、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得
12、水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( )A、 cm3 B、 cm3 C、 cm3 D、 cm35003 8663 13723 20483(2013新课标理) (7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中 的坐标分别是(1,0,1) ,(1,1,0) , (0,1,1) , (0,0,0) ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为来源:学科网(A) (B) (C) (D)(2013浙江理)12、若某几何体的三视图(单位: cm)如图所示,则此几何体的体积等于_ 2cm。(2013浙江理)10.在空间中,过点 A作平面 的垂线,垂足为
13、B,记 )(Af。设 ,是两个不同的平面,对空间任意一点 P, )(),(21 PfQf,恒有 21Q,则( )平面 与平面 垂直 B. 平面 与平面 所成的(锐)二面角为 045 C. 平面 与平面 平行 D.平面 与平面 所成的(锐)二面角为 6 (2013陕西理)12. 某几何体的三视图如图所示 , 则其体积为 .(2013辽宁理)(13)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .(2013江西理)8.如果,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上,且 AB/CD,正方体的六个面所在的平面与直线 CE,EF 相交的平面个数分别记为 m,n,那么 m+n=( )A.8 B.9 C.
14、10 D.11(2013湖南理)7已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于( )A 1 B 2 C 2- D 2+ (2013广东理)5某四棱台的三视图如图所示 ,则该四棱台的体积是 ( )A . 4 B143C163D 6(2013福建理)12. 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示,且图中的四边形是边长为 2 的正方形,则该球的表面积是_ (2013广东理)6设 ,mn是两条不同的直线, ,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若 , , ,则 B若 /,m,n,则 /nC若 n
15、, , ,则 D若 , /, ,则 1(2014 届山东省郯城一中高三 12 月月考数学试卷)三棱柱 1ABC的侧棱长和底面边长均为 2,且侧棱 底面 ABC,其正视图是边长为 2的正方1形,则此三棱柱侧视图的面积为( )A B C D 43322(2014 届吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试数学试卷)某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( )A 1+52 B 1+25C D3(2014 届山东省菏泽市高三 3 月模拟考试数学试卷)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 32,则正视图中的 x的值是( )A 2 B. 92 C. 32 D. 34(2014 届广东省肇庆市高三 3
16、 月第一次模拟数学试卷)某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积是( )A B C D503cm503cm253cm253cm5(2014 届四川成都七中高三 3 月高考模拟考试数学试卷)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( )6(2014 届安徽省安庆市高三第二次模拟考试数学试卷)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A、 62 B、 72 C、 82 D、 727(2014 届四川成都市新津中学高三下学期二月月考数学试卷)已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为( )A B C D343213
17、48(2014 届河北唐山市高三年级第一次模拟考试数学试卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A6 B 3 C 23 D39(2014 届广东省韶关市高三调研测试数学试卷)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A B C D1232310(2014 届浙江省六市六校联盟高考模拟数学试卷)如图是某个四面体的三视图,该四面 体的体积为 11(2014 届四川省成都树德中学高三第六期 3 月阶段性考试数学试卷)如图,已知平面四边形 ABCP中, D为 A的中点, PAB, /CD,且 24PAD将此平面四边形 BC沿 折成直二面角 B,连接 、,设 中点为 E(1)证
18、明:平面 PBD平面 C;(2)在线段 上是否存在一点 F,使得 E平面 PBC?若存在,请确定点 F的位置;若不存在,请说明理由(3)求直线 AB与平面 PC所成角的正弦值12(2014 届四川省成都七中高三二诊模拟数学试卷)如图,三棱柱 1中, AB, 1, 160A. (1)证明: 1ABC;(2)若 2, 6,求三棱柱 1ABC的体积 .13(2014 届吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试数学试卷)如图,已知四棱锥 PABCD,底面 是等腰梯形,且 AB CD, O是 AB中点, P平面 ABCD,142POCD, M是 P中点( 1) 证 明 : 平 面 平 面 ; ( 2) 求
19、点 A到 平 面 PCD的 距 离 ./PBCOD14(2014 届吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试数学试卷)如图,已知四棱锥 A,底面 BC是等腰梯形,且 A D, 是 中点, 平面 ,142POCB, M是 P中点(1)证明:平面 平面 ;/PBCODM(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.A15(2014 届北京市石景山区高三一模数学试卷)如图,已知四棱锥 ABCDE, 1ACBE, 2D,CD平面 , , F为 的中点来源:Zxxk.COM 学科网(1)求证: EF平面 ABC;(2)求证:平面 D平面 ;(3)求四棱锥 的体积16(2014 届上海市十三校高三年级第二次联考
20、数学试卷)如图,设 SABC是一个高为 3的四棱锥,底面 ABCD是边长为 2的正方形,顶点 S在底面上的射影是正方形 D的中心 K是棱 S的中点试求直线 K与平面 S所成角的大小17(2014 届山东省菏泽市高三 3 月模拟考试数学试卷)如图, 已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形,AD BC ,CEBG,且 2BCDE,平面ABCD平面 BCEG,BC=CD=CE =2AD=2BG=2.(1)求证: ECCD ;(2)求证:AG平面 BDE;来源:Z&xx&k.Com(3)求:几何体 EG-ABCD 的体积.18(2014 届广东省肇庆市高三 3 月第一次模拟数学试卷)如图,A
21、B 是圆 O 的直径,点 C 是弧 AB 的中点,点 V 是圆 O 所在平面外一点, 是 AC 的中点,已知D, .2AB2V(1)求证:OD/平面 VBC;(2)求证:AC平面 VOD;(3)求棱锥 的体积.CABV19(2014 届北京市东城区高三 3 月质量调研数学试卷)如图,在三棱锥 P中, AB是等边三角形, 90PACB.(1)证明:: ACB;(2)证明: P;(3)若 4,且平面 平面 PBC,求三棱锥 PABC体积.20(2014 届山东省烟台市高三统一质量检测考试数学试卷)如图 1,在直角梯形 ABD中, /, 90,D.把 沿 AC折起到 P的位置,使得 P点在平面 上的
22、正投影 O恰好落在线段 上,如图 2 所示,点 EF、 分别为棱C、的中点.(1)求证: 平面 /OEF平面 APD;(2)求证: C平面 ;(3)若 3,4,5ADB,求四棱锥 ECFO的体积.21(2014 届山东省烟台市高三统一质量检测考试数学试卷)一个空间几何体的三视图如下左图所示,则该几何体的表面积为( )A48 B48+8 17 C32+8 17 D8022(2014 届江西省九所重点中学高三联合考试数学试卷)如图,在ABC 中,ABC=90 ,A=30。 ,斜边 AC 上的中线 BD=2,现沿 BD 将BCD 折起成三棱锥C-ABD,已知 G 是线段 BD 的中点,E,F 分别是
23、 CG,AG 的中点(1)求证:EF平面 ABC;(2)三棱锥 CABD 中,若棱 AC= 10,求三棱锥 A 一 BCD 的体积23(2014 届陕西西工大附中高三上学期第四次适应性训练文数学卷)如图甲, AB是边长为 6 的等边三角形, ,ED分别为 ,BC靠近 ,的三等分点,点 G为边 BC边的中点,线段 G交线段 E于点 F.将 A沿 翻折,使平面 AED平面 B,连接,C,形成如图乙所示的几何体.来源:学.科.网( 1)求证: BC平面 AFG(2)求四棱锥 DE的体积. 24( 2014 届江西省重点中学盟校高三第一次联考数学试卷)如图,三棱锥 P中, 210BC, 4B, 21P
24、C,点 在平面 ABC内的射影恰为 ABC的重心 G,M 为侧棱 AP上一动点PABCGM(1)求证:平面 PA平面 BM;(2)当 M 为 的中点时,求直线 与平面 PBC所成角的正弦值25(2014 届浙江嘉兴市高三 3 月教学测试(一)(即一模)数学试卷)如图,四棱锥 的底面 ABCD 是平行四边形, , , 面 ,CDP 1,2AD60BCPABCD设 为 中点,点 在线段 上且 EFPF2(1)求证: 平面 ;/BEACF(2)设二面角 的大小为 ,若 ,求 的长D142|cos|PA26(2014 届河北唐山市高三年级第一次模拟考试数学试卷)如图,在斜三棱柱 1AB中,O 是 AC 的中点, 1O平面 BC, 09A,1AC.(1)求证: 1AC平面 1B;(2)求二面角 的余弦值.27(2014 届广东省韶关市高三调研测试数学试卷)如图所示的多面体中, 是菱形, 是矩形, 面 , ABCDEFDABC3D(1)求证:平 ;/CFAED面 B面(2)若 ,求四棱锥 的体积aBF