1、三明一中 2018 2019 学年上学期第二次月考高二理科数学试卷-答案 一、选择题(本题12 小题，每小题5 分，共60 分。) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C D B C A B A D B D 二、填空题(本题4 小题，每小题5 分,共20 分) 13. (0 ，1) 14. 1 315. 6 316. 4 13三、解答题（共6 题，70 分） 17.( 本题 满分 10 分) 解： 设 A x|(4x 3) 2 1， B x|x 2 (2a1)x a(a1) 0，易 知 A x| 1 2 x 1， B x|ax a1. 由p 是q 的必要不
2、充分条件，从而 p 是 q 的充分不必要条件，即 A B ， 1 2 1 1. a a + 或 1 , 2 11 a a + 故所求实数 a 的取值范围是0 ， 1 2 . 18.( 本题 满分 12 分) 【解析】 （1 ）由已知得椭圆的长半轴长 2 a = ， 3 c = ，则短半轴长 1 b = 又椭圆的焦点在 x 轴上，椭圆的标准方程为 2 2 1 4 x y += （2 ）设线段 PA 的中点为 M () , xy ，点 P 的坐标为 00 ( , ) xy ， 由 0 0 1 2 1 2 2 x x y y + = + = ，得 0 0 21 1 2 2 xx yy = = ，由点
3、 P 00 ( , ) xy 在椭圆上，得 2 2 21 1 () 42 ( 21 ) x y += ， 线段 PA 的中点 M 的 轨迹方程为 22 11 ( )4 ( )1 24 xy += 19. （本题 满分 12 分) 解：法一：设切点为(x 0 ，y 0 ) ，则直线 l 的斜率为 f (x 0 ) 3 2 0 x 1， 直线 l 的方程为 y (3 2 0 x 1)(x x 0 ) 3 0 x x 0 16， 又直线 l 过点(0,0) ，0(3 2 0 x 1)(x 0 ) 3 0 x x 0 16， 2018-2019 学年（上）第二次月考高二理科数学试卷-答案 第 1 页
4、（共 4 页） 整理得， 3 0 x 8，x 0 2，y 0 ( 2) 3 ( 2) 1626， k 3( 2) 2 113.直线 l 的方程为 y 13x ，切点坐标为( 2，26) 法二：设直线 l 的方程为 y kx，切点为(x 0 ，y 0 ) ，则 k y 0 0 x 0 0 3 00 0 16 xx x + ， 又k f (x 0 ) 3 2 0 x 1， 3 00 0 16 xx x + 3 2 0 x 1，解之得 x 0 2， y 0 ( 2) 3 ( 2) 1626，k 3( 2) 2 113. 直线 l 的方程为 y 13x ，切点坐标为( 2，26) 20.( 本题 满分
5、 12 分) (1)证明 AEA 1 B 1 ，A 1 B 1 AB，ABAE ， 又ABAA 1 ，AEAA 1 A ，AE，AA 1 平面 A 1 ACC 1 ， AB平面 A 1 ACC 1 ，又 AC 平面 A 1 ACC 1 ，ABAC. 以点 A 为原点，AB，AC ，AA 1 所在直线分别 为 x 轴，y 轴，z 轴 ， 建 立 如 图 所示的空间直 角坐标系 Axyz ，则 A(0,0,0) ，E 0，1， 1 2 ，F 1 2 ， 1 2 ，0 ， A 1 (0,0,1) ，B 1 (1,0,1) 设 A 1 D A 1 B 1 ，且 0,1 ， 即 A 1 D (1,0,0
6、)= ( ,0,0) ， D( ，0,1) ， DF 1 2 ， 1 2 ，1 E A，又 AAE E AA 0，1， 1 E2 E A，ADF E A AAE E AA 1 2E AA 1 2E A0，DF AE. (2)解 存在一点 D ， 使 得平面 DEF 与平 面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 A 14 E14E A.理由如下： 设平面 DEF 的法向量为 n (x 2 ，y 2 ，z 2 ) ， 则 nFE 0， nDF 0， FE 1 2 ， 1 2 ， 1 2 ，DF 1 2 ， 1 2 ，1 ， 1 2 x 2 1 E2 y 2 1 2 z 2 0， 1 2 x 2 1
7、2 y 2 z 2 0， E A 即 A x 2 3 2(1 ) z 2 ， Ey 2 12 2(1) z 2 ， E A 令 z 2 2(1 ) ， n (3,12 ，2(1 ) 由题意可知平面 ABC 的法向量 m (0,0,1) 平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 A 14 E14E A，|cos m ，n | A |mn| |m|n| E AA 14 E14E A， 2018-2019 学年（上）第二次月考高二理科数学试卷-答案 第 2 页 （共 4 页） 即 |2(1 )| 9(12) 2 4(1) 2 14 14 ， 1 2 或 7 4 . 0,1 ， 7 4 舍
8、去 点 D 为 A 1 B 1 的中点 21.( 本题 满分 12 分) 解：(1)如图，设 M 为 动圆圆心，F(2 ，0) ， 过点 M 作直线 x 2 的垂线，垂足为 N ， 由题意知：|MF| |MN|，即动点 M 到定点 F 与到定直线 x 2 的距离相等，由抛物线的定义知，点 M 的轨迹为抛物线， 其中 F(2,0) 为焦点，x2 为准线， 所以动圆圆心轨迹 C 的方程为 y 2 8x. (2)由题可设直线 l 的方程为 x k(y 2)(k 0) ， 由 x k(y 2) y 2 8x ，得 y 2 8ky16k 0， ( 8k) 2 416k0 ，解得 k1. 设 P(x 1
9、，y 1 ) ，Q(x 2 ，y 2 ) ， 则 y 1 y 2 8k ，y 1 y 2 16k ， 由OP OQ 0，得 x 1 x 2 y 1 y 2 0， 即 k 2 (y 1 2)(y 2 2) y 1 y 2 0， 整理得：(k 2 1)y 1 y 2 2k 2 (y 1 y 2 ) 4k 2 0， 代入得 16k(k 2 1) 2k 2 8k 4k 2 0，即 16k 4k 2 0， 解得 k 4 或 k 0(舍去) ， 所以直线 l 存在，其方程为 x 4y 80. 22.( 本题 满分 12 分) 【解析】 () fx 的定义域为R， 对 () fx 求导得 2 ( ) 2(
10、1) 2 x f x ax a x e =+ 2 分 （I）若 4 3 a = ，则 2 2 42 ( ) 2( 1) 2 2 33 xx f x a x a xe x xe =+= + 令 () 0 fx = ，因 为 0 x e ，故 2 42 2 33 xx + =0，即 2 12 3 2 3 0, , 1 2 xx x x + = = = 3 分 所以 ( ) ( ) x f x f , 随x 变化而变化的情况为： 2018-2019 学年（上）第二次月考高二理科数学试卷-答案 第 3 页 （共 4 页） 所以, 2 3 1 = x 是极大值点, 1 2 = x 是极小值点 （注：未注
11、明极大、极小值扣1 分）6 分 （II）若 ) (x f 为 1 , 1 上的单调函数，又 0 2 ) 0 ( 时，抛物线 2 ( ) 2( 1) 2 g x ax a x =+ 开口向上， 则 ) (x f 在 1 , 1 上为单调函数的充要条件是 ( 1) 0 , (1) 0 g g 即 0 3 40 a a ，所以 4 0. 3 a 11 分 综合（1）（ 2）知 a 的取值范围是 4 0. 3 a 12 分 x ) 2 3 , ( 2 3 ) 1 , 2 3 ( 1 ) , 1 ( + ) (x f + 0 0 + ) (x f 极大值 极小值 2018-2019 学年（上）第二次月考高二理科数学试卷-答案 第 4 页 （共 4 页）
