1、第二章检测(B )(时间:90 分钟 满分:120 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下面给出了四个条件: 空间三个点; 一条直线和一个点 ; 和直线 a 都相交的两条直线 ; 两两相交的三条直线.其中,能确定一个平面的条件有( )A.3 个 B.2 个C.1 个 D.0 个解析: 当空间三点共线时不能确定一个平面 ; 点在直线上时不能确定一个平面 ; 两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面; 三条直线交于一点且不共面时不能确定一个平面.故 4 个条件都不能确定一个平面.答案: D2.对于直线 m,n
2、和平面 ,下列结论正确的是( )A.如果 m,n,m,n 是异面直线,那么 nB.如果 m,n,m,n 是异面直线,那么 n 与 相交C.如果 m,n,m,n 共面,那么 mnD.如果 m ,n,m,n 共面,那么 mn解析: 如果 m,n,m,n 是异面直线时,n 与 可以平行,也可以相交 ,故 A,B 错误;对于 C,由线面平行的性质定理可知 C 正确;对于 D,m 与 n 还可以相交,故 D 错误.答案: C3.已知 a,b,c 是直线,则下面四个命题: 若直线 a,b 异面,b,c 异面,则 a,c 异面; 若直线 a,b 相交,b,c 相交,则 a,c 相交; 若 ab,则 a,b
3、与 c 所成的角相等.其中真命题的个数为( )A.0 B.3 C.2 D.1解析: 异面、相交关系在空间中不能传递 ,故 错; 根据等角定理 ,可知 正确.答案: D4.下列命题错误的是( )A.如果平面 平面 ,那么平面 内一定存在直线平行于平面 B.如果平面 不垂直于平面 ,那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C.如果平面 平面 ,平面 平面 ,=l,那么 l平面 D.如果平面 平面 ,那么平面 内的所有直线都垂直于平面 答案: D5.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A,B,C,D 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线 BD 和平面ABC 所成的角的大小为( )A.30 B
4、.45 C.60 D.90解析: 当三棱锥 D-ABC 的体积最大时,平面 DACABC ,取 AC 的中点 O,连接 OD,OB,则DBO 是等腰直角三角形,即DBO=45 .答案: B6.一个正方体的展开图如图所示,其中 A,B 为所在棱的中点,C,D 为原正方体的顶点,则在原来的正方体中 AB 与 CD 所成角的大小是( )A.30 B.45 C.60 D.90解析: 展开图还原为正方体(如图),其中 EF,FG,EG 分别为所在面的对角线.因为 A,B 分别为相应棱的中点,所以 EFAB.易知 CDEG,所以FEG 为 AB 与 CD 所成的角(或其补角).又因为 EG=EF=FG,所
5、以FEG= 60,即 AB 与 CD 所成角的大小为 60.答案: C7.如图,在多面体 ACBDE 中,BDAE,且 BD=2,AE=1,F 在 CD 上,要使 AC平面 EFB,则 的值为( )A.3 B.2 C.1 D.12解析:连接 AD 交 BE 于点 O,连接 OF,因为 AC平面 EFB,平面 ACD平面 EFB=OF,所以 ACOF.所以 .=又因为 BDAE ,所以EOA BOD,所以 =2.故 =2.= 答案: B8.在三棱锥 P-ABC 中,ABC= 90,PA=PB=PC.则下列说法正确的是( )A.平面 PAC平面 ABCB.平面 PAB平面 PBCC.PB平面 AB
6、CD.BC平面 PAB解析:因为 PA=PB=PC,所以点 P 在底面的射影是底面 ABC 的外心.又因为ABC=90,所以射影 O 为 AC 的中点.则 PO平面 ABC,所以平面 PAC平面 ABC.答案: A9.如图是长方体被一平面所截得到的几何体,四边形 EFGH 为截面,长方形 ABCD 为底面,则四边形EFGH 的形状为( )A.梯形B.平行四边形C.可能是梯形也可能是平行四边形D.不确定解析: 因为平面 ABFE平面 CDHG,又平面 EFGH平面 ABFE=EF,平面 EFGH平面 CDHG=HG,所以 EFHG.同理 EHFG ,所以四边形 EFGH 的形状是平行四边形.答案
7、: B10.若 m,n 为两条不重合的直线 , 为两个不重合的平面,则下列命题中的真命题的个数是( ) 若 m,n 都平行于平面 ,则 m,n 一定不是相交直线; 若 m,n 都垂直于平面 ,则 m,n 一定是平行直线; 已知 , 互相垂直 ,m,n 互相垂直,若 m,则 n ; 若 m,n 在平面 内的射影互相垂直,则 m,n 互相垂直.A.1 B.2 C.3 D.4解析: 中,m,n 可能平行或相交或异面,所以 为假命题; 是直线与平面垂直的性质定理,所以 为真命题; 中,n 可以平行于 ,也可以在 内,所以 为假命题; 中,m,n 也可以不互相垂直,所以 为假命题.答案: A二、填空题(
8、本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.已知平面 平面 =l,点 A,B ,点 C平面 ,且 Cl,ABl=R.若过 A,B,C 三点的平面为平面 ,则= . 解析: 根据题意画出图形,如图 ,因为点 C,且点 C ,所以 C.因为点 RAB,所以点 R.又R,所以 R ,从而 =CR.答案: CR12.在矩形 ABCD 中,若 AB=3,BC=4,PA平面 ABCD,且 PA=1,则点 P 到对角线 BD 的距离为 .解析: 过点 A 作 AEBD 于点 E.因为 PA平面 ABCD,所以 PABD. 又 PAAE=A,所以 BD平面 PAE,所以 B
9、DPE.又因为 ABCD 为矩形,且 AB=3,BC=4,所以 AE= .125所以 PE= .2+2=12+(125)2=135答案:13513.如图,正方形 ABEF 和正方形 ABCD 有公共边 AB,EBC=60,AB=CB=BE=a,则 DE= . 解析: 由已知EBC=60,连接 EC.因为 BE=BC=a,所以 EC=a,又可证 CD平面 EBC,所以 CDEC.因为 CD=a,所以 DE= a.2答案: a214.如图,PA平面 ABC,ACB= 90,且 PA=AC=BC=a,则异面直线 PB 与 AC 所成角的正切值等于 .解析: 不妨将几何体放在如图所示的正方体中 ,则
10、PB 与 AC 所成的角等于 PB 与 PQ 所成的角.设正方体的棱长为 a,连接 BQ,则在BPQ 中,PQ=a,BQ= a,2所以 tanBPQ= .2答案: 215.如图是四棱锥的平面展开图,其中四边形 ABCD 为正方形,E,F,G,H 分别为 PA,PD,PC,PB 的中点,在此几何体中,给出下面四个结论: 平面 EFGH平面 ABCD; BC平面 PAD; AB平面 PCD; 平面 PAD平面 PAB.其中正确的有 .(只填序号 ) 解析: 把平面展开图还原为四棱锥如图所示 ,则 EHAB,所以 EH平面 ABCD.同理可证 EF平面ABCD,所以平面 EFGH平面 ABCD.由于
11、平面 PAD,平面 PBC,平面 PAB,平面 PDC 均是四棱锥的四个侧面,则它们两两相交.因为 ABCD,所以 AB平面 PCD.同理 BC平面 PAD.答案: 三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8 分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是梯形,AB CD,且 AB= CD.试问在 PC 上能否找到一点 E,使得23BE平面 PAD?若能,请确定点 E 的位置,并给出证明;若不能,请说明理由.解: 在 PC 上能找到点 E,且满足 ,可使 BE平面 PAD.=12证明如下:延长 DA 和 CB 交于点 F,连接 PF
12、.在梯形 ABCD 中,AB CD ,AB= CD.23所以 ,=23所以 .=12又 ,=12所以在PFC 中, ,=所以 BEPF.而 BE平面 PAD,PF平面 PAD,所以 BE平面 PAD.17.(8 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别为 AB,BC 的中点,点 F 在侧棱 B1B 上,且B1DA 1F,A1C1A 1B1.求证:(1)直线 DE平面 A1C1F;(2)平面 B1DE平面 A1C1F.证明 (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A 1C1AC. 在 ABC 中,因为 D,E 分别为 AB,BC 的中点,所以 DEAC,于是 DEA 1C
13、1.又因为 DE平面 A1C1F,A1C1平面 A1C1F,所以直线 DE平面 A1C1F.(2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A 1A平面 A1B1C1.因为 A1C1平面 A1B1C1,所以 A1AA 1C1.又因为 A1C1A 1B1,A1A平面 ABB1A1,A1B1平面 ABB1A1,A1AA1B1=A1,所以 A1C1平面 ABB1A1.因为 B1D平面 ABB1A1,所以 A1C1B 1D.又因为 B1DA 1F,A1C1平面 A1C1F,A1F平面 A1C1F,A1C1A1F=A1,所以 B1D平面 A1C1F.因为直线 B1D平面 B1DE,所以平面 B1DE平面 A
14、1C1F.18.(9 分) 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,P,Q,M,N 分别是棱 AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1 的中点.求证:(1)直线 BC1平面 EFPQ;(2)直线 AC1平面 PQMN.证明 (1)连接 AD1,由 ABCD-A1B1C1D1 是正方体,知 AD1BC 1,因为 F,P 分别是 AD,DD1 的中点,所以 FPAD 1.从而 BC1FP.而 FP平面 EFPQ,且 BC1平面 EFPQ,故直线 BC1平面 EFPQ.(2)如图,连接 AC,BD,则 ACBD.由 CC1平面 ABCD,BD平面 ABCD,可得 CC1BD.又
15、 ACCC1=C,所以 BD平面 ACC1.而 AC1平面 ACC1,所以 BDAC 1.因为 M,N 分别是 A1B1,A1D1 的中点,所以 MNBD,从而 MNAC 1.同理可证 PNAC 1.又 PNMN=N,所以直线 AC1平面 PQMN.19.(10 分) 如图,在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB平面 SBC,ABBC ,AS=AB.过点 A 作 AFSB,垂足为 F,点E,G 分别是棱 SA,SC 的中点.求证:(1)平面 EFG平面 ABC;(2)BCSA.证明 (1)因为 AS=AB,AFSB ,垂足为 F,所以 F 是 SB 的中点 .又因为 E 是 SA 的中点,所以
16、 EFAB.因为 EF平面 ABC,AB平面 ABC,所以 EF平面 ABC.同理 EG平面 ABC.又 EFEG=E,所以平面 EFG平面 ABC.(2)因为平面 SAB平面 SBC,且交线为 SB,又 AF平面 SAB,AFSB ,所以 AF平面 SBC.因为 BC平面 SBC,所以 AFBC.又因为 ABBC ,AFAB=A,AF平面 SAB,AB平面 SAB,所以 BC平面 SAB.因为 SA平面 SAB,所以 BCSA.20.(10 分) 如图,在 RtAOB 中,OAB=30,斜边 AB=4,RtAOC 可以通过 RtAOB 以直线 AO 为轴旋转得到,且平面 AOB平面 AOC.
17、动点 D 在斜边 AB 上.(1)求证:平面 COD平面 AOB;(2)当 D 为 AB 的中点时,求异面直线 AO 与 CD 所成角的正切值.(1)证明 由题意知,CO AO ,平面 AOB平面 AOC,所以 CO平面 AOB.又 CO平面 COD,所以平面 COD平面 AOB.(2)解: 作 DEOB,垂足为 E,连接 CE(如图), 则 DEAO.所以CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角.由(1)知 COBO,在 RtOCB 中,CO=BO= 2,OE= BO=1,12所以 CE= .2+2=5又 DE= AO= 2 ,12 12 3=3所以在 RtCDE 中,tanCDE= .=53=153故异面直线 AO 与 CD 所成的角的正切值是 .153
